NumiSum

Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 2 – Oppgave 3

Med hjelpemidler – 4 poeng

Du får vite følgende om en trekant ABCABC:

  • ABAB er 88
  • ∠A=120°\angle A = 120°
  • Arealet av trekanten er 434\sqrt{3}

Bestem lengdene av sidene ACAC og BCBC eksakt.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne de eksakte lengdene av sidene ACAC og BCBC i trekant ABCABC.

Strategi og formel: Vi bruker arealsetningen til å finne ACAC ut fra det oppgitte arealet, og deretter cosinussetningen til å finne BCBC.

Trinnvis utregning:

  1. Areal =12⋅AB⋅AC⋅sin⁡(A)= \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(A)
  2. 43=12⋅8⋅AC⋅sin⁡(120°)4\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot AC \cdot \sin(120°)
  3. sin⁡(120°)=32\sin(120°)=\frac{\sqrt{3}}{2}
  4. 43=4⋅AC⋅32=23⋅AC4\sqrt{3} = 4 \cdot AC \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \cdot AC
  5. AC=4323=2AC = \frac{4\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 2
  6. cosinussetningen: BC2=AB2+AC2−2⋅AB⋅AC⋅cos⁡(A)BC^2 = AB^2+AC^2-2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(A)
  7. BC2=82+22−2⋅8⋅2⋅cos⁡(120°)BC^2 = 8^2+2^2-2 \cdot 8 \cdot 2 \cdot \cos(120°)
  8. cos⁡(120°)=−12\cos(120°)=-\frac{1}{2}
  9. BC2=64+4−2⋅8⋅2⋅(−12)=68+16=84BC^2 = 64+4-2 \cdot 8 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 68+16 = 84
  10. BC=84=221BC = \sqrt{84} = 2\sqrt{21}

Svar: AC=2AC = 2 og BC=221BC = 2\sqrt{21}

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)
PoengKrav
4/4Bruker arealsetningen riktig til å finne AC=2, og cosinussetningen riktig til å finne BC=2212\sqrt{21}, med eksakte verdier og synlig fremgangsmåte.
2-3/4Finner AC riktig med arealsetningen, men gjør en feil i cosinussetningen (f.eks. feil fortegn på cos(120°)), eller finner begge med riktig metode men avrunder til desimaltall i stedet for eksakt svar.
0-1/4Feil bruk av arealsetningen, eller kun tallsvar uten fremgangsmåte.

Sensor-tips

  • cos(120°) = −12\frac{1}{2} (negativ, siden 120° er en stump vinkel), en vanlig feil er å bruke +12\frac{1}{2}.
  • Eksakt svar betyr svar med rottegn (2212\sqrt{21}), ikke en avrundet desimalverdi.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1T matematikk, Vår 2024, Del 2, Oppgave 3

Utdanningsdirektoratet

Vår 2025, Del 2 – Oppgave 3

Med hjelpemidler – 4 poeng

En tolvkant er innskrevet i en sirkel. Se figuren ovenfor. Tolvkanten er satt sammen av tolv like store likebeinte trekanter. Arealet av tolvkanten er 120.

  • a) Bestem diameter i sirkelen. Gi svaret eksakt.

  • b) Bestem omkretsen av tolvkanten. Gi svaret eksakt.

30°
Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne diameteren i sirkelen og omkretsen av tolvkanten, begge som eksakte verdier.

Strategi og formel: Hver av de tolv trekantene har toppvinkel 360∘:12=30∘360^\circ : 12 = 30^\circ og to like lange sider som er radius rr i sirkelen. Arealsetningen gir rr fra arealet av en trekant. Så bruker vi cosinussetningen til å finne grunnlinjen ss, som er en side i tolvkanten.

Trinnvis utregning:

  1. Areal av én trekant: 120:12=10120 : 12 = 10
  2. arealsetningen: 10=12⋅r⋅r⋅sin⁡30∘=12⋅r2⋅12=r2410 = \frac{1}{2} \cdot r \cdot r \cdot \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \cdot r^2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{r^2}{4}
  3. r2=40r^2 = 40
  4. r=40=210r = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}
  5. diameter: 2r=4102r = 4\sqrt{10}
  6. b) cosinussetningen: s2=r2+r2−2⋅r⋅r⋅cos⁡30∘=2⋅40−2⋅40⋅32=80−403s^2 = r^2 + r^2 - 2 \cdot r \cdot r \cdot \cos 30^\circ = 2 \cdot 40 - 2 \cdot 40 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 80 - 40\sqrt{3}
  7. s=80−403=215−25s = \sqrt{80 - 40\sqrt{3}} = 2\sqrt{15} - 2\sqrt{5}, siden (215−25)2=60+20−403=80−403(2\sqrt{15} - 2\sqrt{5})^2 = 60 + 20 - 40\sqrt{3} = 80 - 40\sqrt{3}
  8. omkrets: 12⋅s=12⋅(215−25)=2415−24512 \cdot s = 12 \cdot (2\sqrt{15} - 2\sqrt{5}) = 24\sqrt{15} - 24\sqrt{5}

Svar: a) Diameteren er 4104\sqrt{10} (≈12,65\approx 12{,}65). b) Omkretsen er 2415−24524\sqrt{15} - 24\sqrt{5} (≈39,29\approx 39{,}29).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)
PoengKrav
4/4Begge svarene riktige og eksakte, med bruk av arealsetningen til å finne radius og cosinussetningen (eller 2rsin⁡15∘2r \sin 15^\circ) til å finne en side i tolvkanten.
2-3/4Riktig diameter og riktig strategi i b), men med regnefeil eller svar som ikke er eksakt. Sensor: en kandidat som ikke regner med eksakte verdier får høyst tre poeng.
1/4Gjør noen riktige beregninger, for eksempel at hver trekant har areal 10 og toppvinkel 30∘30^\circ.
0/4Ingen riktige beregninger.

