NumiSum

Sinus, cosinus og tangens i rettvinklede trekanter

435
Rettvinklet trekant med sidene 3, 4 og 5

I en rettvinklet trekant er hypotenusen den lengste siden (motsatt den rette vinkelen). Ser du fra en av de spisse vinklene, kalles siden rett overfor den MOTSTÅENDE kateten, og siden inntil den HOSLIGGENDE. De tre forholdene er sin⁡v=motsta˚endehypotenus\sin v = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}, cos⁡v=hosliggendehypotenus\cos v = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}} og tan⁡v=motsta˚endehosliggende\tan v = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}.

Sinus

sin⁡v=motsta˚endehypotenus\sin v = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}

Cosinus

cos⁡v=hosliggendehypotenus\cos v = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}

Tangens

tan⁡v=motsta˚endehosliggende\tan v = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}

Tips

  • Hvilken side som er «motstående» og «hosliggende» avhenger av HVILKEN vinkel du ser fra. Hypotenusen er den eneste som alltid er den samme.
  • Sjekk at kalkulatoren står i grader (DEG), ikke radianer (RAD). Feil modus er den vanligste kilden til helt urimelige svar.
  • Den engelskspråklige huskeregelen SOH-CAH-TOA kan hjelpe deg å huske de tre forholdene: Sine = Opposite / Hypotenuse, Cosine = Adjacent / Hypotenuse, Tangent = Opposite / Adjacent, altså sinus = motstående / hypotenus, cosinus = hosliggende / hypotenus, tangens = motstående / hosliggende. Nøyaktig de samme tre forholdene som over, bare en annen måte å huske dem på.

Eksempel: Finne en side med cosinus

En rettvinklet trekant har hypotenus 1010 og en vinkel på 60°60°. Finn den hosliggende kateten.

Løsning:
  1. Oppgaven gir hypotenus 1010 og vinkel 60°60°, og spør etter den hosliggende kateten
  2. det er nettopp forholdet cosinus beskriver: cos⁡v=hosliggendehypotenus\cos v = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenus}}
  3. sett inn: cos⁡60°=x10\cos 60° = \frac{x}{10}
  4. gang begge sider med 1010: x=10⋅cos⁡60°x = 10 \cdot \cos 60°
  5. cos⁡60°=0,5\cos 60° = 0{,}5, så x=10⋅0,5x = 10 \cdot 0{,}5. Den hosliggende kateten er 55.
Velg riktig forhold
KjentSøktBruk
hypotenusmotståendesinus
hypotenushosliggendecosinus
hosliggendemotståendetangens
Alternativ forklaring/metode: Se sinus og cosinus som koordinater

Tilleggsinformasjon – ikke pensum på dette nivået

Enhetssirkelen

Forutsetninger:

  • Denne definisjonen generaliserer forbi rettvinklede trekanter til vinkler over 90° og under 0°. Det er R2-pensum (trigonometriske-funksjoner-og-identiteter), ikke 1T. Tatt med her som en forhåndsvisning av sammenhengen, ikke fordi den forventes på 1T-eksamen.

På en sirkel med radius 11 (enhetssirkelen), sentrert i origo, er cos⁡v\cos v nettopp xx-koordinaten og sin⁡v\sin v nettopp yy-koordinaten til punktet du når når du dreier vinkelen vv fra xx-aksen. For v=60°v = 60° er punktet (cos⁡60°, sin⁡60°)=(0,5, 32)(\cos 60°,\ \sin 60°) = \left(0{,}5,\ \frac{\sqrt3}{2}\right): xx-koordinaten 0,50{,}5 er nøyaktig svaret hovedeksempelet fant. Metoden generaliserer forbi rettvinklede trekanter: den fungerer også for vinkler over 90°90°, noe du møter igjen i R2.

