NumiSum

Utfylling av kvadratet

Faktorisering krever at du SER to tall som passer. Når du ikke gjør det, trenger du en metode som alltid virker. Ideen er å tvinge venstre side til å bli et fullstendig kvadrat – et uttrykk på formen (x+noe)2(x + \text{noe})^2 – for da kan du ta kvadratroten og løse resten som en helt vanlig likning. Trikset er at x2+kxx^2 + kx alltid mangler nøyaktig (k2)2\left(\frac{k}{2}\right)^2 på å være et kvadrat. Legg det tallet til på BEGGE sider, så er du i mål. Metoden er over tusen år gammel (al-Khwarizmi, ca. år 820), og den er grunnen til at abc-formelen i neste undertema ser ut som den gjør.

Fullstendig kvadrat

x2+kx+(k2)2=(x+k2)2x^2 + kx + \left(\frac{k}{2}\right)^2 = \left(x + \frac{k}{2}\right)^2

Tips

  • Oppskriften er alltid den samme: halver koeffisienten foran xx, og kvadrer. Tallet du legger til er (k2)2\left(\frac{k}{2}\right)^2 – aldri noe annet.
  • Legger du noe til på venstre side, MÅ du legge det samme til på høyre side. Ellers er det ikke lenger den samme likningen.
  • Står det et tall foran x2x^2, del hele likningen på det tallet FØRST. Metoden forutsetter at koeffisienten foran x2x^2 er 11.
  • Når du tar kvadratroten, får du BEGGE fortegn: (x+3)2=4(x+3)^2 = 4 gir x+3=2x + 3 = 2 OG x+3=−2x + 3 = -2. Glemmer du minusvarianten, mister du den ene løsningen.

Eksempel: Løse ved å fylle ut kvadratet

Løs likningen x2+6x+5=0x^2 + 6x + 5 = 0 ved å fylle ut kvadratet.

x²3x3x9x3x3
al-Khwarizmis metode: x² er gitt, 3x+3x=6x er kjent – kvadratet «fylles ut» med det manglende hjørnet 9
Utfylling av kvadratet for x² + 6x + 5 = 0
StegUttrykk
Flytt konstantenx2+6x=−5x^2+6x=-5
Legg til (62)2=9\left(\frac{6}{2}\right)^2=9 på begge siderx2+6x+9=4x^2+6x+9=4
Skriv venstre side som kvadrat(x+3)2=4(x+3)^2=4
Ta kvadratroten (begge fortegn)x+3=±2x+3=\pm 2
Løs for xxx=−1x=-1 eller x=−5x=-5
Løsning:
  1. Vi flytter konstantleddet over på høyre side: x2+6x=−5x^2 + 6x = -5
  2. koeffisienten foran xx er 66, så vi halverer og kvadrerer: (62)2=32=9\left(\frac{6}{2}\right)^2 = 3^2 = 9
  3. legg til 99 på BEGGE sider: x2+6x+9=−5+9=4x^2 + 6x + 9 = -5 + 9 = 4
  4. venstre side er nå et fullstendig kvadrat: (x+3)2=4(x + 3)^2 = 4
  5. ta kvadratroten på begge sider, med begge fortegn: x+3=±2x + 3 = \pm 2
  6. regn ut hver for seg: x=−3+2=−1x = -3 + 2 = -1, og x=−3−2=−5x = -3 - 2 = -5. Løsningene er x=−1x = -1 og x=−5x = -5.

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hvilket tall må du legge til på begge sider for å fylle ut kvadratet i x2+8x=3x^2 + 8x = 3?

Vis fasit
BeregningResultat
Halver koeffisienten foran xx: 8:28:244
kvadrer: 424^216
  1. Halver koeffisienten foran xx: 8:2=48:2=4
  2. kvadrer: 424^2
  3. 16

L-22Skriv x2+10x+25x^2 + 10x + 25 som et kvadrat.

Vis fasit
BeregningResultat
10:2=510:2=5, og 525^22525 stemmer med konstantleddet
(x+5)2(x+5)^2
  1. 10:2=510:2=5, og 52=255^2=25 stemmer med konstantleddet
  2. (x+5)2(x+5)^2

L-23Løs (x+3)2=16(x + 3)^2 = 16.

Vis fasit
BeregningResultat
(x+3)2(x+3)^21616
ta kvadratroten med begge fortegn: x+3x+3±4\pm 4
x=−3+4=1x=-3+4=1, eller x=−3−4x=-3-4−7-7
x = 1 og x = -7
  1. (x+3)2=16(x+3)^2=16
  2. ta kvadratroten med begge fortegn: x+3=±4x+3=\pm 4
  3. x=−3+4=1x=-3+4=1, eller x=−3−4=−7x=-3-4=-7
  4. x = 1 og x = -7
Middels(3)

M-21Løs x2+4x−5=0x^2 + 4x - 5 = 0 ved utfylling av kvadratet.

