Andregradslikninger ved faktorisering

Nøkkelen er nullproduktregelen: hvis $a \cdot b = 0$ , må $a = 0$ eller $b = 0$ (eller begge samtidig – «eller» her utelukker ikke at begge kan stemme, det holder at minst én av dem gjør det). Får du skrevet en andregradslikning som et produkt lik null, kan du derfor lese av løsningene direkte. $x^2 - 5x + 6 = 0$ faktoriseres til $(x-2)(x-3) = 0$ , og da er $x = 2$ eller $x = 3$ . Metoden er rask når faktoriseringen er lett å se.

Nullproduktregelen

$a \cdot b = 0 \iff a = 0 \text{ eller } b = 0 \text{ (eller begge)}$

Tips

Likningen MÅ stå med null på den ene siden før du faktoriserer. $x^2 - 5x = -6$ må først skrives om til $x^2 - 5x + 6 = 0$ .
Leter du etter to tall som ganget gir $c$ og lagt sammen gir $b$ : start med tallparene som gir riktig produkt, og test summen. For $c = 6$ er parene $1 \cdot 6$ og $2 \cdot 3$ .

Eksempel: Løse ved faktorisering

Løs likningen $x^2 - 5x + 6 = 0$ .

Søk etter to tall med produkt 6 og sum -5
Tallpar	Produkt	Sum	Passer?
-1 og -6	6	-7	nei
-2 og -3	6	-5	ja

Løsning:

Vi leter etter to tall som ganget gir $6$ og lagt sammen gir $-5$ . Tallparene med produkt $6$ er $1$ og $6$ , eller $2$ og $3$
begge må være negative for å gi negativ sum: $-2$ og $-3$ gir produkt $6$ og sum $-5$
faktoriser: $(x - 2)(x - 3) = 0$
bruk nullproduktregelen: $x - 2 = 0$ eller $x - 3 = 0$ . Løsningene er $x = 2$ og $x = 3$ .

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Løs $(x - 1)(x - 4) = 0$ .

Vis fasit

Beregning	Resultat
$(x-1)(x-4)$	$0$
nullproduktregelen: $x-1=0$ eller $x-4$	$0$
x = 1 og x = 4

$(x-1)(x-4)=0$
nullproduktregelen: $x-1=0$ eller $x-4=0$
x = 1 og x = 4

L-12Løs $x^2 - 7x + 12 = 0$ .

Vis fasit

Beregning	Resultat
$x^2-7x+12$	$0$
to tall med produkt $12$ og sum $-7$ : $-3$ og $-4$
$(x-3)(x-4)$	$0$
x = 3 og x = 4

$x^2-7x+12=0$
to tall med produkt $12$ og sum $-7$ : $-3$ og $-4$
$(x-3)(x-4)=0$
x = 3 og x = 4

L-13Løs $x^2 - 9 = 0$ .

Vis fasit

Beregning	Resultat
$x^2-9$	$0$
konjugatsetningen: $(x+3)(x-3)$	$0$
x = 3 og x = -3

$x^2-9=0$
konjugatsetningen: $(x+3)(x-3)=0$
x = 3 og x = -3

Middels(3)

M-11Løs $x^2 + 5x + 6 = 0$ .

Vis fasit

Beregning	Resultat
$x^2+5x+6$	$0$
produkt $6$ , sum $5$ : $2$ og $3$
$(x+2)(x+3)$	$0$
x = -2 og x = -3

$x^2+5x+6=0$
produkt $6$ , sum $5$ : $2$ og $3$
$(x+2)(x+3)=0$
x = -2 og x = -3

M-12Løs $x^2 - 4x = 0$ .

Vis fasit

Beregning	Resultat
$x^2-4x$	$0$
felles faktor $x$ : $x(x-4)$	$0$
x = 0 og x = 4

$x^2-4x=0$
felles faktor $x$ : $x(x-4)=0$
x = 0 og x = 4

M-13Løs $x^2 - 5x = -6$ .

Vis fasit

Beregning	Resultat
$x^2-5x$	$-6$
flytt alt til venstre: $x^2-5x+6$	$0$
$(x-2)(x-3)$	$0$
x = 2 og x = 3

$x^2-5x=-6$
flytt alt til venstre: $x^2-5x+6=0$
$(x-2)(x-3)=0$
x = 2 og x = 3

Vanskelig(3)

V-11Løs $x^2 - 6x + 9 = 0$ .

Vis fasit

Beregning	Resultat
$x^2-6x+9$	$0$
kvadratsetningen baklengs: $(x-3)^2$	$0$
begge faktorene er like
x = 3, én dobbel løsning

$x^2-6x+9=0$
kvadratsetningen baklengs: $(x-3)^2=0$
begge faktorene er like
x = 3, én dobbel løsning

V-12Løs $2x^2 - 8x = 0$ .

Vis fasit

Beregning	Resultat
$2x^2-8x$	$0$
felles faktor $2x$ : $2x(x-4)$	$0$
x = 0 og x = 4

$2x^2-8x=0$
felles faktor $2x$ : $2x(x-4)=0$
x = 0 og x = 4

V-13En elev deler $x^2 = 4x$ på $x$ og får $x = 4$ . Hvilken løsning mistet eleven?

Vis fasit

Beregning	Resultat
$x^2$	$4x$
å dele på $x$ forutsetter $x \neq 0$
riktig: $x^2-4x$	$0$
$x(x-4)$	$0$
løsningen x = 0 gikk tapt

$x^2=4x$
å dele på $x$ forutsetter $x \neq 0$
riktig: $x^2-4x=0$
$x(x-4)=0$
løsningen x = 0 gikk tapt