Punktet på enhetssirkelen ved v = 60°
KoordinatVerdiTilsvarer
x0,5cos⁡60°\cos 60°
y32≈0,87\frac{\sqrt3}{2} \approx 0{,}87sin⁡60°\sin 60°
Punktet (cos 60°, sin 60°) på enhetssirkelen
xy0,500,8760°1(0,50, 0,87)
Alternativ forklaring/metode: Utled de vanligste vinklene geometrisk

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Eksakte verdier via spesialtrekanter

I stedet for å pugge tabellen med eksakte verdier, utled dem fra to kjente trekanter. En likebeint, rettvinklet trekant med katetene 11 og 11 har hypotenus 12+12=2\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2, som gir sin⁡45°=cos⁡45°=12=22\sin 45° = \cos 45° = \frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}. En likesidet trekant med side 22, delt i to ved høyden, gir en rettvinklet trekant med sidene 11, 3\sqrt3 og hypotenus 22. Det gir sin⁡30°=12\sin 30° = \frac12 og cos⁡30°=32\cos 30° = \frac{\sqrt3}{2}, og siden 60°60° er den andre spisse vinkelen i samme trekant: sin⁡60°=32\sin 60° = \frac{\sqrt3}{2} og cos⁡60°=12\cos 60° = \frac12, samme svar som cosinus ga i hovedeksempelet.

11$\sqrt{2}$
Likebeint rettvinklet trekant – gir sin 45° = cos 45°
h222
Likesidet trekant med side 2 – høyden deler den i to trekanter med sidene 1, √3 og 2
Eksakte verdier fra spesialtrekantene
Vinkelsincos
30°12\frac1232\frac{\sqrt3}{2}
45°22\frac{\sqrt2}{2}22\frac{\sqrt2}{2}
60°32\frac{\sqrt3}{2}12\frac12

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva er den lengste siden i en rettvinklet trekant kalt?

Vis fasit
  1. Den lengste siden ligger motsatt den rette vinkelen
  2. hypotenusen

L-22Hva er sin⁡30°\sin 30°?

Vis fasit
  1. sin⁡30°\sin 30° er en standardverdi
  2. 0,50{,}5

L-23Hva er cos⁡60°\cos 60°?

Vis fasit
  1. cos⁡60°\cos 60° er en standardverdi
  2. 0,50{,}5
Middels(3)

M-21En trekant har hypotenus 1010 og vinkel 30°30°. Finn den motstående kateten.

Vis fasit
  1. Hypotenus 1010 og vinkel 30°30°
  2. sin⁡30°=x10\sin 30° = \frac{x}{10}
  3. x=10⋅0,5=x = 10 \cdot 0{,}5 = 55

M-22En trekant har kateter 33 og 44. Finn hypotenusen.

Vis fasit
  1. Kateter 33 og 44
  2. Pytagoras: 9+16=259 + 16 = 25
  3. 25=\sqrt{25} = 55

M-23For en vinkel med motstående 33 og hosliggende 44: hva er tan⁡v\tan v?

Vis fasit
  1. Motstående 33 og hosliggende 44
  2. tan⁡v=34=\tan v = \frac{3}{4} = 0,750{,}75
Vanskelig(3)

V-21En stige på 55 m står med hypotenus 55 og vinkel 60°60° mot bakken. Hvor høyt når den? Svar i meter, avrundet til to desimaler.

Vis fasit
  1. Hypotenus 55 og vinkel 60°60°
  2. høyden er motstående
  3. 5⋅sin⁡60°=5⋅0,866≈5 \cdot \sin 60° = 5 \cdot 0{,}866 \approx 4,334{,}33 m

V-22Hvorfor kan ikke sin⁡v\sin v bli større enn 1?

Vis fasit
  1. Vi spør om sin⁡v\sin v kan bli større enn 11
  2. sin⁡v=motsta˚endehypotenus\sin v = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}
  3. telleren er aldri større enn nevneren
  4. brøken kan aldri overstige 11

V-23En trekant har hypotenus 1313 og en katet 55. Finn den andre kateten.

Vis fasit
  1. Hypotenus 1313 og katet 55
  2. Pytagoras: 169−25=144169 - 25 = 144
  3. 144=\sqrt{144} = 1212