NumiSum

abc-formelen

Gjør du utfylling av kvadratet på ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0 med BOKSTAVER i stedet for på ett tall om gangen, kommer du aldri til å måtte gjøre den jobben igjen: svaret blir en ferdig formel du bare setter tallene inn i. Det er nettopp det abc-formelen er, forrige undertema gjort én gang for alle. (Vil du se utregningen, står den som bevis nederst i temaet.) I praksis: skriv likningen på formen ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0, les av aa, bb og cc, og sett inn. Pass spesielt på fortegn: bb og cc kan være negative, og da må minustegnet med inn i formelen.

abc-formelen

x=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

Tips

  • Skriv opp aa, bb og cc hver for seg FØR du setter inn. Det er her de fleste fortegnsfeilene skjer.
  • ±\pm betyr at du regner to ganger: én gang med pluss og én gang med minus. Det gir de to løsningene.
  • I GeoGebra kan du løse likningen direkte med CAS-kommandoen Løs(2x^2-3x-2=0,x), som gir begge løsningene umiddelbart, nyttig som kontroll av håndregningen, spesielt på del 2 der digitale verktøy er tilgjengelige.

Eksempel: Bruke abc-formelen

Løs 2x2−3x−2=02x^2 - 3x - 2 = 0.

Løsning:
  1. Vi leser av koeffisientene: a=2a = 2, b=−3b = -3, c=−2c = -2
  2. regn ut under rottegnet: b2−4ac=(−3)2−4⋅2⋅(−2)=9+16=25b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25
  3. sett inn i formelen: x=3±254=3±54x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{3 \pm 5}{4}
  4. regn ut begge: x1=84=2x_1 = \frac{8}{4} = 2 og x2=−24=−0,5x_2 = \frac{-2}{4} = -0{,}5. Løsningene er x=2x = 2 og x=−0,5x = -0{,}5.
Koeffisienter i 2x² - 3x - 2 = 0
KoeffisientVerdi
a2
b-3
c-2
b² - 4ac25
Løsningerx = 2 og x = -0,5

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-51Løs x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0 med abc-formelen. Oppgi den største løsningen.

Vis fasit
  1. a=1a=1, b=−5b=-5, c=6c=6
  2. b2−4ac=25−24=1b^2-4ac=25-24=1
  3. x=5±12x = \frac{5 \pm 1}{2}
  4. x = 3 eller x = 2
  5. største: 3

L-52Løs x2+2x−8=0x^2 + 2x - 8 = 0. Oppgi den største løsningen.

Vis fasit
  1. a=1a=1, b=2b=2, c=−8c=-8
  2. b2−4ac=4+32=36b^2-4ac=4+32=36
  3. x=−2±62x = \frac{-2 \pm 6}{2}
  4. x = 2 eller x = -4
  5. største: 2

L-53Hva er bb i likningen 3x2−7x+1=03x^2 - 7x + 1 = 0?

Vis fasit
  1. 3x2−7x+1=03x^2-7x+1=0
  2. koeffisienten foran xx er -7 (minustegnet hører med)
Middels(3)

M-51Løs x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0. Oppgi den minste løsningen.

Vis fasit
  1. a=1a=1, b=−2b=-2, c=−3c=-3
  2. b2−4ac=4+12=16b^2-4ac=4+12=16
  3. x=2±42x = \frac{2 \pm 4}{2}
  4. x = 3 eller x = -1
  5. minste: -1

M-52Løs 2x2+5x−3=02x^2 + 5x - 3 = 0. Oppgi den største løsningen.

Vis fasit
  1. a=2a=2, b=5b=5, c=−3c=-3
  2. b2−4ac=25+24=49b^2-4ac=25+24=49
  3. x=−5±74x = \frac{-5 \pm 7}{4}
  4. x = 0,5 eller x = -3
  5. største: 0,5

M-53Løs x2−6x+9=0x^2 - 6x + 9 = 0 med abc-formelen.

Vis fasit
  1. a=1a=1, b=−6b=-6, c=9c=9
  2. b2−4ac=36−36=0b^2-4ac=36-36=0
  3. x=6±02x = \frac{6 \pm 0}{2}
  4. x = 3, én dobbel løsning
Vanskelig(3)

V-51Løs 3x2−5x−2=03x^2 - 5x - 2 = 0. Oppgi den største løsningen.

Vis fasit
  1. a=3a=3, b=−5b=-5, c=−2c=-2
  2. b2−4ac=25+24=49b^2-4ac=25+24=49
  3. x=5±76x = \frac{5 \pm 7}{6}
  4. x = 2 eller x=−13x = -\frac{1}{3}
  5. største: 2

V-52En elev setter b=3b = 3 i x2−3x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0. Hva blir feil?

Vis fasit
  1. x2−3x+2=0x^2-3x+2=0
  2. leddet er −3x-3x, så b = -3; med b = 3 får man x = -1 og x = -2 i stedet for x = 1 og x = 2

V-53Løs x2+4x+4=0x^2 + 4x + 4 = 0.

Vis fasit
  1. a=1a=1, b=4b=4, c=4c=4
  2. b2−4ac=16−16=0b^2-4ac=16-16=0
  3. x=−42x = \frac{-4}{2}
  4. x = -2, én dobbel løsning