NumiSum

Løse et ligningssystem med innsettingsmetoden

Innsettingsmetoden løser et ligningssystem UTEN å tegne: sett det ene uttrykket for yy (eller xx) INN i den andre ligningen, slik at du får ÉN ligning med ÉN ukjent. Løs den, og sett svaret tilbake for å finne den andre ukjente.

Innsettingsmetoden, steg for steg

Sett y1=y2⇒løs for x⇒sett x inn igjen for y\text{Sett } y_1 = y_2 \Rightarrow \text{løs for } x \Rightarrow \text{sett } x \text{ inn igjen for } y

Tips

  • Etter å ha funnet den ene ukjente, MÅ du sette verdien tilbake i én av de opprinnelige ligningene for å finne den andre. Det er lett å glemme dette siste steget.
  • Sjekk alltid svaret ditt ved å sette BEGGE verdiene inn i begge de opprinnelige ligningene. Da fanger du opp regnefeil.

Eksempel: Løse et ligningssystem med innsetting

Løs ligningssystemet y=2x+1y = 2x + 1 og 3x+y=113x + y = 11 med innsettingsmetoden.

Løsning:
  1. Den første ligningen sier y=2x+1y = 2x + 1, så vi setter dette uttrykket inn for yy i den andre ligningen
  2. 3x+(2x+1)=113x + (2x + 1) = 11
  3. 5x+1=115x + 1 = 11
  4. 5x=105x = 10
  5. x=2x = 2
  6. vi setter x=2x=2 tilbake i y=2x+1y = 2x + 1 for å finne yy: y=2⋅2+1=5y = 2 \cdot 2 + 1 = 5
  7. svaret er (x,y)=(2,5)(x, y) = (2, 5).
Steg i innsettingsmetoden
StegRegningResultat
1. Sett inn3x + (2x+1) = 115x + 1 = 11
2. Løs for x5x = 10x = 2
3. Finn yy = 2*2 + 1y = 5

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Kari har x røde kuler og y blå kuler. Hun har 4 flere blå enn røde (y=x+4y = x + 4), og to ganger antall røde pluss antall blå er 10 (2x+y=102x + y = 10). Løs ligningssystemet med innsetting for å finne x og y. Svar på formen (x, y).

Vis fasit
  1. 2x + (x+4) = 10
  2. 3x + 4 = 10
  3. 3x = 6
  4. x = 2, som gir y = 2 + 4 = 6, altså (2, 6)
StegRegningResultat
Sett inn2x+(x+4)=103x+4=10
Løs for x3x=6x=2
Finn yy=2+4y=6

L-32Løs ligningssystemet y=3xy = 3x og x+y=8x + y = 8 med innsetting. Svar på formen (x, y).

Vis fasit
  1. x + 3x = 8
  2. 4x = 8
  3. x = 2, som gir y = 3*2 = 6, altså (2, 6)
StegRegningResultat
Sett innx+3x=84x=8
Løs for x4x=8x=2
Finn yy=3*2y=6

L-33I innsettingsmetoden, hva gjør du ETTER å ha funnet verdien for x?

Vis fasit
  1. Å finne x er ikke nok – du må finne BEGGE verdiene i løsningsparet
  2. sett x tilbake for å finne y
StegRegningResultat
Etter x er funnetsett x tilbake i en ligningfinn y
Middels(3)

M-31Løs ligningssystemet y=2x−1y = 2x - 1 og 4x+y=174x + y = 17 med innsetting. Svar på formen (x, y).

Vis fasit
  1. 4x + (2x-1) = 17
  2. 6x - 1 = 17
  3. 6x = 18
  4. x = 3, som gir y = 2*3 - 1 = 5, altså (3, 5)
StegRegningResultat
Sett inn4x+(2x-1)=176x-1=17
Løs for x6x=18x=3
Finn yy=2*3-1y=5

M-32Løs ligningssystemet x=y+2x = y + 2 og 3y+x=143y + x = 14 med innsetting. Svar på formen (x, y).

Vis fasit
  1. 3y + (y+2) = 14
  2. 4y + 2 = 14
  3. 4y = 12
  4. y = 3, som gir x = 3 + 2 = 5, altså (5, 3)
StegRegningResultat
Sett inn3y+(y+2)=144y+2=14
Løs for y4y=12y=3
Finn xx=3+2x=5

M-33To tall har differanse 6, og det ene er 4 mer enn det doble av det andre: x = y+6 og x = 2y+4. Finn tallene.

Vis fasit
  1. y + 6 = 2y + 4
  2. 6 - 4 = 2y - y
  3. y = 2, som gir x = 2 + 6 = 8, altså x=8 og y=2
StegRegningResultat
Sett liky+6=2y+46-4=2y-y
Løs for yy=2-
Finn xx=2+6x=8
Vanskelig(3)

V-31Løs ligningssystemet y=5x−4y = 5x - 4 og 2x+3y=392x + 3y = 39 med innsetting. Svar på formen (x, y).

Vis fasit
  1. 2x + 3(5x-4) = 39
  2. 2x + 15x - 12 = 39
  3. 17x = 51
  4. x = 3, y = 5*3-4 = 11, altså (3, 11)
StegRegningResultat
Sett inn2x+3(5x-4)=392x+15x-12=39
Løs for x17x=51x=3
Finn yy=5*3-4y=11

V-32En rektangulær tomt har omkrets 40 m. Lengden er 4 m mer enn bredden: 2l + 2b = 40 og l = b + 4. Finn lengde og bredde.

Vis fasit
  1. 2(b+4) + 2b = 40
  2. 2b + 8 + 2b = 40
  3. 4b = 32
  4. b = 8, som gir l = 8 + 4 = 12, altså lengde 12 m og bredde 8 m
StegRegningResultat
Sett inn2(b+4)+2b=402b+8+2b=40
Løs for b4b=32b=8
Finn ll=8+4l=12

V-33Forklar med et eksempel hvorfor innsettingsmetoden er raskere enn den grafiske metoden når tallene ikke gir et helt tallpar.

Vis fasit
  1. Skjæringspunkter som ikke er hele tall (f.eks. x=2,3) er vanskelige å lese nøyaktig av en tegning, men enkle å regne ut eksakt med innsetting
  2. innsetting gir eksakte svar uansett, grafisk metode er upraktisk for ikke-hele tall
StegRegningResultat
Grafiskkrever nøyaktig avlesing av desimalerupraktisk
Innsettingregner eksaktgir eksakt svar