Arealsetningen

Den vanlige arealformelen $\frac{g \cdot h}{2}$ krever at du kjenner høyden – og den er ofte ikke oppgitt. Arealsetningen lar deg regne arealet fra to sider og vinkelen mellom dem i stedet: $A = \frac{1}{2}ab \sin C$ . Den følger direkte av den vanlige formelen, fordi høyden $h$ kan skrives som $b \sin C$ .

Arealsetningen

$A = \frac{1}{2}ab \sin C$

Høyden h deler trekanten i to rettvinklede – det er slik arealsetningen utledes

Tips

Vinkelen MÅ ligge mellom de to sidene du bruker. Bruker du en annen vinkel, gir formelen feil areal.
Er $C = 90°$ , blir $\sin C = 1$ og formelen blir $\frac{1}{2}ab$ – nettopp halve produktet av katetene, som i en rettvinklet trekant.

Eksempel: Regne areal uten å kjenne høyden

En trekant har sidene $a = 8$ og $b = 5$ med vinkelen $C = 30°$ mellom dem. Finn arealet.

Innsetting i arealsetningen
Ledd	Verdi
a * b	40
halvparten	20
sin 30°	0,5
Areal	10

Løsning:

Oppgaven gir $a = 8$ , $b = 5$ og $C = 30°$ mellom dem, så arealsetningen passer
sett inn: $A = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 30°$
regn ut produktet av sidene: $8 \cdot 5 = 40$ , og halvparten er $20$
$\sin 30° = 0,5$ , så $A = 20 \cdot 0,5$ . Arealet er $10$ .

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41Hva er $\sin 90°$ ?

Vis fasit

Beregning	Resultat
sin 90 grader er en standardverdi
1

sin 90 grader er en standardverdi
1

L-42Må vinkelen ligge mellom de to sidene i arealsetningen?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Formelen forutsetter vinkelen mellom sidene
ja, ellers blir arealet feil

Formelen forutsetter vinkelen mellom sidene
ja, ellers blir arealet feil

L-43En trekant har

a = 4

b = 6

C = 90°

. Finn arealet.

Vis fasit

Beregning	Resultat
a = 4, b = 6, C	90 grader
sin 90	1
halvparten av 4 gange 6	12

a = 4, b = 6, C = 90 grader
sin 90 = 1
halvparten av 4 gange 6 = 12

Middels(3)

M-41En trekant har

a = 10

b = 4

C = 30°

. Finn arealet.

Vis fasit

Beregning	Resultat
a = 10, b = 4, C	30 grader
halvparten av 40 er 20
20 gange 0,5	10

a = 10, b = 4, C = 30 grader
halvparten av 40 er 20
20 gange 0,5 = 10

M-42En trekant har

a = 6

b = 6

C = 90°

. Finn arealet.

Vis fasit

Beregning	Resultat
a = 6, b = 6, C	90 grader
sin 90	1
halvparten av 36	18

a = 6, b = 6, C = 90 grader
sin 90 = 1
halvparten av 36 = 18

M-43Hva blir arealsetningen når

C = 90°

Vis fasit

Beregning	Resultat
C = 90 grader gir sin C	1
A = halvparten av a gange b

C = 90 grader gir sin C = 1
A = halvparten av a gange b

Vanskelig(3)

V-41En trekant har

a = 12

b = 5

C = 30°

. Finn arealet.

Vis fasit

Beregning	Resultat
a = 12, b = 5, C	30 grader
halvparten av 60 er 30
30 gange 0,5	15

a = 12, b = 5, C = 30 grader
halvparten av 60 er 30
30 gange 0,5 = 15

V-42Hvorfor er

h = b \sin C

Vis fasit

Beregning	Resultat
Høyden deler trekanten
sin C	h delt på b
gang med b
h = b gange sin C

Høyden deler trekanten
sin C = h delt på b
gang med b
h = b gange sin C

V-43To trekanter har samme

a

b

, men

C = 30°

C = 150°

. Er arealene like?

Vis fasit

Beregning	Resultat
sin 30 = 0,5 og sin 150	0,5
samme sinusverdi
ja, arealene er like

sin 30 = 0,5 og sin 150 = 0,5
samme sinusverdi
ja, arealene er like