Eksamensoppgaver – Likhet og likevekt (10. trinn)

Utdanningsdirektoratet

Vår 2015, Del 1 – Oppgave 13

Uten hjelpemidler – 2.5 poeng

a) Løs likningssystemet ved regning:

$2x + y = 5$

$x - y = -2$
b) Løs likningssystemet ovenfor grafisk. Marker løsningen i koordinatsystemet.

y = x + 2 og y = -2x + 5

Skjæringspunkt: x = 1, y = 3

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal løse det samme likningssystemet på to måter: ved regning (innsettingsmetoden) og grafisk (finne skjæringspunktet).

Strategi og formel: I a) løser vi den andre likningen for $y$ og setter uttrykket inn i den første. I b) skriver vi begge likningene på formen $y = ax + b$ og tegner dem i samme koordinatsystem: løsningen er punktet der linjene krysser hverandre, som skal stemme med svaret fra a).

Trinnvis utregning:

a) $x - y = -2 \Rightarrow y = x + 2$
sett inn i $2x+y=5$ : $2x + (x+2) = 5$
$3x + 2 = 5$
$3x = 3$
$x = 1$
$y = 1 + 2 = 3$
b) skriv om: $2x+y=5 \Rightarrow y=-2x+5$ og $x-y=-2 \Rightarrow y=x+2$
linjene krysser i $(1, 3)$ , samme svar som i a)

Svar: $(x, y) = (1, 3)$ , samme svar med begge metodene.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2.5 poeng)

Poeng	Krav
2,5/2,5	Riktig løsning $(1, 3)$ funnet ved regning i a) OG korrekt tegnede linjer med markert skjæringspunkt i b).
1,5/2,5	Riktig løsning i a), men b) mangler eller har unøyaktig avlest/markert skjæringspunkt (eller omvendt).
0/2,5	Ingen av deloppgavene løst riktig.

Sensor-tips

Sjekk at eleven faktisk skriver om begge likningene til formen $y=ax+b$ FØR tegning i b). Å tegne rett fra $2x+y=5$ uten omskriving er en vanlig kilde til feil stigningstall/skjæringspunkt.
Stemmer ikke svaret fra a) og b) overens, er minst én av dem feil: bruk dette som en innebygd selvsjekk, akkurat som å sette prøve på svaret.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2015, Del 1, Oppgave 13

Utdanningsdirektoratet

Vår 2011, Del 1 – Oppgave 10

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Løs likningssettet ved regning. Sett prøve på svaret.

$-2x + y = 7$

$y = 5x - 5$

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal løse likningssystemet med innsettingsmetoden, og deretter kontrollere svaret ved å sette det inn i begge de opprinnelige likningene.

Strategi og formel: Den andre likningen er allerede løst for $y$ , så vi setter dette uttrykket direkte inn for $y$ i den første likningen. Til slutt setter vi prøve ved å sette begge verdiene inn i BEGGE de opprinnelige likningene.

Trinnvis utregning:

$-2x + y = 7$ med $y = 5x-5$ satt inn
$-2x + (5x-5) = 7$
$3x - 5 = 7$
$3x = 12$
$x = 4$
$y = 5 \cdot 4 - 5 = 15$
prøve i likning 1: $-2 \cdot 4 + 15 = -8+15=7$ ✓
prøve i likning 2: $5 \cdot 4 - 5 = 15$ ✓

Svar: $(x, y) = (4, 15)$ , sjekket i begge likningene.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Finner $(x,y)=(4{,}15)$ med vist innsetting, OG viser prøven i begge de opprinnelige likningene.
1/2	Finner riktig løsning $(4,15)$ , men mangler prøven på svaret – eller har riktig metode med en mindre regnefeil.
0/2	Feil løsning, eller ingen fremgangsmåte vist.

Sensor-tips

Tallene her gir en større løsning ( $y=15$ ) enn de fleste øvingsoppgavene på siden: en vanlig feil er å stoppe ved $x=4$ og glemme å sette $x$ tilbake for å finne $y$ .
«Sett prøve på svaret» er en eksplisitt del av oppgaveteksten, ikke bare en anbefaling: full poengsum krever at eleven faktisk viser kontrollregningen i begge likningene, ikke bare oppgir svaret.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2011, Del 1, Oppgave 10

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 1 – Oppgave 1

Uten hjelpemidler – 1 poeng

På Berge Kino koster billettene til sammen 400 kr for to voksne og et barn. Billettene for en voksen og et barn koster til sammen 260 kr.

Hvor mye koster én barnebillett? Vis hvordan du tenker.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne prisen på en barnebillett.

Strategi og formel: Vi har to opplysninger. Forskjellen mellom dem er nøyaktig én voksenbillett, og da kan vi finne barnebilletten. Vi kan også sette opp et likningssett.