Vis fasit
BeregningResultat
x2+4xx^2+4x55
(4:2)2(4:2)^244 legges til begge sider
x2+4x+4x^2+4x+499
(x+2)2(x+2)^299
x+2x+2±3\pm 3
x = 1 og x = -5
  1. x2+4x=5x^2+4x=5
  2. (4:2)2=4(4:2)^2=4 legges til begge sider
  3. x2+4x+4=9x^2+4x+4=9
  4. (x+2)2=9(x+2)^2=9
  5. x+2=±3x+2=\pm 3
  6. x = 1 og x = -5

M-22Løs x2−6x+8=0x^2 - 6x + 8 = 0 ved utfylling av kvadratet.

Vis fasit
BeregningResultat
x2−6xx^2-6x−8-8
(−6:2)2(-6:2)^299 legges til begge sider
x2−6x+9x^2-6x+911
(x−3)2(x-3)^211
x−3x-3±1\pm 1
x = 4 og x = 2
  1. x2−6x=−8x^2-6x=-8
  2. (−6:2)2=9(-6:2)^2=9 legges til begge sider
  3. x2−6x+9=1x^2-6x+9=1
  4. (x−3)2=1(x-3)^2=1
  5. x−3=±1x-3=\pm 1
  6. x = 4 og x = 2

M-23Løs x2+2x−15=0x^2 + 2x - 15 = 0 ved utfylling av kvadratet.

Vis fasit
BeregningResultat
x2+2xx^2+2x1515
(2:2)2(2:2)^211 legges til begge sider
x2+2x+1x^2+2x+11616
(x+1)2(x+1)^21616
x+1x+1±4\pm 4
x = 3 og x = -5
  1. x2+2x=15x^2+2x=15
  2. (2:2)2=1(2:2)^2=1 legges til begge sider
  3. x2+2x+1=16x^2+2x+1=16
  4. (x+1)2=16(x+1)^2=16
  5. x+1=±4x+1=\pm 4
  6. x = 3 og x = -5
Vanskelig(3)

V-21Løs x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0 ved utfylling av kvadratet. Her blir halvparten av 55 en brøk – regn videre med den.

Vis fasit
BeregningResultat
x² - 5x + 60
flytt konstanten: x² - 5x-6
halver −5-5: −52-\frac{5}{2}, og kvadrer: 254\frac{25}{4}
legg til på begge sider: x2−5x+254=−6+254=14x^2 - 5x + \frac{25}{4} = -6 + \frac{25}{4} = \frac{1}{4}
(x−52)2=14\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
x−52=±12x - \frac{5}{2} = \pm\frac{1}{2}
x = 3 og x = 2
  1. x² - 5x + 6 = 0
  2. flytt konstanten: x² - 5x = -6
  3. halver −5-5: −52-\frac{5}{2}, og kvadrer: 254\frac{25}{4}
  4. legg til på begge sider: x2−5x+254=−6+254=14x^2 - 5x + \frac{25}{4} = -6 + \frac{25}{4} = \frac{1}{4}
  5. (x−52)2=14\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
  6. x−52=±12x - \frac{5}{2} = \pm\frac{1}{2}
  7. x = 3 og x = 2

V-22Løs 2x2+8x−10=02x^2 + 8x - 10 = 0. Husk at metoden krever 11 foran x2x^2.

Vis fasit
BeregningResultat
Del hele likningen på 22 først: x2+4x−5x^2+4x-500
x2+4xx^2+4x55
legg til (4:2)2(4:2)^244
(x+2)2(x+2)^299
x+2x+2±3\pm 3
x = 1 og x = -5
  1. Del hele likningen på 22 først: x2+4x−5=0x^2+4x-5=0
  2. x2+4x=5x^2+4x=5
  3. legg til (4:2)2=4(4:2)^2=4
  4. (x+2)2=9(x+2)^2=9
  5. x+2=±3x+2=\pm 3
  6. x = 1 og x = -5

V-23Skriv f(x)=x2−4x+7f(x) = x^2 - 4x + 7 på formen (x−p)2+q(x - p)^2 + q.

Vis fasit
BeregningResultat
x2−4x+7x^2-4x+7
(−4:2)2(-4:2)^244
legg til og trekk fra 44: (x2−4x+4)−4+7(x^2-4x+4)-4+7
(x−2)2+3(x-2)^2+3 (og da ser du med én gang at bunnpunktet er (2,3)(2, 3))
  1. x2−4x+7x^2-4x+7
  2. (−4:2)2=4(-4:2)^2=4
  3. legg til og trekk fra 44: (x2−4x+4)−4+7(x^2-4x+4)-4+7
  4. (x−2)2+3(x-2)^2+3 (og da ser du med én gang at bunnpunktet er (2,3)(2, 3))