Cosinussetningen

Cosinussetningen er en utvidet Pytagoras, og redder deg når du kjenner to sider og vinkelen MELLOM dem, en situasjon sinussetningen ikke kan løse, siden den krever en side og dens egen motstående vinkel: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$ . Er $A = 90°$ , blir $\cos A = 0$ og du sitter igjen med akkurat Pytagoras.

Cosinussetningen

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

Vilkårlig trekant: side a ligger motsatt hjørne A

Tips

Bruk cosinussetningen når du kjenner to sider OG vinkelen MELLOM dem. Kjenner du i stedet en side og dens motstående vinkel, bruk sinussetningen i stedet (se «Sinussetningen»).
Cosinussetningen ER Pytagoras utvidet. Sett $A = 90°$ : da er $\cos A = 0$ , og formelen blir $a^2 = b^2 + c^2$ .

Eksempel: Bruke cosinussetningen

En trekant har sidene $b = 5$ og $c = 6$ , med vinkelen $A = 60°$ mellom dem. Finn side $a$ .

Løsning:

Oppgaven gir $b = 5$ , $c = 6$ og $A = 60°$ mellom dem, så cosinussetningen er riktig verktøy
sett inn: $a^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos 60°$
regn ut leddene: $25 + 36 = 61$ , og $2 \cdot 5 \cdot 6 = 60$
$\cos 60° = 0{,}5$ , så det siste leddet blir $60 \cdot 0{,}5 = 30$
$a^2 = 61 - 30 = 31$
ta kvadratroten. Svaret er $a = \sqrt{31} \approx 5{,}57$ .

Innsetting i cosinussetningen
Ledd	Verdi
b² + c²	61
2bc	60
cos 60°	0,5
a²	61 - 30 = 31
a	ca. 5,57

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41Hvilken setning bruker du når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem?

Vis fasit

To sider og vinkelen mellom dem
cosinussetningen

L-42Hva blir cosinussetningen når $A = 90°$ ?

Vis fasit

$A = 90°$ gir $\cos A = 0$
siste ledd forsvinner
$a^2 = b^2 + c^2$ , altså Pytagoras

L-43En trekant har $b = 6$ , $c = 8$ og $A = 90°$ . Hvilken vanlig formel kan du bruke i stedet for cosinussetningen?

Vis fasit

$A = 90°$ gjør cosinussetningen til et spesialtilfelle
Pytagoras' setning

Middels(3)

M-41En trekant har $b = 3$ , $c = 4$ og $A = 90°$ . Finn $a$ .

Vis fasit

$b = 3$ , $c = 4$ , $A = 90°$
$\cos 90° = 0$
$a^2 = 9 + 16 = 25$
$a = 5$

M-42En trekant har $b = 5$ , $c = 8$ og $A = 60°$ . Finn $a^2$ .

Vis fasit

$b = 5$ , $c = 8$ , $A = 60°$
$a^2 = 25 + 64 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 0{,}5 = 89 - 40 =$ $49$

M-43En trekant har $b = 5$ , $c = 8$ og $A = 60°$ . Finn side $a$ .

Vis fasit

$b = 5$ , $c = 8$ , $A = 60°$
$a^2 = 49$
$a = \sqrt{49} =$ $7$

Vanskelig(3)

V-41Hvorfor er cosinussetningen en utvidelse av Pytagoras?

Vis fasit

$\cos 90° = 0$
korreksjonsleddet forsvinner
formelen reduseres til $a^2 = b^2 + c^2$

V-42En trekant har $a = 9$ , $b = 6$ og $c = 7$ . Sett opp cosinussetningen for å finne vinkelen $A$ .

Vis fasit

$a = 9$ , $b = 6$ , $c = 7$
løs cosinussetningen for $\cos A$
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

V-43En trekant har $a = 9$ , $b = 6$ og $c = 7$ . Hva er vinkelen $A$ omtrent? Svar i grader, avrundet til nærmeste hele grad.

Vis fasit

$a = 9$ , $b = 6$ , $c = 7$
$\cos A = \frac{36 + 49 - 81}{84} = \frac{4}{84} \approx 0{,}048$
bruk $\cos^{-1}$ på kalkulatoren
$A$ er omtrent $87°$