Trinnvis utregning:

to voksne og ett barn: $400$ kr
én voksen og ett barn: $260$ kr
forskjellen er én voksenbillett: $400 - 260 = 140$ kr
én voksen koster $140$ kr
barnebilletten: $260 - 140 = 120$ kr
kontroll: $2 \cdot 140 + 120 = 400$

Svar: En barnebillett koster 120 kroner.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Barnebilletten er 120 kroner, med forklaring.
0/1	Feil pris, eller svar uten framgangsmåte.

Sensor-tips

Sensor: korrekt pris med framgangsmåte gir 1 poeng, og korrekt pris for en voksenbillett med framgangsmåte gir også 1 poeng.
Algebraisk: la $v$ være voksenbillett og $b$ barnebillett. $2v + b = 400$ og $v + b = 260$ . Trekker en fra den andre får en $v = 140$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2024, Del 1, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Vår 2017, Del 2 – Oppgave 9

Med hjelpemidler – 6 poeng

a) Løs likningssystemet

$5x + 4y = 9$

$6x + 7y = 13$

Ada Lovelace (1815–1852) regnes som verdens første dataprogrammerer. Hun skrev programmer for en stor, planlagt regnemaskin som skulle hete Den analytiske maskinen.

I 1979 fikk dataprogrammeringsspråket Ada navn etter Ada Lovelace.

Et likningssystem med to ukjente, $x$ og $y$ , kan skrives på formen

$ax + by = c$

$dx + ey = f$

der $a$ , $b$ , $c$ , $d$ , $e$ og $f$ er konstanter.

Ada Lovelace laget formler for løsning av et likningssystem med to ukjente:

$x = \dfrac{ce - bf}{ae - bd}$ og $y = \dfrac{af - cd}{ae - bd}$

b) Bruk formlene til Ada Lovelace ovenfor til å løse likningssystemet

$5x + 4y = 9$

$6x + 7y = 13$
c) Løs likningssystemet

$ax + by = c$

$dx + ey = f$

og vis at du får formlene til Ada Lovelace som løsninger.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal løse likningssystemet, løse det igjen med Ada Lovelaces formler, og utlede formlene ved å løse det generelle likningssystemet.

Strategi og formel: I a) bruker vi addisjonsmetoden eller innsetting. I b) setter vi $a = 5$ , $b = 4$ , $c = 9$ , $d = 6$ , $e = 7$ og $f = 13$ inn i formlene. I c) bruker vi addisjonsmetoden på det generelle systemet: vi ganger likningene slik at ett ledd faller bort.

Trinnvis utregning:

a) multipliserer første likning med $7$ og andre med $4$ : $35x + 28y = 63$ og $24x + 28y = 52$
trekker fra: $11x = 11$
$x = 1$
setter inn i $5x + 4y = 9$ : $4y = 4$
$y = 1$
b) $x = \frac{9 \cdot 7 - 4 \cdot 13}{5 \cdot 7 - 4 \cdot 6} = \frac{63 - 52}{35 - 24} = \frac{11}{11} = 1$ og $y = \frac{5 \cdot 13 - 9 \cdot 6}{35 - 24} = \frac{65 - 54}{11} = 1$
c) ganger $ax + by = c$ med $e$ og $dx + ey = f$ med $b$ : $aex + bey = ce$ og $bdx + bey = bf$
trekker fra: $(ae - bd)x = ce - bf$
$x = \frac{ce - bf}{ae - bd}$ når $ae - bd \neq 0$
ganger første likning med $d$ og andre med $a$ : $adx + bdy = cd$ og $adx + aey = af$
trekker første fra andre: $(ae - bd)y = af - cd$
$y = \frac{af - cd}{ae - bd}$

Svar: a) og b) Løsningen er $x = 1$ og $y = 1$ med begge metodene. c) Ved å eliminere $y$ får en $(ae - bd)x = ce - bf$ , og ved å eliminere $x$ får en $(ae - bd)y = af - cd$ . Det gir Ada Lovelaces formler.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
6/6	a) og b) riktig løst ( $x = 1$ , $y = 1$ ), og c) en fullstendig utledning av begge formlene.
4-5/6	a) og b) riktige og en delvis utledning i c) (for eksempel bare formelen for $x$ ).
2-3/6	a) riktig, men b) og c) mangler eller har feil.
0-1/6	Bare delvis riktige beregninger.

Sensor-tips

I c) må en kunne dele på $ae - bd$ . Det forutsetter at $ae - bd \neq 0$ , og det er lurt å nevne.
Kontroller svaret i a) ved å sette $x = 1$ og $y = 1$ inn i begge likningene: $5 + 4 = 9$ og $6 + 7 = 13$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2017, Del 2, Oppgave 9

Utdanningsdirektoratet

Høst 2013, Del 1 – Oppgave 15

Uten hjelpemidler – 1.5 poeng

3 paller bjørkeved og 6 paller granved koster 6 600 kroner til sammen.

