NumiSum

Hva er et ligningssystem

Et ligningssystem er to (eller flere) ligninger med de samme ukjente, som alle skal stemme SAMTIDIG. Løsningen er et TALLPAR (xx, yy) som gjør BEGGE ligningene sanne på én gang – ikke bare den ene.

Et enkelt ligningssystem

{y=2x+1y=−x+4\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases}

Tips

  • Løsningen på et ligningssystem er ALLTID et tallpar (x, y), aldri bare ett tall – oppgi begge verdiene i svaret.
  • Sjekk løsningen din ved å sette begge verdiene inn i BEGGE de opprinnelige ligningene – stemmer den ikke i én av dem, er den feil.

Eksempel: Sjekke om et tallpar er en løsning

Ligningssystemet er y=2x+1y = 2x + 1 og y=−x+4y = -x + 4. Er tallparet (1, 3) en løsning?

Sjekke (1, 3) i begge ligningene
LigningSett inn x=1Gir yStemmer med y=3?
y = 2x + 12*1 + 13Ja
y = -x + 4-1 + 43Ja
Løsning:
  1. Vi setter x=1x=1 inn i den første ligningen: y=2⋅1+1=3y = 2 \cdot 1 + 1 = 3, som stemmer med y=3y=3
  2. vi setter x=1x=1 inn i den andre ligningen: y=−1+4=3y = -1 + 4 = 3, som også stemmer
  3. svaret er begge ligningene stemmer, så (1, 3) ER en løsning.
Alternativ forklaring/metode: Prøv deg fram med flere tallpar

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Teste flere kandidater

Har du flere mulige tallpar å velge mellom (f.eks. i en flervalgsoppgave), kan du sjekke hver kandidat mot begge ligningene på samme måte som i eksempelet – den eneste kandidaten som stemmer i BEGGE ligningene er løsningen på systemet.

StegKandidat
Test hver kandidatmot begge ligningene
Kandidaten som stemmer i beggeer løsningen

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Ligningssystemet er y=x+2y = x + 2 og y=3xy = 3x. Er (1, 3) en løsning?

Vis fasit
LigningVerdi
y = x + 2 (x=1)3
y = 3x (x=1)3
KonklusjonJa
  1. Med x=1: første ligning gir y=1+2=3, andre gir y=3*1=3, begge stemmer
  2. ja, en løsning

L-12Ligningssystemet er y=x+2y = x + 2 og y=3xy = 3x. Er (2, 4) en løsning?

Vis fasit
LigningVerdi
y = x + 2 (x=2)4
y = 3x (x=2)6
KonklusjonNei
  1. Med x=2: første ligning gir y=2+2=4, som stemmer, men andre gir y=3*2=6, ikke 4
  2. nei, ikke en løsning

L-13Hva slags svar er løsningen på et ligningssystem med to ukjente?

Vis fasit
LigningVerdi
LøsningEt tallpar (x, y)
  1. Løsningen må stemme i begge ligningene samtidig, derfor trengs verdier for begge ukjente
  2. et tallpar (x, y)
Middels(3)

M-11Ligningssystemet er y=2x−1y = 2x - 1 og y=x+3y = x + 3. Er (4, 7) en løsning?

Vis fasit
LigningVerdi
y = 2x - 1 (x=4)7
y = x + 3 (x=4)7
KonklusjonJa
  1. Med x=4: første ligning gir y=2*4-1=7, andre gir y=4+3=7, begge stemmer
  2. ja, en løsning

M-12Ligningssystemet er 2x+y=102x + y = 10 og x−y=2x - y = 2. Er (4, 2) en løsning?

Vis fasit
LigningVerdi
2x + y (x=4,y=2)10
x - y (x=4,y=2)2
KonklusjonJa
  1. Med x=4, y=2: første ligning gir 2*4+2=10, som stemmer, andre gir 4-2=2, som også stemmer
  2. ja, en løsning

M-13Ligningssystemet er 2x+y=102x + y = 10 og x−y=2x - y = 2. Er (3, 4) en løsning?

Vis fasit
LigningVerdi
2x + y (x=3,y=4)10
x - y (x=3,y=4)-1
KonklusjonNei
  1. Med x=3, y=4: første ligning gir 2*3+4=10, som stemmer, men andre gir 3-4=-1, ikke 2
  2. nei, ikke en løsning
Vanskelig(3)

V-11To billettyper koster x og y kroner. To voksne og ett barn koster 2x+y=310 kr, én voksen og to barn koster x+2y=260 kr. Er (120, 70) en løsning?

Vis fasit
LigningVerdi
2x + y310
x + 2y260
KonklusjonJa
  1. Med x=120, y=70: 2120+70=310, som stemmer, og 120+270=260, som også stemmer
  2. ja, en løsning, voksenbillett 120 kr og barnebillett 70 kr

V-12Kan et ligningssystem ha MER enn én løsning? Forklar med utgangspunkt i to rette linjer.

Vis fasit
TypeAntall løsninger
Ulike linjerhøyst ett skjæringspunkt
Identiske linjeruendelig mange løsninger
  1. To ulike rette linjer skjærer hverandre i høyst ETT punkt, men er de nøyaktig samme linje, stemmer alle punktene på linjen i begge ligningene
  2. vanligvis én løsning, men uendelig mange hvis linjene er identiske

V-13Ligningssystemet er y=3x+2y = 3x + 2 og y=3x−1y = 3x - 1. Kan dette systemet ha en løsning? Begrunn ved å sammenligne stigningstallene.

Vis fasit
LigningVerdi
Stigningstall3 og 3 (like)
Konstantledd2 og -1 (ulike)
KonklusjonIngen løsning, parallelle
  1. Begge linjene har stigningstall 3, altså er de PARALLELLE, og konstantleddene (2 og -1) er ulike, så linjene er ikke identiske
  2. nei, ingen løsning, linjene er parallelle