Hva er et ligningssystem

Et ligningssystem er to (eller flere) ligninger med de samme ukjente, som alle skal stemme SAMTIDIG. Løsningen er et TALLPAR ( $x$ , $y$ ) som gjør BEGGE ligningene sanne på én gang. Ikke bare den ene.

Et enkelt ligningssystem

$\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases}$

Tips

Løsningen på et ligningssystem er ALLTID et tallpar (x, y), aldri bare ett tall: oppgi begge verdiene i svaret.
Sjekk løsningen din ved å sette begge verdiene inn i BEGGE de opprinnelige ligningene: stemmer den ikke i én av dem, er den feil.

Eksempel: Sjekke om et tallpar er en løsning

Ligningssystemet er $y = 2x + 1$ og $y = -x + 4$ . Er tallparet (1, 3) en løsning?

Løsning:

Vi setter $x=1$ inn i den første ligningen: $y = 2 \cdot 1 + 1 = 3$ , som stemmer med $y=3$
vi setter $x=1$ inn i den andre ligningen: $y = -1 + 4 = 3$ , som også stemmer
svaret er begge ligningene stemmer, så (1, 3) ER en løsning.

Sjekke (1, 3) i begge ligningene
Ligning	Sett inn x=1	Gir y	Stemmer med y=3?
y = 2x + 1	2*1 + 1	3	Ja
y = -x + 4	-1 + 4	3	Ja

Alternativ forklaring/metode: Prøv deg fram med flere tallpar

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Teste flere kandidater

Har du flere mulige tallpar å velge mellom (f.eks. i en flervalgsoppgave), kan du sjekke hver kandidat mot begge ligningene på samme måte som i eksempelet. Den eneste kandidaten som stemmer i BEGGE ligningene er løsningen på systemet.

Steg	Kandidat
Test hver kandidat	mot begge ligningene
Kandidaten som stemmer i begge	er løsningen

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Ligningssystemet er $y = x + 2$ og $y = 3x$ . Er (1, 3) en løsning?

Vis fasit

Med x=1: første ligning gir y=1+2=3, andre gir y=3*1=3, begge stemmer
ja, en løsning

Ligning	Verdi
y = x + 2 (x=1)	3
y = 3x (x=1)	3
Konklusjon	Ja

L-12Ligningssystemet er $y = x + 2$ og $y = 3x$ . Er (2, 4) en løsning?

Vis fasit

Med x=2: første ligning gir y=2+2=4, som stemmer, men andre gir y=3*2=6, ikke 4
nei, ikke en løsning

Ligning	Verdi
y = x + 2 (x=2)	4
y = 3x (x=2)	6
Konklusjon	Nei

L-13Hva slags svar er løsningen på et ligningssystem med to ukjente?

Vis fasit

Løsningen må stemme i begge ligningene samtidig, derfor trengs verdier for begge ukjente
et tallpar (x, y)

Ligning	Verdi
Løsning	Et tallpar (x, y)

Middels(3)

M-11Ligningssystemet er $y = 2x - 1$ og $y = x + 3$ . Er (4, 7) en løsning?

Vis fasit

Med x=4: første ligning gir y=2*4-1=7, andre gir y=4+3=7, begge stemmer
ja, en løsning

Ligning	Verdi
y = 2x - 1 (x=4)	7
y = x + 3 (x=4)	7
Konklusjon	Ja

M-12Summen av to ganger et tall x og et tall y er 10, og differansen mellom x og y er 2. Ligningssystemet blir $2x + y = 10$ og $x - y = 2$ . Er (4, 2) en løsning?

Vis fasit

Med x=4, y=2: første ligning gir 2*4+2=10, som stemmer, andre gir 4-2=2, som også stemmer
ja, en løsning

Ligning	Verdi
2x + y (x=4,y=2)	10
x - y (x=4,y=2)	2
Konklusjon	Ja

M-13Ligningssystemet er $2x + y = 10$ og $x - y = 2$ . Er (3, 4) en løsning?

Vis fasit

Med x=3, y=4: første ligning gir 2*3+4=10, som stemmer, men andre gir 3-4=-1, ikke 2
nei, ikke en løsning

Ligning	Verdi
2x + y (x=3,y=4)	10
x - y (x=3,y=4)	-1
Konklusjon	Nei

Vanskelig(3)

V-11To billettyper koster x og y kroner. To voksne og ett barn koster 2x+y=310 kr, én voksen og to barn koster x+2y=260 kr. Er (120, 70) en løsning?

Vis fasit

Med x=120, y=70: 2*120+70=310, som stemmer, og 120+2*70=260, som også stemmer
ja, en løsning, voksenbillett 120 kr og barnebillett 70 kr

Ligning	Verdi
2x + y	310
x + 2y	260
Konklusjon	Ja

V-12Kan et ligningssystem ha MER enn én løsning? Forklar med utgangspunkt i to rette linjer.

Vis fasit

To ulike rette linjer skjærer hverandre i høyst ETT punkt, men er de nøyaktig samme linje, stemmer alle punktene på linjen i begge ligningene
vanligvis én løsning, men uendelig mange hvis linjene er identiske

Type	Antall løsninger
Ulike linjer	høyst ett skjæringspunkt
Identiske linjer	uendelig mange løsninger

V-13Ligningssystemet er $y = 3x + 2$ og $y = 3x - 1$ . Kan dette systemet ha en løsning? Begrunn ved å sammenligne stigningstallene.

Vis fasit

Begge linjene har stigningstall 3, altså er de PARALLELLE, og konstantleddene (2 og -1) er ulike, så linjene er ikke identiske
nei, ingen løsning, linjene er parallelle

Ligning	Verdi
Stigningstall	3 og 3 (like)
Konstantledd	2 og -1 (ulike)
Konklusjon	Ingen løsning, parallelle