Sensor-tips

  • Sensor: begge deloppgavene krever eksakte verdier. Svaret 12,6512{,}65 for diameteren gir ikke full uttelling.
  • Det er lett å bruke sirkelens radius som en side i tolvkanten. Siden i tolvkanten er grunnlinjen i den likebeinte trekanten og er kortere enn radius.
  • Man kan også finne siden som 2rsin⁡15∘2r \sin 15^\circ med sin⁡15∘=6−24\sin 15^\circ = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}. Det gir samme svar, men krever at eleven kjenner den eksakte verdien av sin⁡15∘\sin 15^\circ.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1T matematikk, Vår 2025, Del 2, Oppgave 3

Utdanningsdirektoratet

Høst 2023, Del 2 – Oppgave 2

Med hjelpemidler – 3 poeng

I denne oppgaven skal du vise at du kan bruke trigonometri til å bestemme arealet av figuren ovenfor.

Bestem arealet. Husk å gjøre rede for hvilke trigonometriske sammenhenger du bruker.

DCBA8612125°35°
Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne arealet av firkanten ABCD og forklare hvilke trigonometriske sammenhenger vi bruker.

Strategi og formel: Vi deler firkanten i to trekanter langs diagonalen BD = 12. I trekant BCD kjenner vi alle tre sidene, så vi finner vinkel C med cosinussetningen og arealet med arealsetningen. I trekant ABD kjenner vi vinkel A = 125° og vinkel ABD = 35°, så vinkel ADB er 20°. Sinussetningen gir AB, og arealsetningen gir arealet.

Trinnvis utregning:

  1. Trekant BCD: sidene er 88, 66 og 1212
  2. cosinussetningen: cos⁡C=82+62−1222⋅8⋅6=−4496≈−0,458\cos C = \frac{8^2 + 6^2 - 12^2}{2 \cdot 8 \cdot 6} = \frac{-44}{96} \approx -0{,}458
  3. C≈117,3∘C \approx 117{,}3^\circ
  4. arealsetningen: TBCD=12⋅8⋅6⋅sin⁡117,3∘≈21,33T_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 \cdot \sin 117{,}3^\circ \approx 21{,}33
  5. trekant ABD: vinkel ADB=180∘−125∘−35∘=20∘ADB = 180^\circ - 125^\circ - 35^\circ = 20^\circ
  6. sinussetningen: ABsin⁡20∘=12sin⁡125∘\frac{AB}{\sin 20^\circ} = \frac{12}{\sin 125^\circ}
  7. AB=12⋅sin⁡20∘sin⁡125∘≈5,01AB = \frac{12 \cdot \sin 20^\circ}{\sin 125^\circ} \approx 5{,}01
  8. arealsetningen: TABD=12⋅AB⋅BD⋅sin⁡35∘=12⋅5,01⋅12⋅sin⁡35∘≈17,24T_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BD \cdot \sin 35^\circ = \frac{1}{2} \cdot 5{,}01 \cdot 12 \cdot \sin 35^\circ \approx 17{,}24
  9. samlet areal: 21,33+17,24=38,5721{,}33 + 17{,}24 = 38{,}57

Svar: Arealet av firkanten ABCD er ca. 38,638{,}6 (arealenhet). Vi brukte cosinussetningen og arealsetningen i trekant BCD, og sinussetningen og arealsetningen i trekant ABD.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)
PoengKrav
3/3Deler firkanten i to trekanter, bruker riktige trigonometriske sammenhenger (cosinussetningen, sinussetningen og arealsetningen), forklarer hvilke, og får arealet ca. 38,6.
2/3Riktig strategi og riktig areal for den ene trekanten, med en feil i den andre.
1/3Gjør noen riktige beregninger, for eksempel å bestemme en ukjent side eller vinkel. Sensor: 1 poeng for å bestemme en ukjent side og 1 poeng for å bestemme en ukjent vinkel i trekant BCD.
0/3Ingen riktige beregninger.

Sensor-tips

  • Sensor: kandidaten kan for eksempel få 1 poeng for å bestemme lengden av en ukjent side og 1 poeng for å bestemme en ukjent vinkel i trekant BCD.
  • Vinkelen 125∘125^\circ er innvendig vinkel i hjørnet A. Hvis man bruker 125∘125^\circ i trekant BCD, har man blandet sammen de to trekantene.
  • Man kan også finne ADAD med sinussetningen og bruke T=12⋅AB⋅AD⋅sin⁡125∘T = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin 125^\circ. Det gir samme areal i trekant ABD.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1T matematikk, Høst 2023, Del 2, Oppgave 2