NumiSum

Diskriminanten og antall løsninger

Uttrykket under rottegnet, b2−4acb^2 - 4ac, kalles diskriminanten. Fortegnet alene forteller hvor mange løsninger likningen har, uten at du trenger å regne ferdig. Er den positiv, får du to løsninger. Er den null, faller ±\pm-delen bort og du får én (dobbel) løsning. Er den negativ, må du ta kvadratroten av et negativt tall – det går ikke med reelle tall, så likningen har ingen løsning. Dette er nøyaktig det samme du så på parabelen i forrige tema: to løsninger er de to stedene buen krysser xx-aksen, én løsning er der den akkurat berører aksen, og ingen løsning er når hele buen ligger på samme side av aksen. Diskriminanten lar deg avgjøre hvilket av de tre tilfellene du har, uten å tegne noe som helst.

Diskriminanten

D=b2−4acD = b^2 - 4ac

Tips

  • Regn ALLTID ut diskriminanten først. Er den negativ, er du ferdig – det sparer deg for å regne videre på noe som ikke har svar.
  • Grafisk svarer de tre tilfellene til om parabelen krysser xx-aksen to ganger, akkurat berører den, eller ikke treffer den i det hele tatt.
  • Er D<0D < 0, forteller fortegnet på aa deg HVOR hele parabelen ligger: a>0a > 0 gir en bue som åpner opp og dermed ligger helt over aksen, a<0a < 0 gir en bue helt under. To opplysninger, hele bildet.

Eksempel: Avgjøre antall løsninger

Hvor mange løsninger har x2+2x+5=0x^2 + 2x + 5 = 0?

Diskriminanten bestemmer antall løsninger
D = b² - 4acAntall løsningerParabelen
D > 02krysser x-aksen to ganger
D = 01 (dobbel)berører x-aksen
D < 00treffer ikke x-aksen
Løsning:
  1. Vi leser av koeffisientene: a=1a = 1, b=2b = 2, c=5c = 5
  2. regn ut diskriminanten: D=b2−4ac=22−4⋅1⋅5=4−20=−16D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16
  3. diskriminanten er negativ, og kvadratroten av et negativt tall finnes ikke blant de reelle tallene. Likningen har ingen løsning.
Alternativ forklaring/metode: Se på parabelen i stedet for å regne

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Grafisk kontroll

Tegner du y=x2+2x+5y = x^2 + 2x + 5 i et koordinatsystem, ser du at hele parabelen ligger over xx-aksen – laveste punkt er (−1,4)(-1, 4). Da finnes det ingen xx som gir y=0y = 0, altså ingen løsning. Diskriminanten og grafen sier nøyaktig det samme; grafen viser hvorfor, formelen gir svaret raskest. Mange finner det raskest å skissere grovt først: fortegnet på aa gir retningen, cc gir yy-skjæringen, og nullpunktene gir hvor buen treffer aksen. Med den skissen kan du lese av svaret på nesten alle spørsmål om antall løsninger, og bruke regningen bare til å bekrefte. Særlig nyttig på del 2, der du uansett har digitale verktøy tilgjengelig.

xy-4-3-2-112510(-1, 4)
y = x² + 2x + 5

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(4)

L-41Regn ut diskriminanten til x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0.

Vis fasit
BeregningResultat
a=1a=1, b=−4b=-4, cc33
D=(−4)2−4⋅1⋅3=16−12D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=16-124
  1. a=1a=1, b=−4b=-4, c=3c=3
  2. D=(−4)2−4⋅1⋅3=16−12D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12
  3. 4

L-42Hvor mange løsninger har en likning med D=0D = 0?

Vis fasit
BeregningResultat
DD00
±\pm-delen faller bort
1 dobbel løsning
  1. D=0D=0
  2. ±\pm-delen faller bort
  3. 1 dobbel løsning

L-43Hvor mange løsninger har x2+x+4=0x^2 + x + 4 = 0?

