NumiSum

Sinussetningen

Uten rett vinkel gjelder ikke sin/cos/tan direkte – men sinussetningen redder oss når du kjenner en side og dens MOTSTÅENDE vinkel. Den sier at forholdet mellom en side og sinus til den motstående vinkelen er likt for alle tre sidene i trekanten: asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}. Kjenner du to vinkler og én side, kan du derfor alltid finne de to andre sidene.

Sinussetningen

asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}

abcABC
Vilkårlig trekant: side a ligger motsatt hjørne A

Tips

  • Bruk sinussetningen når du kjenner en side OG dens motstående vinkel, pluss én ting til (en annen vinkel eller en annen side). Kjenner du i stedet to sider og vinkelen MELLOM dem, må du bruke cosinussetningen i stedet – se «Cosinussetningen».
  • Sett alltid opp brøken med siden og DENS EGEN motstående vinkel sammen – asin⁡A\frac{a}{\sin A}, ikke asin⁡B\frac{a}{\sin B}. Bytter du om, blir svaret feil.

Eksempel: Bruke sinussetningen

En trekant har a=10a = 10, A=30°A = 30° og B=45°B = 45°. Finn side bb.

Innsetting i sinussetningen
LeddVerdi
sin 45°0,707
sin 30°0,5
a · sin 45°7,07
bca. 14,1
Løsning:
  1. Oppgaven gir a=10a = 10, A=30°A = 30° og B=45°B = 45° – en side og dens motstående vinkel, pluss en annen vinkel, så sinussetningen passer
  2. sett opp asin⁡A=bsin⁡B\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
  3. løs for bb: b=a⋅sin⁡Bsin⁡Ab = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A}
  4. sett inn tallene: b=10⋅sin⁡45°sin⁡30°b = \frac{10 \cdot \sin 45°}{\sin 30°}
  5. sin⁡45°≈0,707\sin 45° \approx 0,707 og sin⁡30°=0,5\sin 30° = 0,5, så b=10⋅0,7070,5=7,070,5b = \frac{10 \cdot 0,707}{0,5} = \frac{7,07}{0,5}. Svaret er b≈14,1b \approx 14,1.

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hvilken setning bruker du når du kjenner en side og dens motstående vinkel?

Vis fasit
BeregningResultat
En side og motstående vinkel
sinussetningen
  1. En side og motstående vinkel
  2. sinussetningen

L-22Hva sier sinussetningen?

Vis fasit
BeregningResultat
Setningen sammenligner side-og-motstående-vinkel-forhold
likt for alle tre sidene i trekanten
  1. Setningen sammenligner side-og-motstående-vinkel-forhold
  2. likt for alle tre sidene i trekanten

L-23En trekant har a=8a = 8, A=40°A = 40° og B=60°B = 60°. Hvilken brøk er lik asin⁡A\frac{a}{\sin A}?

Vis fasit
BeregningResultat
a = 8, A = 40 grader, B60 grader
sinussetningen sier alle tre forholdene er like
b delt på sin B (og c delt på sin C)
  1. a = 8, A = 40 grader, B = 60 grader
  2. sinussetningen sier alle tre forholdene er like
  3. b delt på sin B (og c delt på sin C)
Middels(3)

M-21En trekant har a=12a = 12, A=40°A = 40° og B=70°B = 70°. Sett opp sinussetningen for å finne bb.

Vis fasit
BeregningResultat
a = 12, A = 40 grader, B70 grader
a delt på sin Ab delt på sin B
b = 12 gange sin 70 delt på sin 40
  1. a = 12, A = 40 grader, B = 70 grader
  2. a delt på sin A = b delt på sin B
  3. b = 12 gange sin 70 delt på sin 40

M-22I oppgaven over: hva blir bb omtrent?

Vis fasit
BeregningResultat
12 gange 0,940 delt på 0,643
11,28 delt på 0,643ca. 17,5
  1. 12 gange 0,940 delt på 0,643
  2. 11,28 delt på 0,643 = ca. 17,5

M-23En trekant har b=9b = 9, B=35°B = 35° og C=85°C = 85°. Finn cc omtrent.

Vis fasit
BeregningResultat
b = 9, B = 35 grader, C85 grader
b delt på sin Bc delt på sin C
c9 gange sin 85 delt på sin 35
9 gange 0,996 delt på 0,574ca. 15,6
  1. b = 9, B = 35 grader, C = 85 grader
  2. b delt på sin B = c delt på sin C
  3. c = 9 gange sin 85 delt på sin 35
  4. 9 gange 0,996 delt på 0,574 = ca. 15,6
Vanskelig(3)

V-21En trekant har a=10a = 10, b=14b = 14 og A=30°A = 30°. Bruk sinussetningen til å finne sin⁡B\sin B.

Vis fasit
BeregningResultat
a = 10, b = 14, A30 grader
a delt på sin Ab delt på sin B
sin B = b gange sin A delt på a = 14 gange 0,5 delt på 100,7
  1. a = 10, b = 14, A = 30 grader
  2. a delt på sin A = b delt på sin B
  3. sin B = b gange sin A delt på a = 14 gange 0,5 delt på 10 = 0,7

V-22I oppgaven over: hva er vinkelen BB omtrent (avrundet til nærmeste grad)?

Vis fasit
BeregningResultat
sin B0,7
bruk sin⁻¹ på kalkulatoren
B er omtrent 44°
  1. sin B = 0,7
  2. bruk sin⁻¹ på kalkulatoren
  3. B er omtrent 44°

V-23Forklar hvorfor sinussetningen ikke kan brukes hvis du bare kjenner alle tre sidene i en trekant.

Vis fasit
BeregningResultat
Sinussetningen kobler en side til DENS motstående vinkel
uten noen kjent vinkel har du ingenting å sette forholdet lik
bruk cosinussetningen i stedet
  1. Sinussetningen kobler en side til DENS motstående vinkel
  2. uten noen kjent vinkel har du ingenting å sette forholdet lik
  3. bruk cosinussetningen i stedet