NumiSum

Sinus, cosinus og tangens i rettvinklede trekanter

435
Rettvinklet trekant med sidene 3, 4 og 5

I en rettvinklet trekant er hypotenusen den lengste siden (motsatt den rette vinkelen). Ser du fra en av de spisse vinklene, kalles siden rett overfor den MOTSTÅENDE kateten, og siden inntil den HOSLIGGENDE. De tre forholdene er sin⁡v=motsta˚endehypotenus\sin v = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}, cos⁡v=hosliggendehypotenus\cos v = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}} og tan⁡v=motsta˚endehosliggende\tan v = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}.

Sinus

sin⁡v=motsta˚endehypotenus\sin v = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}

Cosinus

cos⁡v=hosliggendehypotenus\cos v = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}

Tangens

tan⁡v=motsta˚endehosliggende\tan v = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}

Tips

  • Hvilken side som er «motstående» og «hosliggende» avhenger av HVILKEN vinkel du ser fra. Hypotenusen er den eneste som alltid er den samme.
  • Sjekk at kalkulatoren står i grader (DEG), ikke radianer (RAD). Feil modus er den vanligste kilden til helt urimelige svar.
  • Den engelskspråklige huskeregelen SOH-CAH-TOA kan hjelpe deg å huske de tre forholdene: Sine = Opposite / Hypotenuse, Cosine = Adjacent / Hypotenuse, Tangent = Opposite / Adjacent – altså sinus = motstående / hypotenus, cosinus = hosliggende / hypotenus, tangens = motstående / hosliggende. Nøyaktig de samme tre forholdene som over, bare en annen måte å huske dem på.

Eksempel: Finne en side med cosinus

En rettvinklet trekant har hypotenus 1010 og en vinkel på 60°60°. Finn den hosliggende kateten.

Velg riktig forhold
KjentSøktBruk
hypotenusmotståendesinus
hypotenushosliggendecosinus
hosliggendemotståendetangens
Løsning:
  1. Oppgaven gir hypotenus 1010 og vinkel 60°60°, og spør etter den hosliggende kateten
  2. det er nettopp forholdet cosinus beskriver: cos⁡v=hosliggendehypotenus\cos v = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}
  3. sett inn: cos⁡60°=x10\cos 60° = \frac{x}{10}
  4. gang begge sider med 1010: x=10⋅cos⁡60°x = 10 \cdot \cos 60°
  5. cos⁡60°=0,5\cos 60° = 0,5, så x=10⋅0,5x = 10 \cdot 0,5. Den hosliggende kateten er 55.
Alternativ forklaring/metode: Se sinus og cosinus som koordinater

Tilleggsinformasjon – ikke pensum på dette nivået

Enhetssirkelen

Forutsetninger:

  • Denne definisjonen generaliserer forbi rettvinklede trekanter til vinkler over 90° og under 0° – det er R2-pensum (trigonometriske-funksjoner-og-identiteter), ikke 1T. Tatt med her som en forhåndsvisning av sammenhengen, ikke fordi den forventes på 1T-eksamen.

På en sirkel med radius 11 (enhetssirkelen), sentrert i origo, er cos⁡v\cos v nettopp xx-koordinaten og sin⁡v\sin v nettopp yy-koordinaten til punktet du når når du dreier vinkelen vv fra xx-aksen. For v=60°v = 60° er punktet (cos⁡60°, sin⁡60°)=(0,5, 32)(\cos 60°,\ \sin 60°) = \left(0{,}5,\ \frac{\sqrt3}{2}\right) – xx-koordinaten 0,50{,}5 er nøyaktig svaret hovedeksempelet fant. Metoden generaliserer forbi rettvinklede trekanter: den fungerer også for vinkler over 90°90°, noe du møter igjen i R2.

