NumiSum

Arealsetningen

Den vanlige arealformelen g⋅h2\frac{g \cdot h}{2} krever at du kjenner høyden, og den er ofte ikke oppgitt. Arealsetningen lar deg regne arealet fra to sider og vinkelen mellom dem i stedet: A=12absin⁡CA = \frac{1}{2}ab \sin C. Den følger direkte av den vanlige formelen, fordi høyden hh kan skrives som bsin⁡Cb \sin C.

Arealsetningen

A=12absin⁡CA = \frac{1}{2}ab \sin C

habc
Høyden h deler trekanten i to rettvinklede – det er slik arealsetningen utledes

Tips

  • Vinkelen MÅ ligge mellom de to sidene du bruker. Bruker du en annen vinkel, gir formelen feil areal.
  • Er C=90°C = 90°, blir sin⁡C=1\sin C = 1 og formelen blir 12ab\frac{1}{2}ab, nettopp halve produktet av katetene, som i en rettvinklet trekant.

Eksempel: Regne areal uten å kjenne høyden

En trekant har sidene a=8a = 8 og b=5b = 5 med vinkelen C=30°C = 30° mellom dem. Finn arealet.

Løsning:
  1. Oppgaven gir a=8a = 8, b=5b = 5 og C=30°C = 30° mellom dem, så arealsetningen passer
  2. sett inn: A=12⋅8⋅5⋅sin⁡30°A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 30°
  3. regn ut produktet av sidene: 8⋅5=408 \cdot 5 = 40, og halvparten er 2020
  4. sin⁡30°=0,5\sin 30° = 0{,}5, så A=20⋅0,5A = 20 \cdot 0{,}5. Arealet er 1010.
Innsetting i arealsetningen
LeddVerdi
a * b40
halvparten20
sin 30°0,5
Areal10

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-51Hva er sin⁡90°\sin 90°?

Vis fasit
  1. sin⁡90°\sin 90° er en standardverdi
  2. 11

L-52Må vinkelen ligge mellom de to sidene i arealsetningen?

Vis fasit
  1. Formelen forutsetter vinkelen mellom sidene
  2. ja, ellers blir arealet feil

L-53En trekant har a=4a = 4, b=6b = 6 og C=90°C = 90°. Finn arealet.

Vis fasit
  1. a=4a = 4, b=6b = 6, C=90°C = 90°
  2. sin⁡90°=1\sin 90° = 1
  3. 12⋅4⋅6⋅1=\frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 \cdot 1 = 1212
Middels(3)

M-51En trekant har a=10a = 10, b=4b = 4 og C=30°C = 30°. Finn arealet.

Vis fasit
  1. a=10a = 10, b=4b = 4, C=30°C = 30°
  2. 12⋅10⋅4=20\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 4 = 20
  3. 20⋅0,5=20 \cdot 0{,}5 = 1010

M-52En trekant har a=6a = 6, b=6b = 6 og C=90°C = 90°. Finn arealet.

Vis fasit
  1. a=6a = 6, b=6b = 6, C=90°C = 90°
  2. sin⁡90°=1\sin 90° = 1
  3. 12⋅6⋅6⋅1=\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 \cdot 1 = 1818

M-53Hva blir arealsetningen når C=90°C = 90°?

Vis fasit
  1. C=90°C = 90° gir sin⁡C=1\sin C = 1
  2. A=12⋅a⋅bA = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b
Vanskelig(3)

V-51En trekant har a=12a = 12, b=5b = 5 og C=30°C = 30°. Finn arealet.

Vis fasit
  1. a=12a = 12, b=5b = 5, C=30°C = 30°
  2. 12⋅12⋅5=30\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 5 = 30
  3. 30⋅0,5=30 \cdot 0{,}5 = 1515

V-52Hvorfor er h=bsin⁡Ch = b \sin C?

Vis fasit
  1. Høyden deler trekanten
  2. sin⁡C=hb\sin C = \frac{h}{b}
  3. gang med bb
  4. h=b⋅sin⁡Ch = b \cdot \sin C

V-53To trekanter har samme aa og bb, men C=30°C = 30° og C=150°C = 150°. Er arealene like?

Vis fasit
  1. sin 30 = 0,5 og sin 150 = 0,5
  2. samme sinusverdi
  3. ja, arealene er like