NumiSum

Faktorisere ved gruppering (AC-metoden)

Har likningen formen ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0 med a≠1a \neq 1, og leddene har ingen felles faktor, virker ikke metoden fra «Andregradslikninger ved faktorisering» direkte. Da bruker du felles faktor i to omganger i stedet. Bruk følgende tre steg:

  1. Let etter to tall som har
    • produktet a⋅ca \cdot c
    • summen bb
  2. Del opp midtleddet i disse to tallene, og grupper leddene to og to.
  3. Hver gruppe får da sin egen felles faktor. De to gruppene får da en felles parentes, som du setter utenfor.

Når venstresiden er faktorisert, løser du likningen med nullproduktregelen: hver faktor settes lik null.

AC-metoden

p⋅q=acogp+q=bp \cdot q = ac \quad \text{og} \quad p + q = b

Tips

  • Sjekk ALLTID først om leddene har en enkel felles faktor (forrige undertema): AC-metoden trengs bare når de ikke har det.
  • Fortegn teller: leter du etter to tall med NEGATIVT produkt, må ett tall være positivt og ett negativt. Med POSITIVT produkt og negativ sum, er begge tallene negative.
  • Etter grupperingen skal de to parentesene alltid bli IDENTISKE. Blir de ikke det, er noe regnet feil underveis: prøv et annet tallpar eller sjekk fortegnene på nytt.
  • Test svaret med et tall. Er du usikker på om grupperingen ble riktig, sett inn et enkelt tall for xx på begge sider. For 2x2+7x+3=(x+3)(2x+1)2x^2+7x+3=(x+3)(2x+1) med x=1x=1: venstre side gir 2+7+3=122+7+3=12, høyre side gir 4⋅3=124 \cdot 3=12 → like. Det beviser ikke at det stemmer for ALLE xx, men avslører nesten alltid en regnefeil.

Eksempel: Løse en andregradslikning ved gruppering

Løs likningen 2x2+7x+3=02x^2+7x+3=0.

2x²x6x32x1x3
(x + 3)(2x + 1) tegnet som et areal delt i fire deler
Løsning:
  1. Leddene har ingen felles faktor, og a=2≠1a=2 \neq 1, så vi bruker AC-metoden: a⋅c=2⋅3=6a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6
  2. vi leter etter to tall med produkt 66 og sum 77 (midtleddets koeffisient): tallparene med produkt 66 er 11 og 66, eller 22 og 33
  3. 66 og 11 gir også sum 77
  4. del opp midtleddet: 2x2+6x+x+3=02x^2+6x+x+3=0
  5. grupper to og to: 2x(x+3)+1(x+3)=02x(x+3)+1(x+3)=0
  6. begge gruppene har (x+3)(x+3) felles: (x+3)(2x+1)=0(x+3)(2x+1)=0
  7. nullproduktregelen: x+3=0x+3=0 eller 2x+1=02x+1=0
  8. x=−3x=-3 eller x=−12x=-\frac{1}{2}.

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41Faktoriser 3x2+7x+23x^2+7x+2 ved gruppering.

Vis fasit
  1. a·c = 3·2 = 6, to tall med produkt 6 og sum 7: 6 og 1
  2. 3x²+6x+x+2
  3. 3x(x+2)+1(x+2)
  4. (x + 2)(3x + 1)

L-42Faktoriser 2x2+5x+32x^2+5x+3 ved gruppering.

Vis fasit
  1. a·c = 2·3 = 6, to tall med produkt 6 og sum 5: 2 og 3
  2. 2x²+2x+3x+3
  3. 2x(x+1)+3(x+1)
  4. (x + 1)(2x + 3)

L-43Hvorfor kan du ikke bruke vanlig felles faktor direkte på 2x2+7x+32x^2+7x+3?

Vis fasit
  1. 2, 7 og 3 har ingen felles tallfaktor, og bare ett ledd har x²
  2. ingen felles faktor i alle tre leddene
Middels(3)

M-41Faktoriser 5x2+13x+65x^2+13x+6 ved gruppering.

Vis fasit
  1. a·c = 5·6 = 30, to tall med produkt 30 og sum 13: 10 og 3
  2. 5x²+10x+3x+6
  3. 5x(x+2)+3(x+2)
  4. (x + 2)(5x + 3)

M-42Faktoriser 3x2−5x−23x^2-5x-2 ved gruppering.

Vis fasit
  1. a·c = 3·(-2) = -6, to tall med produkt -6 og sum -5: -6 og 1
  2. 3x²-6x+x-2
  3. 3x(x-2)+1(x-2)
  4. (x - 2)(3x + 1)

M-43Faktoriser 4x2+11x+64x^2+11x+6 ved gruppering.

Vis fasit
  1. a·c = 4·6 = 24, to tall med produkt 24 og sum 11: 8 og 3
  2. 4x²+8x+3x+6
  3. 4x(x+2)+3(x+2)
  4. (x + 2)(4x + 3)
Vanskelig(3)

V-41Faktoriser 6x2+x−26x^2+x-2 ved gruppering.

Vis fasit
  1. a·c = 6·(-2) = -12, to tall med produkt -12 og sum 1: 4 og -3
  2. 6x²+4x-3x-2
  3. 2x(3x+2)-1(3x+2)
  4. (3x + 2)(2x - 1)

V-42Faktoriser 4x2−4x−34x^2-4x-3 ved gruppering.

Vis fasit
  1. a·c = 4·(-3) = -12, to tall med produkt -12 og sum -4: -6 og 2
  2. 4x²-6x+2x-3
  3. 2x(2x-3)+1(2x-3)
  4. (2x - 3)(2x + 1)

V-43Faktoriser 8x2+2x−38x^2+2x-3 ved gruppering.

Vis fasit
  1. a·c = 8·(-3) = -24, to tall med produkt -24 og sum 2: 6 og -4
  2. 8x²+6x-4x-3
  3. 2x(4x+3)-1(4x+3)
  4. (4x + 3)(2x - 1)