Sinussetningen

Uten rett vinkel gjelder ikke sin/cos/tan direkte, men sinussetningen redder oss når du kjenner en side og dens MOTSTÅENDE vinkel. Den sier at forholdet mellom en side og sinus til den motstående vinkelen er likt for alle tre sidene i trekanten: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$ . Kjenner du to vinkler og én side, kan du derfor alltid finne de to andre sidene.

Sinussetningen

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Vilkårlig trekant: side a ligger motsatt hjørne A

Tips

Bruk sinussetningen når du kjenner en side OG dens motstående vinkel, pluss én ting til (en annen vinkel eller en annen side). Kjenner du i stedet to sider og vinkelen MELLOM dem, må du bruke cosinussetningen i stedet (se «Cosinussetningen»).
Sett alltid opp brøken med siden og DENS EGEN motstående vinkel sammen: $\frac{a}{\sin A}$ , ikke $\frac{a}{\sin B}$ . Bytter du om, blir svaret feil.

Eksempel: Bruke sinussetningen

En trekant har $a = 10$ , $A = 30°$ og $B = 45°$ . Finn side $b$ .

Løsning:

Oppgaven gir $a = 10$ , $A = 30°$ og $B = 45°$ , en side og dens motstående vinkel, pluss en annen vinkel, så sinussetningen passer
sett opp $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
løs for $b$ : $b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A}$
sett inn tallene: $b = \frac{10 \cdot \sin 45°}{\sin 30°}$
$\sin 45° \approx 0{,}707$ og $\sin 30° = 0{,}5$ , så $b = \frac{10 \cdot 0{,}707}{0{,}5} = \frac{7{,}07}{0{,}5}$ . Svaret er $b \approx 14{,}1$ .

Innsetting i sinussetningen
Ledd	Verdi
sin 45°	0,707
sin 30°	0,5
a · sin 45°	7,07
b	ca. 14,1

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hvilken setning bruker du når du kjenner en side og dens motstående vinkel?

Vis fasit

En side og motstående vinkel
sinussetningen

L-32Hva sier sinussetningen?

Vis fasit

Setningen sammenligner side-og-motstående-vinkel-forhold
likt for alle tre sidene i trekanten

L-33En trekant har $a = 8$ , $A = 40°$ og $B = 60°$ . Hvilken brøk er lik $\frac{a}{\sin A}$ ?

Vis fasit

$a = 8$ , $A = 40°$ , $B = 60°$
sinussetningen sier at alle tre forholdene er like
$\frac{b}{\sin B}$ (og $\frac{c}{\sin C}$ )

Middels(3)

M-31En trekant har $a = 12$ , $A = 40°$ og $B = 70°$ . Sett opp sinussetningen for å finne $b$ .

Vis fasit

$a = 12$ , $A = 40°$ , $B = 70°$
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
$\frac{12}{\sin 40°} = \frac{b}{\sin 70°}$
$b = \frac{12 \cdot \sin 70°}{\sin 40°}$

M-32En trekant har $a = 12$ , $A = 40°$ og $B = 70°$ . Finn side $b$ omtrent. Svar avrundet til én desimal.

Vis fasit

$b = \frac{12 \cdot \sin 70°}{\sin 40°}$
$\sin 70° \approx 0{,}940$ og $\sin 40° \approx 0{,}643$
$b = \frac{12 \cdot 0{,}940}{0{,}643} = \frac{11{,}28}{0{,}643} \approx$ $17{,}5$

M-33En trekant har $b = 9$ , $B = 35°$ og $C = 85°$ . Finn $c$ omtrent. Svar avrundet til én desimal.

Vis fasit

$b = 9$ , $B = 35°$ , $C = 85°$
$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
$c = \frac{9 \cdot \sin 85°}{\sin 35°} = \frac{9 \cdot 0{,}996}{0{,}574} \approx$ $15{,}6$

Vanskelig(3)

V-31En trekant har $a = 10$ , $b = 14$ og $A = 30°$ . Bruk sinussetningen til å finne $\sin B$ .

Vis fasit

$a = 10$ , $b = 14$ , $A = 30°$
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
$\sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{14 \cdot 0{,}5}{10} =$ $0{,}7$

V-32En trekant har $a = 10$ , $b = 14$ og $A = 30°$ , og $\sin B = 0{,}7$ . Hva er vinkelen $B$ omtrent, når $B$ er spiss? Svar i grader, avrundet til nærmeste hele grad.

Vis fasit

$\sin B = 0{,}7$
bruk $\sin^{-1}$ på kalkulatoren
$B$ er omtrent $44°$

V-33Forklar hvorfor sinussetningen ikke kan brukes hvis du bare kjenner alle tre sidene i en trekant.

Vis fasit

Sinussetningen kobler en side til DENS motstående vinkel
uten noen kjent vinkel har du ingenting å sette forholdet lik
bruk cosinussetningen i stedet