NumiSum

Løse et ligningssystem med innsettingsmetoden

Innsettingsmetoden løser et ligningssystem UTEN å tegne: sett det ene uttrykket for yy (eller xx) INN i den andre ligningen, slik at du får ÉN ligning med ÉN ukjent. Løs den, og sett svaret tilbake for å finne den andre ukjente.

Innsettingsmetoden, steg for steg

Sett y1=y2⇒løs for x⇒sett x inn igjen for y\text{Sett } y_1 = y_2 \Rightarrow \text{løs for } x \Rightarrow \text{sett } x \text{ inn igjen for } y

Tips

  • Etter å ha funnet den ene ukjente, MÅ du sette verdien tilbake i én av de opprinnelige ligningene for å finne den andre – det er lett å glemme dette siste steget.
  • Sjekk alltid svaret ditt ved å sette BEGGE verdiene inn i begge de opprinnelige ligningene – da fanger du opp regnefeil.

Eksempel: Løse et ligningssystem med innsetting

Løs ligningssystemet y=2x+1y = 2x + 1 og 3x+y=113x + y = 11 med innsettingsmetoden.

Steg i innsettingsmetoden
StegRegningResultat
1. Sett inn3x + (2x+1) = 115x + 1 = 11
2. Løs for x5x = 10x = 2
3. Finn yy = 2*2 + 1y = 5
Løsning:
  1. Den første ligningen sier y=2x+1y = 2x + 1, så vi setter dette uttrykket inn for yy i den andre ligningen
  2. 3x+(2x+1)=113x + (2x + 1) = 11
  3. 5x+1=115x + 1 = 11
  4. 5x=105x = 10
  5. x=2x = 2
  6. vi setter x=2x=2 tilbake i y=2x+1y = 2x + 1 for å finne yy: y=2⋅2+1=5y = 2 \cdot 2 + 1 = 5
  7. svaret er (x,y)=(2,5)(x, y) = (2, 5).

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Løs ligningssystemet y=x+4y = x + 4 og 2x+y=102x + y = 10 med innsetting.

Vis fasit
StegRegningResultat
Sett inn2x+(x+4)=103x+4=10
Løs for x3x=6x=2
Finn yy=2+4y=6
  1. 2x + (x+4) = 10
  2. 3x + 4 = 10
  3. 3x = 6
  4. x = 2, som gir y = 2 + 4 = 6, altså (2, 6)

L-32Løs ligningssystemet y=3xy = 3x og x+y=8x + y = 8 med innsetting.

Vis fasit
StegRegningResultat
Sett innx+3x=84x=8
Løs for x4x=8x=2
Finn yy=3*2y=6
  1. x + 3x = 8
  2. 4x = 8
  3. x = 2, som gir y = 3*2 = 6, altså (2, 6)

L-33I innsettingsmetoden, hva gjør du ETTER å ha funnet verdien for x?

Vis fasit
StegRegningResultat
Etter x er funnetsett x tilbake i en ligningfinn y
  1. Å finne x er ikke nok – du må finne BEGGE verdiene i løsningsparet
  2. sett x tilbake for å finne y
Middels(3)

M-31Løs ligningssystemet y=2x−1y = 2x - 1 og 4x+y=174x + y = 17 med innsetting.

Vis fasit
StegRegningResultat
Sett inn4x+(2x-1)=176x-1=17
Løs for x6x=18x=3
Finn yy=2*3-1y=5
  1. 4x + (2x-1) = 17
  2. 6x - 1 = 17
  3. 6x = 18
  4. x = 3, som gir y = 2*3 - 1 = 5, altså (3, 5)

M-32Løs ligningssystemet x=y+2x = y + 2 og 3y+x=143y + x = 14 med innsetting.

Vis fasit
StegRegningResultat
Sett inn3y+(y+2)=144y+2=14
Løs for y4y=12y=3
Finn xx=3+2x=5
  1. 3y + (y+2) = 14
  2. 4y + 2 = 14
  3. 4y = 12
  4. y = 3, som gir x = 3 + 2 = 5, altså (5, 3)

M-33To tall har differanse 6, og det ene er 4 mer enn det doble av det andre: x = y+6 og x = 2y+4. Finn tallene.

Vis fasit
StegRegningResultat
Sett liky+6=2y+46-4=2y-y
Løs for yy=2-
Finn xx=2+6x=8
  1. y + 6 = 2y + 4
  2. 6 - 4 = 2y - y
  3. y = 2, som gir x = 2 + 6 = 8, altså x=8 og y=2
Vanskelig(3)

V-31Løs ligningssystemet y=5x−4y = 5x - 4 og 2x+3y=392x + 3y = 39 med innsetting.

Vis fasit
StegRegningResultat
Sett inn2x+3(5x-4)=392x+15x-12=39
Løs for x17x=51x=3
Finn yy=5*3-4y=11
  1. 2x + 3(5x-4) = 39
  2. 2x + 15x - 12 = 39
  3. 17x = 51
  4. x = 3, y = 5*3-4 = 11, altså (3, 11)

V-32En rektangulær tomt har omkrets 40 m. Lengden er 4 m mer enn bredden: 2l + 2b = 40 og l = b + 4. Finn lengde og bredde.

Vis fasit
StegRegningResultat
Sett inn2(b+4)+2b=402b+8+2b=40
Løs for b4b=32b=8
Finn ll=8+4l=12
  1. 2(b+4) + 2b = 40
  2. 2b + 8 + 2b = 40
  3. 4b = 32
  4. b = 8, som gir l = 8 + 4 = 12, altså lengde 12 m og bredde 8 m

V-33Forklar med et eksempel hvorfor innsettingsmetoden er raskere enn den grafiske metoden når tallene ikke gir et helt tallpar.

Vis fasit
StegRegningResultat
Grafiskkrever nøyaktig avlesing av desimalerupraktisk
Innsettingregner eksaktgir eksakt svar
  1. Skjæringspunkter som ikke er hele tall (f.eks. x=2,3) er vanskelige å lese nøyaktig av en tegning, men enkle å regne ut eksakt med innsetting
  2. innsetting gir eksakte svar uansett, grafisk metode er upraktisk for ikke-hele tall