NumiSum

Løse et ligningssystem grafisk

Tegner du begge ligningene som rette linjer i samme koordinatsystem, er løsningen på systemet nøyaktig der linjene KRYSSER hverandre – skjæringspunktet. Dette er samme idé som å sammenligne to funksjoner (funksjoner/8) for å finne hvor de er like store.

xy-112345246(0, 1)+1+1(0, 5)+1-1(2, 3)
y = x + 1 og y = -x + 5

Skjæringspunkt: x = 2, y = 3

Tips

  • Skjæringspunktets koordinater ER løsningen – les av både xx- og yy-verdien nøyaktig der linjene krysser hverandre.
  • Er linjene parallelle (samme stigningstall, ulikt konstantledd), krysser de ALDRI hverandre, og systemet har ingen løsning.

Eksempel: Finne skjæringspunktet grafisk

Løs ligningssystemet y=x+1y = x + 1 og y=−x+5y = -x + 5 grafisk.

Sjekke skjæringspunktet (2, 3)
LigningSett inn x=2Gir y
y = x + 12 + 13
y = -x + 5-2 + 53
Løsning:
  1. Vi tegner begge linjene i samme koordinatsystem: y=x+1y = x + 1 og y=−x+5y = -x + 5
  2. linjene krysser hverandre der begge yy-verdiene er like, altså der x+1=−x+5x + 1 = -x + 5
  3. 2x=42x = 4
  4. x=2x = 2, som gir y=2+1=3y = 2 + 1 = 3
  5. svaret er skjæringspunktet er (2, 3).
Alternativ forklaring/metode: Finn skjæringspunktet med tabeller i stedet for tegning

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Lage en verditabell for hver linje

I stedet for å tegne linjene nøyaktig, lag en verditabell for hver ligning (samme xx-verdier for begge) og se etter raden der yy-verdiene er like – den xx-verdien og felles yy-verdien er skjæringspunktet, uten å måtte tegne presist.

Verditabell for y = x + 1 og y = -x + 5
xy (linje 1)y (linje 2)
015
124
233, like! Skjæringspunkt

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21To linjer er y=2xy = 2x og y=x+3y = x + 3. Ved hvilken x-verdi krysser de hverandre?

Vis fasit
StegResultat
2x = x + 3x = 3
  1. 2x = x + 3
  2. 2x - x = 3
  3. x = 3

L-22To linjer krysser hverandre i punktet (2, 5). Hva er løsningen på ligningssystemet?

Vis fasit
StegResultat
Skjæringspunkt(2, 5)
  1. Skjæringspunktet (2, 5) ER løsningen på ligningssystemet
  2. (2, 5)

L-23To linjer har samme stigningstall, men ulikt konstantledd. Hvor mange løsninger har ligningssystemet?

Vis fasit
StegResultat
Stigningstalllike (parallelle)
KonklusjonIngen løsning
  1. Samme stigningstall betyr parallelle linjer, som aldri krysser hverandre
  2. ingen løsning
Middels(3)

M-21Løs ligningssystemet y=3x−2y = 3x - 2 og y=x+2y = x + 2 ved å finne skjæringspunktet.

Vis fasit
StegResultat
3x - 2 = x + 22x = 4
x2
y = 2 + 24
  1. 3x - 2 = x + 2
  2. 2x = 4
  3. x = 2, som gir y = 2 + 2 = 4, altså (2, 4)

M-22Løs ligningssystemet y=−2x+8y = -2x + 8 og y=2xy = 2x ved å finne skjæringspunktet.

Vis fasit
StegResultat
-2x + 8 = 2x8 = 4x
x2
y = 2*24
  1. -2x + 8 = 2x
  2. 8 = 4x
  3. x = 2, som gir y = 2*2 = 4, altså (2, 4)

M-23To abonnement har prisene y=20+5xy = 20 + 5x og y=10xy = 10x, der x er antall GB. Ved hvilket forbruk koster de to like mye?

Vis fasit
StegResultat
20 + 5x = 10x20 = 5x
x4 GB
  1. 20 + 5x = 10x
  2. 20 = 5x
  3. x = 4 GB
Vanskelig(3)

V-21Løs ligningssystemet y=4x−3y = 4x - 3 og y=−2x+9y = -2x + 9 ved å finne skjæringspunktet.

Vis fasit
StegResultat
4x - 3 = -2x + 96x = 12
x2
y = 4*2 - 35
  1. 4x - 3 = -2x + 9
  2. 6x = 12
  3. x = 2, som gir y = 4*2 - 3 = 5, altså (2, 5)

V-22To linjer er y=0,5x+3y = 0,5x + 3 og y=−x+9y = -x + 9. Finn skjæringspunktet.

Vis fasit
StegResultat
0,5x + 3 = -x + 91,5x = 6
x4
y = 0,5*4 + 35
  1. 0,5x + 3 = -x + 9
  2. 1,5x = 6
  3. x = 4, som gir y = 0,5*4 + 3 = 5, altså (4, 5)

V-23Forklar hvorfor det grafiske svaret på et ligningssystem kan være unøyaktig, mens en algebraisk metode (som innsetting) gir et eksakt svar.

Vis fasit
MetodeEgenskap
Grafiskbegrenset av avlesenøyaktighet
Algebraiskgir eksakt svar
  1. Avlesing fra en tegnet graf er begrenset av tegnenøyaktighet og skalaens oppløsning, mens algebraisk regning gir eksakte tallverdier
  2. grafisk løsning kan være upresis, algebraisk løsning er eksakt