NumiSum

Fundament: Pytagoras' setning og formlikhet

Trigonometri bygger direkte videre på to ting du allerede har lært på ungdomsskolen. Kort oppsummert her: se lenkene for hele gjennomgangen:

  • Pytagoras' setning (a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2) forteller hvordan de tre sidene i en RETTVINKLET trekant henger sammen. Se Pytagoras' setning (9. trinn) for hele metoden og flere eksempler.
  • Formlikhet forteller at forholdet mellom TILSVARENDE sider i to formlike trekanter alltid er det samme tallet (skalafaktoren kk), uansett hvor store trekantene er. Se Formlikhet (9. trinn) for hele metoden. Dette er selve grunnen til at sinus, cosinus og tangens (neste undertema) kan defineres som forholdstall som er like for ALLE rettvinklede trekanter med samme vinkel, uavhengig av størrelsen på trekanten.

Pytagoras' setning

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

Skalafaktor mellom formlike figurer

k=a′a=b′bk = \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b}

Tips

  • Møter du en oppgave i trigonometri der du er usikker på Pytagoras eller formlikhet, gå tilbake til lenkene over. Begge er forutsatt kjent her, ikke forklart på nytt.

Eksempel: Bruke Pytagoras og formlikhet sammen

En rettvinklet trekant har kateter 66 cm og 88 cm. En annen, formlik trekant har korteste katet 99 cm. Finn hypotenusen i den STORE trekanten.

Løsning:
  1. Finn først hypotenusen i den LILLE trekanten med Pytagoras: 62+82=36+64=1006^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, så c=100=10c = \sqrt{100} = 10 cm
  2. finn så skalafaktoren mellom trekantene: den korteste siden går fra 66 til 99, altså k=96=1,5k = \frac{9}{6} = 1{,}5
  3. gang hypotenusen i den lille trekanten med skalafaktoren: 10⋅1,5=1510 \cdot 1{,}5 = 15. Hypotenusen i den store trekanten er 1515 cm.
Steg for steg
StegMetodeResultat
1Pytagoras på den lille trekantenc = 10 cm
2Skalafaktor: 9 : 6k = 1,5
310 · 1,515 cm

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(4)

L-11Hva er hypotenusen i en rettvinklet trekant med kateter 33 og 44?

Vis fasit
  1. Pytagoras: 3² + 4² = 9 + 16 = 25
  2. c = 25\sqrt{25} = 5

L-12To trekanter er formlike med skalafaktor 33. Den minste har en side på 55 cm. Hva er tilsvarende side i den store trekanten? Svar i cm.

Vis fasit

Skalafaktor ⋅\cdot siden: 5⋅3=5 \cdot 3 = 15 cm

L-13En rettvinklet trekant har kateter 55 og 1212. Hva er hypotenusen?

Vis fasit
  1. Pytagoras: 5² + 12² = 25 + 144 = 169
  2. c = 169\sqrt{169} = 13

L-14Trekant A har sider 6,8,106, 8, 10. Trekant B har sider 12,16,2012, 16, 20. Er de formlike, og med hvilken skalafaktor?

Vis fasit
  1. Sammenlign tilsvarende sider: 12 : 6 = 2, 16 : 8 = 2, 20 : 10 = 2
  2. alle like
  3. ja, formlike med k = 2
Middels(3)

M-11En rettvinklet trekant har kateter 66 og 88. Hva er hypotenusen?

Vis fasit
  1. Pytagoras: 6² + 8² = 36 + 64 = 100
  2. c = 100\sqrt{100} = 10

M-12En rettvinklet trekant har hypotenus 1313 og en katet på 55. Hva er den andre kateten?

Vis fasit
  1. Pytagoras: b² = 13² - 5² = 169 - 25 = 144
  2. b = 144\sqrt{144} = 12

M-13To trekanter er formlike med skalafaktor 2,52{,}5. Den minste har en side på 44 cm. Hva er tilsvarende side i den store trekanten? Svar i cm.

Vis fasit

Skalafaktor ⋅\cdot siden: 4⋅2,5=4 \cdot 2{,}5 = 10 cm

Vanskelig(3)

V-11En stige på 2,52{,}5 m står 1,51{,}5 m fra en loddrett vegg. Hvor høyt oppe på veggen når stigen? Svar i meter.

Vis fasit
  1. Pytagoras: h² = 2,5² - 1,5² = 6,25 - 2,25 = 4
  2. h = 4\sqrt{4} = 2 m

V-12Er en trekant med sidene 77, 2424 og 2525 rettvinklet?

Vis fasit
  1. 7² + 24² = 49 + 576 = 625 = 25²
  2. Pytagoras stemmer
  3. ja

V-13Et rektangel har sidene 99 og 1212. Hvor lang er diagonalen?

Vis fasit
  1. Diagonalen er hypotenus: 9² + 12² = 81 + 144 = 225
  2. d = 225\sqrt{225} = 15