NumiSum

Bevis

Du forventes å kunne dette beviset til eksamen

For en vilkårlig trekant med sider a,b,ca, b, c og motstående vinkler A,B,CA, B, C gjelder asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}.

Forutsetninger:

  • Definisjonen av sinus i en rettvinklet trekant: sin⁡v=motsta˚endehypotenus\sin v = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}.
  • Lurer du på hva som egentlig gjør noe til et gyldig matematisk bevis (i motsetning til bare et eksempel)? Se «Matematiske bevis» for en generell innføring – ikke nødvendig for å følge utledningen under, men nyttig bakgrunn.
  1. Fell høyden hh fra hjørnet CC ned på siden cc (motsatt CC). Høyden deler trekanten i to rettvinklede trekanter.
  2. I den ene rettvinklede trekanten, med vinkel AA, er hh motstående katet og bb hypotenus:
    sin⁡A=hb⇒h=bsin⁡A\sin A = \frac{h}{b} \Rightarrow h = b \sin A
  3. I den andre rettvinklede trekanten, med vinkel BB, er hh motstående katet og aa hypotenus:
    sin⁡B=ha⇒h=asin⁡B\sin B = \frac{h}{a} \Rightarrow h = a \sin B
  4. Begge uttrykkene er lik samme høyde hh, så de er lik hverandre:
    bsin⁡A=asin⁡Bb \sin A = a \sin B
  5. Del begge sider på sin⁡A⋅sin⁡B\sin A \cdot \sin B:
    asin⁡A=bsin⁡B\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
  6. Feller du i stedet høyden fra et annet hjørne, f.eks. fra AA ned på aa, gir nøyaktig samme argument bsin⁡B=csin⁡C\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}. Alle tre forholdene er derfor like.

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

Du forventes å kunne dette beviset til eksamen

For en vilkårlig trekant med sider a,b,ca, b, c og vinkel AA mellom sidene bb og cc gjelder a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A.

Forutsetninger:

  • Pytagoras' setning for rettvinklede trekanter.
  • Den trigonometriske ettéren sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^2 A + \cos^2 A = 1 – følger direkte av definisjonene fra «Sinus, cosinus og tangens i rettvinklede trekanter» og Pytagoras: er motstående mm, hosliggende nn og hypotenus hh, er sin⁡A=mh\sin A = \frac{m}{h} og cos⁡A=nh\cos A = \frac{n}{h}, så sin⁡2A+cos⁡2A=m2+n2h2=h2h2=1\sin^2 A + \cos^2 A = \frac{m^2+n^2}{h^2} = \frac{h^2}{h^2} = 1 (siden m2+n2=h2m^2+n^2=h^2 per Pytagoras).
  1. Fell høyden hh fra hjørnet CC ned på siden cc. Høyden treffer cc i et punkt som deler den i to biter: én bit nærmest AA (fra den rettvinklede trekanten ved AA), og resten:
    h=bsin⁡A,biten nærmest A=bcos⁡A,resten=c−bcos⁡Ah = b \sin A, \quad \text{biten nærmest } A = b \cos A, \quad \text{resten} = c - b \cos A
  2. Bruk Pytagoras i den rettvinklede trekanten som inneholder siden aa, høyden hh og resten av cc:
    a2=h2+(c−bcos⁡A)2a^2 = h^2 + (c - b \cos A)^2
  3. Sett inn h=bsin⁡Ah = b \sin A og gang ut parentesen:
    a2=b2sin⁡2A+c2−2bccos⁡A+b2cos⁡2Aa^2 = b^2 \sin^2 A + c^2 - 2bc \cos A + b^2 \cos^2 A
  4. Grupper de to leddene med b2b^2, og bruk sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^2 A + \cos^2 A = 1:
    a2=b2(sin⁡2A+cos⁡2A)+c2−2bccos⁡A=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2(\sin^2 A + \cos^2 A) + c^2 - 2bc \cos A = b^2 + c^2 - 2bc \cos A

a2=b2+c2−2bccos⁡Aa^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A

Du forventes å kunne dette beviset til eksamen

For en vilkårlig trekant med sider a,ba, b og vinkelen CC mellom dem er arealet A=12absin⁡CA = \frac{1}{2}ab \sin C.

Forutsetninger:

  • Den vanlige arealformelen for en trekant: A=grunnlinje⋅høyde2A = \frac{\text{grunnlinje} \cdot \text{høyde}}{2}.
  1. Fell høyden hh fra hjørnet mellom sidene aa og bb ned på siden aa (grunnlinjen). I den rettvinklede trekanten som oppstår er hh motstående katet til vinkelen CC, og bb er hypotenus:
    sin⁡C=hb⇒h=bsin⁡C\sin C = \frac{h}{b} \Rightarrow h = b \sin C
  2. Sett dette inn i den vanlige arealformelen, med aa som grunnlinje:
    A=a⋅h2=a⋅bsin⁡C2A = \frac{a \cdot h}{2} = \frac{a \cdot b \sin C}{2}

A=12absin⁡CA = \frac{1}{2}ab \sin C