NumiSum

Fundament: Pytagoras' setning og formlikhet

Dette temaet bygger direkte videre på to ting du allerede har lært på ungdomsskolen. Pytagoras' setning (a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2) forteller hvordan de tre sidene i en RETTVINKLET trekant henger sammen: nøyaktig det du trenger for å regne ut en diagonal avstiving eller lengden på en skråstilt kabelstige. Se Pytagoras' setning (9. trinn) for hele metoden. Formlikhet forteller at forholdet mellom TILSVARENDE sider i to formlike figurer alltid er det samme tallet (skalafaktoren), uansett størrelse: grunnlaget for å lese en arbeidstegning i målestokk. Se Formlikhet (9. trinn) for hele metoden.

Pytagoras' setning

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

Skalafaktor mellom formlike figurer

k=a′a=b′bk = \frac{a'}{a} = \frac{b'}{b}

Tips

  • Bruk Pytagoras kun i RETTVINKLEDE trekanter: sjekk at vinkelen faktisk er 90° før du regner.

Eksempel: Repetisjon: finne en diagonal avstiving

En vegg er 33 m høy og 44 m bred. Hvor lang må en diagonal avstiving være?

Løsning:
  1. Veggen og avstivingen danner en rettvinklet trekant med kateter 33 m og 44 m
  2. Pytagoras: 32+42=9+16=253^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25
  3. c=25c = \sqrt{25}. Avstivingen må være 55 m lang.
Pytagoras på veggen
StegVerdi
3² + 4²25
√255 m

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11En rettvinklet trekant har kateter 66 m og 88 m. Hva er hypotenusen? Svar i m.

Vis fasit
  1. 6² + 8² = 36 + 64 = 100
  2. √100 = 10 m

L-12To formlike figurer har skalafaktor 22. Den minste har en side på 55 cm. Hva er tilsvarende side i den store figuren? Svar i cm.

Vis fasit

5⋅2=5 \cdot 2 = 10 cm

L-13En rampe har grunnlinje 1212 m og høyde 55 m. Hvor lang er selve rampeflaten? Svar i m.

Vis fasit
  1. 12² + 5² = 144 + 25 = 169
  2. √169 = 13 m
Middels(3)

M-11En rettvinklet trekant har kateter 99 m og 1212 m. Hva er hypotenusen? Svar i m.

Vis fasit
  1. Pytagoras: 9² + 12² = 81 + 144 = 225
  2. c = 225\sqrt{225} = 15 m

M-12En rettvinklet trekant har hypotenus 1717 m og en katet på 88 m. Hva er den andre kateten? Svar i m.

Vis fasit
  1. Pytagoras: b² = 17² - 8² = 289 - 64 = 225
  2. b = 225\sqrt{225} = 15 m

M-13To formlike figurer har skalafaktor 1,51{,}5. Den minste har en side på 88 cm. Hva er tilsvarende side i den store figuren? Svar i cm.

Vis fasit

8 * 1,5 = 12 cm

Vanskelig(3)

V-11En stige på 55 m står 33 m fra en loddrett vegg. Hvor høyt oppe på veggen når stigen? Svar i m.

Vis fasit
  1. Pytagoras: h² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16
  2. h = 16\sqrt{16} = 4 m

V-12En kasse er 3030 cm lang og 4040 cm bred. Hvor lang er diagonalen i bunnen? Svar i cm.

Vis fasit
  1. Pytagoras: 30² + 40² = 900 + 1 600 = 2 500
  2. d = 2500\sqrt{2500} = 50 cm

V-13Er en trekant med sidene 88, 1515 og 1717 rettvinklet?

Vis fasit
  1. 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17²
  2. Pytagoras stemmer
  3. ja