Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2015, Del 1 – Oppgave 13

Uten hjelpemidler – 2.5 poeng

a) Løs likningssystemet ved regning:

$2x + y = 5$

$x - y = -2$
b) Løs likningssystemet ovenfor grafisk. Marker løsningen i koordinatsystemet.

y = x + 2 og y = -2x + 5

Skjæringspunkt: x = 1, y = 3

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal løse det samme likningssystemet på to måter: ved regning (innsettingsmetoden) og grafisk (finne skjæringspunktet).

Strategi og formel: I a) løser vi den andre likningen for $y$ og setter uttrykket inn i den første. I b) skriver vi begge likningene på formen $y = ax + b$ og tegner dem i samme koordinatsystem – løsningen er punktet der linjene krysser hverandre, som skal stemme med svaret fra a).

Trinnvis utregning:

a) $x - y = -2 \Rightarrow y = x + 2$
sett inn i $2x+y=5$ : $2x + (x+2) = 5$
$3x + 2 = 5$
$3x = 3$
$x = 1$
$y = 1 + 2 = 3$
b) skriv om: $2x+y=5 \Rightarrow y=-2x+5$ og $x-y=-2 \Rightarrow y=x+2$
linjene krysser i $(1, 3)$ , samme svar som i a)

Svar: $(x, y) = (1, 3)$ , samme svar med begge metodene.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2.5 poeng)

Poeng	Krav
2,5/2,5	Riktig løsning $(1, 3)$ funnet ved regning i a) OG korrekt tegnede linjer med markert skjæringspunkt i b).
1,5/2,5	Riktig løsning i a), men b) mangler eller har unøyaktig avlest/markert skjæringspunkt (eller omvendt).
0/2,5	Ingen av deloppgavene løst riktig.

Sensor-tips

Sjekk at eleven faktisk skriver om begge likningene til formen $y=ax+b$ FØR tegning i b) – å tegne rett fra $2x+y=5$ uten omskriving er en vanlig kilde til feil stigningstall/skjæringspunkt.
Stemmer ikke svaret fra a) og b) overens, er minst én av dem feil – bruk dette som en innebygd selvsjekk, akkurat som å sette prøve på svaret.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2015, Del 1, Oppgave 13

Utdanningsdirektoratet

Vår 2011, Del 1 – Oppgave 10

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Løs likningssettet ved regning. Sett prøve på svaret.

$-2x + y = 7$

$y = 5x - 5$

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal løse likningssystemet med innsettingsmetoden, og deretter kontrollere svaret ved å sette det inn i begge de opprinnelige likningene.

Strategi og formel: Den andre likningen er allerede løst for $y$ , så vi setter dette uttrykket direkte inn for $y$ i den første likningen. Til slutt setter vi prøve ved å sette begge verdiene inn i BEGGE de opprinnelige likningene.

Trinnvis utregning:

$-2x + y = 7$ med $y = 5x-5$ satt inn
$-2x + (5x-5) = 7$
$3x - 5 = 7$
$3x = 12$
$x = 4$
$y = 5 \cdot 4 - 5 = 15$
prøve i likning 1: $-2 \cdot 4 + 15 = -8+15=7$ ✓
prøve i likning 2: $5 \cdot 4 - 5 = 15$ ✓

Svar: $(x, y) = (4, 15)$ , sjekket i begge likningene.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Finner $(x,y)=(4,15)$ med vist innsetting, OG viser prøven i begge de opprinnelige likningene.
1/2	Finner riktig løsning $(4,15)$ , men mangler prøven på svaret – eller har riktig metode med en mindre regnefeil.
0/2	Feil løsning, eller ingen fremgangsmåte vist.

Sensor-tips

Tallene her gir en større løsning ( $y=15$ ) enn de fleste øvingsoppgavene på siden – en vanlig feil er å stoppe ved $x=4$ og glemme å sette $x$ tilbake for å finne $y$ .
«Sett prøve på svaret» er en eksplisitt del av oppgaveteksten, ikke bare en anbefaling – full poengsum krever at eleven faktisk viser kontrollregningen i begge likningene, ikke bare oppgir svaret.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2011, Del 1, Oppgave 10