Andregradslikninger ved faktorisering

Nøkkelen er nullproduktregelen: hvis $a \cdot b = 0$ , må $a = 0$ eller $b = 0$ (eller begge samtidig: «eller» her utelukker ikke at begge kan stemme, det holder at minst én av dem gjør det). Får du skrevet en andregradslikning som et produkt lik null, kan du derfor lese av løsningene direkte. $x^2 - 5x + 6 = 0$ faktoriseres til $(x-2)(x-3) = 0$ , og da er $x = 2$ eller $x = 3$ . Metoden er rask når faktoriseringen er lett å se.

Nullproduktregelen

$a \cdot b = 0 \iff a = 0 \text{ eller } b = 0 \text{ (eller begge)}$

Tips

Likningen MÅ stå med null på den ene siden før du faktoriserer. $x^2 - 5x = -6$ må først skrives om til $x^2 - 5x + 6 = 0$ .
Leter du etter to tall som ganget gir $c$ og lagt sammen gir $b$ : start med tallparene som gir riktig produkt, og test summen. For $c = 6$ er parene $1 \cdot 6$ og $2 \cdot 3$ .

Eksempel: Løse ved faktorisering

Løs likningen $x^2 - 5x + 6 = 0$ .

Løsning:

Vi leter etter to tall som ganget gir $6$ og lagt sammen gir $-5$ . Tallparene med produkt $6$ er $1$ og $6$ , eller $2$ og $3$
begge må være negative for å gi negativ sum: $-2$ og $-3$ gir produkt $6$ og sum $-5$
faktoriser: $(x - 2)(x - 3) = 0$
bruk nullproduktregelen: $x - 2 = 0$ eller $x - 3 = 0$ . Løsningene er $x = 2$ og $x = 3$ .

Søk etter to tall med produkt 6 og sum -5
Tallpar	Produkt	Sum	Passer?
-1 og -6	6	-7	nei
-2 og -3	6	-5	ja

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Løs $(x - 1)(x - 4) = 0$ .

Vis fasit

$(x-1)(x-4)=0$
nullproduktregelen: $x-1=0$ eller $x-4=0$
x = 1 og x = 4

L-22Løs $x^2 - 7x + 12 = 0$ .

Vis fasit

$x^2-7x+12=0$
to tall med produkt $12$ og sum $-7$ : $-3$ og $-4$
$(x-3)(x-4)=0$
x = 3 og x = 4

L-23Løs $x^2 - 9 = 0$ .

Vis fasit

$x^2-9=0$
konjugatsetningen: $(x+3)(x-3)=0$
x = 3 og x = -3

Middels(3)

M-21Løs $x^2 + 5x + 6 = 0$ .

Vis fasit

$x^2+5x+6=0$
produkt $6$ , sum $5$ : $2$ og $3$
$(x+2)(x+3)=0$
x = -2 og x = -3

M-22Løs $x^2 - 4x = 0$ .

Vis fasit

$x^2-4x=0$
felles faktor $x$ : $x(x-4)=0$
x = 0 og x = 4

M-23Løs $x^2 - 5x = -6$ .

Vis fasit

$x^2-5x=-6$
flytt alt til venstre: $x^2-5x+6=0$
$(x-2)(x-3)=0$
x = 2 og x = 3

Vanskelig(3)

V-21Løs $x^2 - 6x + 9 = 0$ .

Vis fasit

$x^2-6x+9=0$
kvadratsetningen baklengs: $(x-3)^2=0$
begge faktorene er like
x = 3, én dobbel løsning

V-22Løs $2x^2 - 8x = 0$ .

Vis fasit

$2x^2-8x=0$
felles faktor $2x$ : $2x(x-4)=0$
x = 0 og x = 4

V-23En elev deler $x^2 = 4x$ på $x$ og får $x = 4$ . Hvilken løsning mistet eleven?

Vis fasit

$x^2=4x$
å dele på $x$ forutsetter $x \neq 0$
riktig: $x^2-4x=0$
$x(x-4)=0$
løsningen x = 0 gikk tapt