NumiSum

Cosinussetningen

Cosinussetningen er en utvidet Pytagoras, og redder deg når du kjenner to sider og vinkelen MELLOM dem – en situasjon sinussetningen ikke kan løse, siden den krever en side og dens egen motstående vinkel: a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A. Er A=90°A = 90°, blir cos⁡A=0\cos A = 0 og du sitter igjen med akkurat Pytagoras.

Cosinussetningen

a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A

abcABC
Vilkårlig trekant: side a ligger motsatt hjørne A

Tips

  • Bruk cosinussetningen når du kjenner to sider OG vinkelen MELLOM dem. Kjenner du i stedet en side og dens motstående vinkel, bruk sinussetningen i stedet – se «Sinussetningen».
  • Cosinussetningen ER Pytagoras utvidet. Sett A=90°A = 90°: da er cos⁡A=0\cos A = 0, og formelen blir a2=b2+c2a^2 = b^2 + c^2.

Eksempel: Bruke cosinussetningen

En trekant har sidene b=5b = 5 og c=6c = 6, med vinkelen A=60°A = 60° mellom dem. Finn side aa.

Innsetting i cosinussetningen
LeddVerdi
b² + c²61
2bc60
cos 60°0,5
a²61 - 30 = 31
aca. 5,57
Løsning:
  1. Oppgaven gir b=5b = 5, c=6c = 6 og A=60°A = 60° mellom dem, så cosinussetningen er riktig verktøy
  2. sett inn: a2=52+62−2⋅5⋅6⋅cos⁡60°a^2 = 5^2 + 6^2 - 2 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \cos 60°
  3. regn ut leddene: 25+36=6125 + 36 = 61, og 2⋅5⋅6=602 \cdot 5 \cdot 6 = 60
  4. cos⁡60°=0,5\cos 60° = 0,5, så det siste leddet blir 60⋅0,5=3060 \cdot 0,5 = 30
  5. a2=61−30=31a^2 = 61 - 30 = 31
  6. ta kvadratroten. Svaret er a=31≈5,57a = \sqrt{31} \approx 5,57.

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hvilken setning bruker du når du kjenner to sider og vinkelen mellom dem?

Vis fasit
BeregningResultat
To sider og vinkelen mellom dem
cosinussetningen
  1. To sider og vinkelen mellom dem
  2. cosinussetningen

L-32Hva blir cosinussetningen når A=90°A = 90°?

Vis fasit
BeregningResultat
A = 90 grader gir cos A0
siste ledd forsvinner
a² = b² + c², altså Pytagoras
  1. A = 90 grader gir cos A = 0
  2. siste ledd forsvinner
  3. a² = b² + c², altså Pytagoras

L-33En trekant har b=6b = 6, c=8c = 8 og A=90°A = 90°. Hvilken vanlig formel kan du bruke i stedet for cosinussetningen?

Vis fasit
BeregningResultat
A90 grader gjør cosinussetningen til et spesialtilfelle
Pytagoras' setning
  1. A = 90 grader gjør cosinussetningen til et spesialtilfelle
  2. Pytagoras' setning
Middels(3)

M-31En trekant har b=3b = 3, c=4c = 4 og A=90°A = 90°. Finn aa.

Vis fasit
BeregningResultat
b = 3, c = 4, A90 grader
cos 900
a² = 9 + 1625
a = 5
  1. b = 3, c = 4, A = 90 grader
  2. cos 90 = 0
  3. a² = 9 + 16 = 25
  4. a = 5

M-32En trekant har b=5b = 5, c=8c = 8 og A=60°A = 60°. Finn a2a^2.

Vis fasit
BeregningResultat
b = 5, c = 8, A60 grader
a² = 25 + 64 - 2 gange 5 gange 8 gange 0,5 = 89 - 4049
  1. b = 5, c = 8, A = 60 grader
  2. a² = 25 + 64 - 2 gange 5 gange 8 gange 0,5 = 89 - 40 = 49

M-33I oppgaven over: hva er aa?

Vis fasit
BeregningResultat
a²49
kvadratroten av 497
  1. a² = 49
  2. kvadratroten av 49 = 7
Vanskelig(3)

V-31Hvorfor er cosinussetningen en utvidelse av Pytagoras?

Vis fasit
BeregningResultat
cos 90 grader0
korreksjonsleddet forsvinner
formelen reduseres til a² = b² + c²
  1. cos 90 grader = 0
  2. korreksjonsleddet forsvinner
  3. formelen reduseres til a² = b² + c²

V-32En trekant har a=9a = 9, b=6b = 6 og c=7c = 7. Sett opp cosinussetningen for å finne vinkelen AA.

Vis fasit
BeregningResultat
a = 9, b = 6, c7
løs cosinussetningen for cos A
cos A = (b² + c² − a²) delt på 2bc
  1. a = 9, b = 6, c = 7
  2. løs cosinussetningen for cos A
  3. cos A = (b² + c² − a²) delt på 2bc

V-33I oppgaven over: hva er vinkelen AA omtrent (avrundet til nærmeste grad)?

Vis fasit
BeregningResultat
cos A = (36 + 49 − 81) delt på 84 = 4 delt på 84ca. 0,048
bruk cos⁻¹ på kalkulatoren
A er omtrent 87°
  1. cos A = (36 + 49 − 81) delt på 84 = 4 delt på 84 = ca. 0,048
  2. bruk cos⁻¹ på kalkulatoren
  3. A er omtrent 87°