Punktet på enhetssirkelen ved v = 60°
KoordinatVerdiTilsvarer
x0,5cos⁡60°\cos 60°
y32≈0,87\frac{\sqrt3}{2} \approx 0{,}87sin⁡60°\sin 60°
Punktet (cos 60°, sin 60°) på enhetssirkelen
xy0,500,8760°1(0,50, 0,87)
Alternativ forklaring/metode: Utled de vanligste vinklene geometrisk

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Eksakte verdier via spesialtrekanter

I stedet for å pugge tabellen med eksakte verdier, utled dem fra to kjente trekanter. En likebeint, rettvinklet trekant med katetene 11 og 11 har hypotenus 12+12=2\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2, som gir sin⁡45°=cos⁡45°=12=22\sin 45° = \cos 45° = \frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}. En likesidet trekant med side 22, delt i to ved høyden, gir en rettvinklet trekant med sidene 11, 3\sqrt3 og hypotenus 22 – det gir sin⁡30°=12\sin 30° = \frac12 og cos⁡30°=32\cos 30° = \frac{\sqrt3}{2}, og siden 60°60° er den andre spisse vinkelen i samme trekant: sin⁡60°=32\sin 60° = \frac{\sqrt3}{2} og cos⁡60°=12\cos 60° = \frac12 – samme svar som cosinus ga i hovedeksempelet.

11$\sqrt{2}$
Likebeint rettvinklet trekant – gir sin 45° = cos 45°
h222
Likesidet trekant med side 2 – høyden deler den i to trekanter med sidene 1, √3 og 2
Eksakte verdier fra spesialtrekantene
Vinkelsincos
30°12\frac1232\frac{\sqrt3}{2}
45°22\frac{\sqrt2}{2}22\frac{\sqrt2}{2}
60°32\frac{\sqrt3}{2}12\frac12

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hva er den lengste siden i en rettvinklet trekant kalt?

Vis fasit
BeregningResultat
Den lengste siden ligger motsatt den rette vinkelen
hypotenusen
  1. Den lengste siden ligger motsatt den rette vinkelen
  2. hypotenusen

L-12Hva er sin⁡30°\sin 30°?

Vis fasit
BeregningResultat
sin 30 grader er en standardverdi
0,5
  1. sin 30 grader er en standardverdi
  2. 0,5

L-13Hva er cos⁡60°\cos 60°?

Vis fasit
BeregningResultat
cos 60 grader er en standardverdi
0,5
  1. cos 60 grader er en standardverdi
  2. 0,5
Middels(3)

M-11En trekant har hypotenus 1010 og vinkel 30°30°. Finn den motstående kateten.

Vis fasit
BeregningResultat
Hypotenus 10 og vinkel 30 grader
sin 30x delt på 10
x = 10 gange 0,55
  1. Hypotenus 10 og vinkel 30 grader
  2. sin 30 = x delt på 10
  3. x = 10 gange 0,5 = 5

M-12En trekant har kateter 33 og 44. Finn hypotenusen.

Vis fasit
BeregningResultat
Kateter 3 og 4
Pytagoras: 9 + 1625
kvadratroten av 255
  1. Kateter 3 og 4
  2. Pytagoras: 9 + 16 = 25
  3. kvadratroten av 25 = 5

M-13For en vinkel med motstående 33 og hosliggende 44: hva er tan⁡v\tan v?

Vis fasit
BeregningResultat
Motstående 3 og hosliggende 4
tan v = 3 delt på 40,75
  1. Motstående 3 og hosliggende 4
  2. tan v = 3 delt på 4 = 0,75
Vanskelig(3)

V-11En stige på 55 m står med hypotenus 55 og vinkel 60°60° mot bakken. Hvor høyt når den?

Vis fasit
BeregningResultat
Hypotenus 5 og vinkel 60 grader
høyden er motstående
5 gange sin 60 = 5 gange 0,866ca. 4,33 m
  1. Hypotenus 5 og vinkel 60 grader
  2. høyden er motstående
  3. 5 gange sin 60 = 5 gange 0,866 = ca. 4,33 m

V-12Hvorfor kan ikke sin⁡v\sin v bli større enn 1?

Vis fasit
BeregningResultat
Vi spør om sin v kan bli større enn 1
sin vmotstående delt på hypotenus
telleren er alltid minst
brøken kan aldri overstige 1
  1. Vi spør om sin v kan bli større enn 1
  2. sin v = motstående delt på hypotenus
  3. telleren er alltid minst
  4. brøken kan aldri overstige 1

V-13En trekant har hypotenus 1313 og en katet 55. Finn den andre kateten.

Vis fasit
BeregningResultat
Hypotenus 13 og katet 5
Pytagoras: 169 - 25144
kvadratroten av 14412
  1. Hypotenus 13 og katet 5
  2. Pytagoras: 169 - 25 = 144
  3. kvadratroten av 144 = 12