Du forventes å kunne dette beviset til eksamen

For en vilkårlig andregradslikning $ax^2 + bx + c = 0$ med $a \neq 0$ er løsningene $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.

1. Del hele likningen på $a$ (lovlig siden $a \neq 0$), slik at koeffisienten foran $x^2$ blir $1$:
   $x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0$
2. Flytt konstantleddet over på høyre side:
   $x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}$
3. Fullfør kvadratet på venstre side: legg til $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ på BEGGE sider (nøyaktig samme steg som i tall-eksempelet under «Utfylling av kvadratet», bare med $\frac{b}{a}$ i stedet for et konkret tall):
   $x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \left(\frac{b}{2a}\right)^2 - \frac{c}{a}$
4. Venstre side er nå et fullstendig kvadrat. Skriv høyre side med fellesnevner $4a^2$:
   $\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{4ac}{4a^2} = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}$
5. Ta kvadratroten på begge sider. Kvadratroten av $4a^2$ er $2a$ i tallverdi, men siden $\pm$ allerede dekker begge fortegn, kan vi skrive den som $2a$:
   $x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$
6. Flytt $\frac{b}{2a}$ over på høyre side og sett de to brøkene sammen:
   $x = -\frac{b}{2a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ∎