NumiSum

Sinus, cosinus og tangens

I en rettvinklet trekant er sidene navngitt ut fra en valgt vinkel vv (ikke den rette): HYPOTENUSEN er alltid den lengste siden, MOTSTÅENDE katet ligger rett overfor vv, og HOSLIGGENDE katet ligger inntil vv. De tre forholdstallene sinus, cosinus og tangens er definert ut fra disse tre sidene, og brukes til å finne en ukjent side eller vinkel når du kjenner nok av de andre.

Sinus

sin⁡(v)=motsta˚endehypotenusen\sin(v) = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenusen}}

Cosinus

cos⁡(v)=hosliggendehypotenusen\cos(v) = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenusen}}

Tangens

tan⁡(v)=motsta˚endehosliggende\tan(v) = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}

De tre definisjonene
ForholdstallDefinisjon
sinussin⁡(v)=motsta˚endehypotenusen\sin(v) = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenusen}}
cosinuscos⁡(v)=hosliggendehypotenusen\cos(v) = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenusen}}
tangenstan⁡(v)=motsta˚endehosliggende\tan(v) = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}

Tips

  • Finn den rette vinkelen først, og merk hvilken av de to andre vinklene som er vv. Det avgjør hvilken katet som er «motstående» og hvilken som er «hosliggende».
  • Husk at sinus og cosinus alltid gir et tall mellom 00 og 11 for vinkler mellom 0°0° og 90°90°, siden hypotenusen alltid er den lengste siden.

Eksempel: Finne sinus til en vinkel

En rettvinklet trekant har motstående katet 33 m og hypotenus 55 m til vinkelen vv. Hva er sin⁡(v)\sin(v)?

Løsning:
  1. Vi har motstående katet 33 m og hypotenus 55 m
  2. sinus er definert som motstående delt på hypotenusen: sin⁡(v)=35\sin(v) = \frac{3}{5}. Det gir sin⁡(v)=0,6\sin(v) = 0{,}6.
Sidene i trekanten
SideLengde
Motstående katet3 m
Hypotenus5 m
sin(v)0,6

Se hvordan dette brukes i ditt fag

Elektro og datateknologi: Vinkelen på en kabelstige

En kabelstige monteres slik at den vertikale høyden er 1,51{,}5 m og stigens lengde (hypotenusen) er 33 m. Hva er sin⁡(v)\sin(v) for vinkelen mellom stigen og gulvet?

Løsning:
  1. Motstående katet 1,5 m og hypotenus 3 m
  2. sin⁡(v)=1,53\sin(v) = \frac{1{,}5}{3}. Det gir sin⁡(v)=0,5\sin(v) = 0{,}5, altså en vinkel på 30°30°
Bygg- og anleggsteknikk: Cosinus til en takvinkel

Et tak har horisontal lengde (hosliggende katet) 44 m og takflate (hypotenus) 55 m. Hva er cos⁡(v)\cos(v) for takvinkelen?

Løsning:
  1. Hosliggende katet 4 m og hypotenus 5 m
  2. cos⁡(v)=45\cos(v) = \frac{4}{5}. Det gir cos⁡(v)=0,8\cos(v) = 0{,}8
Restaurant- og matfag: Skjære en kake i like trekanter

En rund kake skal skjæres slik at et kakestykke danner en rettvinklet trekant med motstående katet 66 cm og hosliggende katet 88 cm. Hva er tan⁡(v)\tan(v) for vinkelen på spissen av stykket?

Løsning:
  1. Motstående katet 6 cm og hosliggende katet 8 cm
  2. tan⁡(v)=68\tan(v) = \frac{6}{8}. Det gir tan⁡(v)=0,75\tan(v) = 0{,}75, altså en vinkel på ca. 36,9°36{,}9°
Alternativ forklaring/metode: Regn ut vinkelen med invers sinus

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Bruke en kalkulator til å finne selve vinkelen

Kjenner du sin⁡(v)=0,6\sin(v) = 0{,}6 og vil vite selve vinkelen, bruk den inverse funksjonen (sin⁡−1\sin^{-1} eller «arcsin» på kalkulatoren): v=sin⁡−1(0,6)≈36,9°v = \sin^{-1}(0,6) \approx 36{,}9°. De fleste kalkulatorer har egne taster for dette (ofte shift + sin): nyttig når oppgaven spør etter selve vinkelen, ikke bare forholdstallet.

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41Hva kalles siden motsatt den rette vinkelen i en rettvinklet trekant?

Vis fasit
  1. Den lengste siden, motsatt 90°
  2. hypotenusen

L-42En rettvinklet trekant har motstående katet 33 og hypotenus 55. Hva er sin⁡(v)\sin(v)?

Vis fasit

35=\frac{3}{5} = 0,6

L-43Hva står forkortelsen «tan» for?

Vis fasit
  1. De tre forholdstallene er sinus, cosinus og tangens
  2. «tan» er tangens
Middels(3)

M-41Hosliggende katet er 44, hypotenus er 55. Hva er cos⁡(v)\cos(v)?

Vis fasit

45=\frac{4}{5} = 0,8

M-42Motstående katet er 66, hosliggende katet er 88. Hva er tan⁡(v)\tan(v)?

Vis fasit

68=\frac{6}{8} = 0,75

M-43sin⁡(v)=0,5\sin(v) = 0{,}5. Hva er vinkelen vv? Svar i grader.

Vis fasit
  1. Invers sinus av 0,5
  2. 30°
Vanskelig(3)

V-41En kabelstige har vertikal høyde 22 m og lengde (hypotenus) 44 m. Hva er sin⁡(v)\sin(v) for vinkelen mellom stigen og gulvet?

Vis fasit

24=\frac{2}{4} = 0,5

V-42cos⁡(v)=0,8\cos(v) = 0{,}8. Er vinkelen vv mindre eller større enn 45°45°?

Vis fasit
  1. cos(45°) er ca. 0,71, og 0,8 er større enn det
  2. cosinus avtar når vinkelen øker
  3. v er mindre enn 45°

V-43Hvorfor er sin⁡(v)\sin(v) alltid mellom 00 og 11 for en vinkel mellom 0°0° og 90°90°?

Vis fasit
  1. For en vinkel mellom 0° og 90° er motstående alltid kortere enn hypotenusen
  2. sin(v) er motstående delt på hypotenusen
  3. forholdet er alltid mellom 0 og 1