Løse et ligningssystem med addisjonsmetoden

Addisjonsmetoden løser et ligningssystem ved å legge de to ligningene sammen, eller trekke den ene fra den andre. Har $y$ MOTSATT fortegn i de to ligningene (som $+y$ og $-y$ ), LEGGER du sammen, og $y$ -leddene kansellerer. Har $y$ SAMME fortegn, TREKKER du fra i stedet. Igjen sitter du med ÉN ligning med ÉN ukjent.

Addisjonsmetoden, steg for steg

$\text{Motsatt fortegn} \Rightarrow \text{legg sammen} \quad | \quad \text{Samme fortegn} \Rightarrow \text{trekk fra}$

Tips

Etter å ha funnet den ene ukjente, MÅ du sette verdien tilbake i én av de opprinnelige ligningene for å finne den andre – akkurat som i innsettingsmetoden.
Addisjonsmetoden er raskest når $x$ eller $y$ allerede har lik eller motsatt tallverdi i begge ligningene, slik at du slipper å skrive om noe før du legger sammen.

Eksempel: Løse et ligningssystem med addisjon

Løs ligningssystemet $x + y = 12$ og $x - y = 4$ med addisjonsmetoden.

Steg i addisjonsmetoden
Steg	Regning	Resultat
1. Legg sammen	(x+y)+(x-y) = 12+4	2x = 16
2. Løs for x	2x = 16	x = 8
3. Finn y	8 + y = 12	y = 4

Løsning:

Ligningene er $x + y = 12$ og $x - y = 4$
$y$ har motsatt fortegn i de to ( $+y$ og $-y$ ), så vi legger dem sammen
$(x+y) + (x-y) = 12 + 4$
$y$ -leddene kansellerer: $2x = 16$
$x = 8$
vi setter $x=8$ tilbake i $x + y = 12$ for å finne $y$ : $8 + y = 12$ , altså $y = 4$
svaret er $(x, y) = (8, 4)$ .

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41Løs ligningssystemet $x + y = 9$ og $x - y = 3$ med addisjonsmetoden.

Vis fasit

Steg	Regning	Resultat
Legg sammen	(x+y)+(x-y)=9+3	2x=12
Løs for x	2x=12	x=6
Finn y	y=9-6	y=3

x + y = 9 og x - y = 3
legg sammen: 2x = 12
x = 6, som gir y = 9 - 6 = 3, altså (6, 3)

L-42Løs ligningssystemet

x + y = 14

x - y = 2

med addisjonsmetoden.

Vis fasit

Steg	Regning	Resultat
Legg sammen	(x+y)+(x-y)=14+2	2x=16
Løs for x	2x=16	x=8
Finn y	y=14-8	y=6

x + y = 14 og x - y = 2
legg sammen: 2x = 16
x = 8, som gir y = 14 - 8 = 6, altså (8, 6)

L-43I addisjonsmetoden: hvorfor legger du sammen ligningene når

y

har MOTSATT fortegn i begge?

Vis fasit

Steg	Regning	Resultat
+y og -y	summerer til 0	y forsvinner

+y og -y summerer til 0
y-leddet forsvinner, og du sitter igjen med én ligning med x

Middels(3)

M-41Løs ligningssystemet

3x + y = 17

x - y = 3

med addisjonsmetoden.

Vis fasit

Steg	Regning	Resultat
Legg sammen	(3x+y)+(x-y)=17+3	4x=20
Løs for x	4x=20	x=5
Finn y	y=5-3	y=2

3x + y = 17 og x - y = 3
legg sammen: 4x = 20
x = 5, som gir y = 5 - 3 = 2, altså (5, 2)

M-42Løs ligningssystemet

x + 2y = 16

x - 2y = -8

med addisjonsmetoden.

Vis fasit

Steg	Regning	Resultat
Legg sammen	(x+2y)+(x-2y)=16-8	2x=8
Løs for x	2x=8	x=4
Finn y	4+2y=16	y=6

x + 2y = 16 og x - 2y = -8
legg sammen: 2x = 8
x = 4, som gir 4 + 2y = 16
y = 6, altså (4, 6)

M-43Løs ligningssystemet

2x + y = 15

2x - y = 13

med addisjonsmetoden. Oppgi

y

Vis fasit

Steg	Regning	Resultat
Legg sammen	(2x+y)+(2x-y)=15+13	4x=28
Løs for x	4x=28	x=7
Finn y	14+y=15	y=1

2x + y = 15 og 2x - y = 13
legg sammen: 4x = 28
x = 7, som gir 14 + y = 15
y = 1

Vanskelig(3)

V-41Summen av to tall er

20

, og differansen er

6

. Sett opp et ligningssystem og løs det med addisjonsmetoden.

Vis fasit

Steg	Regning	Resultat
Legg sammen	(x+y)+(x-y)=20+6	2x=26
Løs for x	2x=26	x=13
Finn y	y=20-13	y=7

x + y = 20 og x - y = 6
legg sammen: 2x = 26
x = 13, som gir y = 20 - 13 = 7, altså tallene er 13 og 7

V-42To billetter koster til sammen

300

kr. Differansen mellom prisene er

50

kr. Bruk addisjonsmetoden til å finne prisene:

v + b = 300

v - b = 50

Vis fasit

Steg	Regning	Resultat
Legg sammen	(v+b)+(v-b)=300+50	2v=350
Løs for v	2v=350	v=175
Finn b	b=300-175	b=125

v + b = 300 og v - b = 50
legg sammen: 2v = 350
v = 175, som gir b = 300 - 175 = 125, altså 175 kr og 125 kr

V-43Når er addisjonsmetoden spesielt rask å bruke, sammenlignet med innsetting?

Vis fasit

Steg	Regning	Resultat
Lik/motsatt koeffisient	variabelen kansellerer	raskere enn innsetting

Lik eller motsatt koeffisient betyr at variabelen kansellerer med det samme
du slipper å skrive om noe ligning før du løser