4 paller med bjørkeved og 7 paller med granved koster 8 200 kroner til sammen.

Hva koster 1 pall med bjørkeved, og hva koster 1 pall med granved?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne prisen for 1 pall bjørkeved og 1 pall granved.

Strategi og formel: Vi kaller prisen for en pall bjørkeved $b$ og prisen for en pall granved $g$ , setter opp to likninger og løser likningssettet.

Trinnvis utregning:

likninger: $3b + 6g = 6\ 600$ og $4b + 7g = 8\ 200$
første likning delt på 3: $b + 2g = 2\ 200$ , så $b = 2\ 200 - 2g$
setter inn i andre likning: $4(2\ 200 - 2g) + 7g = 8\ 200$
$8\ 800 - 8g + 7g = 8\ 200$
$8\ 800 - g = 8\ 200$
$g = 600$
$b = 2\ 200 - 2 \cdot 600 = 1\ 000$
kontroll: $3 \cdot 1\ 000 + 6 \cdot 600 = 6\ 600$ og $4 \cdot 1\ 000 + 7 \cdot 600 = 8\ 200$

Svar: 1 pall bjørkeved koster $1\ 000$ kroner, og 1 pall granved koster $600$ kroner.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1.5 poeng)

Poeng	Krav
1,5/1,5	Begge prisene riktige med framgangsmåte.
1/1,5	Riktig oppsett av likningene, men feil i løsningen.
0,5/1,5	Bare én riktig pris, eller bare forsøk på oppsett.
0/1,5	Ingen riktige svar.

Sensor-tips

Sjekk alltid svaret ved å sette prisene inn i begge likningene.
Prøving og feiling kan gi riktig svar, men gir ikke full uttelling uten at prisene kontrolleres mot begge opplysningene.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Høst 2013, Del 1, Oppgave 15

Utdanningsdirektoratet

Vår 2012, Del 1 – Oppgave 12

Uten hjelpemidler – 1 poeng

To flasker vann og to epler koster 40 kroner. En flaske vann og tre epler koster 32 kroner.

Hvor mye koster én flaske vann?

Hvor mye koster ett eple?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne prisen for én flaske vann og for ett eple.

Strategi og formel: Vi kaller prisen for en flaske vann $v$ og prisen for ett eple $e$ , setter opp to likninger og løser likningssettet.

Trinnvis utregning:

likninger: $2v + 2e = 40$ og $v + 3e = 32$
første likning delt på 2: $v + e = 20$ , så $v = 20 - e$
setter inn i andre likning: $(20 - e) + 3e = 32$
$20 + 2e = 32$
$2e = 12$
$e = 6$
$v = 20 - 6 = 14$
kontroll: $2 \cdot 14 + 2 \cdot 6 = 40$ og $14 + 3 \cdot 6 = 32$

Svar: Én flaske vann koster $14$ kroner, og ett eple koster $6$ kroner.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Begge prisene riktige: 14 kroner og 6 kroner.
0/1	Bare én pris riktig, eller feil svar.

Sensor-tips

Opplysningene i oppgaven er hentet fra bildet i Udirs oppgave: to flasker og to epler til 40 kroner, og en flaske og tre epler til 32 kroner.
Kontroller svaret ved å sette inn i begge opplysningene.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2012, Del 1, Oppgave 12

Utdanningsdirektoratet

Vår 2009, Del 1 – Oppgave 20

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Én fotball og én shorts koster 500 kroner. To fotballer og tre shortser koster 1 200 kroner.

Hva koster en fotball, og hva koster en shorts? Begrunn svaret.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne prisen for én fotball og én shorts.

Strategi og formel: Vi kaller prisen for en fotball $f$ og prisen for en shorts $s$ , setter opp to likninger og løser likningssettet.

Trinnvis utregning:

likninger: $f + s = 500$ og $2f + 3s = 1\ 200$
fra første likning: $f = 500 - s$
setter inn: $2(500 - s) + 3s = 1\ 200$
$1\ 000 - 2s + 3s = 1\ 200$
$s = 200$
$f = 500 - 200 = 300$
kontroll: $2 \cdot 300 + 3 \cdot 200 = 600 + 600 = 1\ 200$

Svar: En fotball koster $300$ kroner, og en shorts koster $200$ kroner.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Begge prisene riktige med begrunnelse (likningssett eller kontroll).
1/2	Én pris riktig, eller riktig oppsett men feil løsning.
0/2	Ingen riktige svar.

Sensor-tips

Begrunn svaret ved å vise at prisene passer til begge opplysningene.
Du kan også tenke slik: to fotballer og to shortser koster 1 000 kroner. Da koster den ene shortsen 200 kroner.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2009, Del 1, Oppgave 20