NumiSum

Diskriminanten og antall løsninger

Uttrykket under rottegnet, b2−4acb^2 - 4ac, kalles diskriminanten. Fortegnet alene forteller hvor mange løsninger likningen har, uten at du trenger å regne ferdig. Er den positiv, får du to løsninger. Er den null, faller ±\pm-delen bort og du får én (dobbel) løsning. Er den negativ, må du ta kvadratroten av et negativt tall. Det går ikke med reelle tall, så likningen har ingen løsning. Dette er nøyaktig det samme du så på parabelen i forrige tema: to løsninger er de to stedene buen krysser xx-aksen, én løsning er der den akkurat berører aksen, og ingen løsning er når hele buen ligger på samme side av aksen. Diskriminanten lar deg avgjøre hvilket av de tre tilfellene du har, uten å tegne noe som helst.

Diskriminanten

D=b2−4acD = b^2 - 4ac

Tips

  • Regn ALLTID ut diskriminanten først. Er den negativ, er du ferdig. Det sparer deg for å regne videre på noe som ikke har svar.
  • Grafisk svarer de tre tilfellene til om parabelen krysser xx-aksen to ganger, akkurat berører den, eller ikke treffer den i det hele tatt.
  • Er D<0D < 0, forteller fortegnet på aa deg HVOR hele parabelen ligger: a>0a > 0 gir en bue som åpner opp og dermed ligger helt over aksen, a<0a < 0 gir en bue helt under. To opplysninger, hele bildet.

Eksempel: Avgjøre antall løsninger

Hvor mange løsninger har x2+2x+5=0x^2 + 2x + 5 = 0?

Løsning:
  1. Vi leser av koeffisientene: a=1a = 1, b=2b = 2, c=5c = 5
  2. regn ut diskriminanten: D=b2−4ac=22−4⋅1⋅5=4−20=−16D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16
  3. diskriminanten er negativ, og kvadratroten av et negativt tall finnes ikke blant de reelle tallene. Likningen har ingen løsning.
Diskriminanten bestemmer antall løsninger
D = b² - 4acAntall løsningerParabelen
D > 02krysser x-aksen to ganger
D = 01 (dobbel)berører x-aksen
D < 00treffer ikke x-aksen
Alternativ forklaring/metode: Se på parabelen i stedet for å regne

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Grafisk kontroll

Tegner du y=x2+2x+5y = x^2 + 2x + 5 i et koordinatsystem, ser du at hele parabelen ligger over xx-aksen, laveste punkt er (−1,4)(-1, 4). Da finnes det ingen xx som gir y=0y = 0, altså ingen løsning. Diskriminanten og grafen sier nøyaktig det samme; grafen viser hvorfor, formelen gir svaret raskest. Mange finner det raskest å skissere grovt først: fortegnet på aa gir retningen, cc gir yy-skjæringen, og nullpunktene gir hvor buen treffer aksen. Med den skissen kan du lese av svaret på nesten alle spørsmål om antall løsninger, og bruke regningen bare til å bekrefte. Særlig nyttig på del 2, der du uansett har digitale verktøy tilgjengelig.

xy−4−3−2−112510(−1, 4)
y = x² + 2x + 5

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(4)

L-61Regn ut diskriminanten til x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0.

Vis fasit
  1. a=1a=1, b=−4b=-4, c=3c=3
  2. D=(−4)2−4⋅1⋅3=16−12D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12
  3. 4

L-62Hvor mange løsninger har en likning med D=0D = 0?

Vis fasit
  1. D=0D=0
  2. ±\pm-delen faller bort
  3. 1 dobbel løsning

L-63Hvor mange løsninger har x2+x+4=0x^2 + x + 4 = 0?

Vis fasit
  1. a=1a=1, b=1b=1, c=4c=4
  2. D=1−16=−15D=1-16=-15
  3. negativ
  4. ingen løsning

L-64Hvor mange nullpunkter har en parabel med D=9D = 9?

Vis fasit
  1. D=9D=9 er positiv
  2. 2 nullpunkter, buen krysser x-aksen to steder
Middels(4)

M-61Ligger parabelen f(x)=x2+3f(x) = x^2 + 3 over eller under x-aksen?

Vis fasit
  1. f(x)=x2+3f(x)=x^2+3
  2. D=0−12=−12<0D=0-12=-12<0 og a>0a>0
  3. ingen nullpunkt, vender opp
  4. helt over aksen

M-62Hvor mange løsninger har x2−6x+9=0x^2 - 6x + 9 = 0?

Vis fasit
  1. a=1a=1, b=−6b=-6, c=9c=9
  2. D=36−36=0D=36-36=0
  3. 1 dobbel løsning

M-63Regn ut diskriminanten til 2x2−3x−2=02x^2 - 3x - 2 = 0.

Vis fasit
  1. a=2a=2, b=−3b=-3, c=−2c=-2
  2. D=9−4⋅2⋅(−2)=9+16D=9-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16
  3. 25

M-64Hvor mange ganger krysser parabelen y=x2+2x+5y = x^2 + 2x + 5 x-aksen?

Vis fasit
  1. y=x2+2x+5y=x^2+2x+5
  2. D=4−20=−16D=4-20=-16
  3. negativ
  4. 0 ganger, parabelen treffer ikke x-aksen
Vanskelig(4)

V-61For hvilken verdi av cc har x2−4x+c=0x^2 - 4x + c = 0 nøyaktig én løsning?

Vis fasit
  1. Én løsning krever D=0D=0
  2. 16−4c=016-4c=0
  3. 4c=164c=16
  4. c = 4

V-62Kan en andregradslikning ha nøyaktig tre løsninger? Begrunn.

Vis fasit
  1. abc-formelen gir én verdi med pluss og én med minus
  2. maks to løsninger, aldri tre

V-63For hvilke cc har x2+6x+c=0x^2 + 6x + c = 0 to løsninger?

Vis fasit
  1. To løsninger krever D>0D>0
  2. 36−4c>036-4c>0
  3. 4c<364c<36
  4. c < 9

V-64En parabel vender ned og har D<0D < 0. Hvor ligger den i forhold til x-aksen?

Vis fasit
  1. D<0D<0
  2. ingen nullpunkt, buen treffer aldri aksen; a<0a<0
  3. den vender ned
  4. hele grafen ligger under aksen