Vis fasit
BeregningResultat
a=1a=1, b=1b=1, cc44
D=1−16D=1-16−15-15
negativ
ingen løsning
  1. a=1a=1, b=1b=1, c=4c=4
  2. D=1−16=−15D=1-16=-15
  3. negativ
  4. ingen løsning

L-44Hvor mange nullpunkter har en parabel med D=9D = 9?

Vis fasit
BeregningResultat
DD99 er positiv
2 nullpunkter, buen krysser x-aksen to steder
  1. D=9D=9 er positiv
  2. 2 nullpunkter, buen krysser x-aksen to steder
Middels(4)

M-41Ligger parabelen f(x)=x2+3f(x) = x^2 + 3 over eller under x-aksen?

Vis fasit
BeregningResultat
f(x)f(x)x2+3x^2+3
D=0−12D=0-12−12<0-12<0 og a>0a>0
ingen nullpunkt, vender opp
helt over aksen
  1. f(x)=x2+3f(x)=x^2+3
  2. D=0−12=−12<0D=0-12=-12<0 og a>0a>0
  3. ingen nullpunkt, vender opp
  4. helt over aksen

M-42Hvor mange løsninger har x2−6x+9=0x^2 - 6x + 9 = 0?

Vis fasit
BeregningResultat
a=1a=1, b=−6b=-6, cc99
D=36−36D=36-3600
1 dobbel løsning
  1. a=1a=1, b=−6b=-6, c=9c=9
  2. D=36−36=0D=36-36=0
  3. 1 dobbel løsning

M-43Regn ut diskriminanten til 2x2−3x−2=02x^2 - 3x - 2 = 0.

Vis fasit
BeregningResultat
a=2a=2, b=−3b=-3, cc−2-2
D=9−4⋅2⋅(−2)=9+16D=9-4\cdot 2\cdot(-2)=9+1625
  1. a=2a=2, b=−3b=-3, c=−2c=-2
  2. D=9−4⋅2⋅(−2)=9+16D=9-4\cdot 2\cdot(-2)=9+16
  3. 25

M-44Hvor mange ganger krysser parabelen y=x2+2x+5y = x^2 + 2x + 5 x-aksen?

Vis fasit
BeregningResultat
yyx2+2x+5x^2+2x+5
D=4−20D=4-20−16-16
negativ
0 ganger, parabelen treffer ikke x-aksen
  1. y=x2+2x+5y=x^2+2x+5
  2. D=4−20=−16D=4-20=-16
  3. negativ
  4. 0 ganger, parabelen treffer ikke x-aksen
Vanskelig(4)

V-41For hvilken verdi av cc har x2−4x+c=0x^2 - 4x + c = 0 nøyaktig én løsning?

Vis fasit
BeregningResultat
Én løsning krever DD00
16−4c16-4c00
4c4c1616
c = 4
  1. Én løsning krever D=0D=0
  2. 16−4c=016-4c=0
  3. 4c=164c=16
  4. c = 4

V-42Kan en andregradslikning ha nøyaktig tre løsninger? Begrunn.

Vis fasit
BeregningResultat
abc-formelen gir én verdi med pluss og én med minus
maks to løsninger, aldri tre
  1. abc-formelen gir én verdi med pluss og én med minus
  2. maks to løsninger, aldri tre

V-43For hvilke cc har x2+6x+c=0x^2 + 6x + c = 0 to løsninger?

Vis fasit
BeregningResultat
To løsninger krever D>0D>0
36−4c>036-4c>0
4c<364c<36
c < 9
  1. To løsninger krever D>0D>0
  2. 36−4c>036-4c>0
  3. 4c<364c<36
  4. c < 9

V-44En parabel vender ned og har D<0D < 0. Hvor ligger den i forhold til x-aksen?

Vis fasit
BeregningResultat
D<0D<0
ingen nullpunkt, buen treffer aldri aksen; a<0a<0
den vender ned
hele grafen ligger under aksen
  1. D<0D<0
  2. ingen nullpunkt, buen treffer aldri aksen; a<0a<0
  3. den vender ned
  4. hele grafen ligger under aksen