Sinus, cosinus og tangens

I en rettvinklet trekant er sidene navngitt ut fra en valgt vinkel $v$ (ikke den rette): HYPOTENUSEN er alltid den lengste siden, MOTSTÅENDE katet ligger rett overfor $v$ , og HOSLIGGENDE katet ligger inntil $v$ . De tre forholdstallene sinus, cosinus og tangens er definert ut fra disse tre sidene, og brukes til å finne en ukjent side eller vinkel når du kjenner nok av de andre.

Sinus

$\sin(v) = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenusen}}$

Cosinus

$\cos(v) = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenusen}}$

Tangens

$\tan(v) = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}$

De tre definisjonene
Forholdstall	Definisjon
sinus	$\sin(v) = \frac{\text{motstående}}{\text{hypotenusen}}$
cosinus	$\cos(v) = \frac{\text{hosliggende}}{\text{hypotenusen}}$
tangens	$\tan(v) = \frac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}$

Tips

Finn den rette vinkelen først, og merk hvilken av de to andre vinklene som er $v$ – det avgjør hvilken katet som er «motstående» og hvilken som er «hosliggende».
Husk at sinus og cosinus alltid gir et tall mellom $0$ og $1$ for vinkler mellom $0°$ og $90°$ , siden hypotenusen alltid er den lengste siden.

Eksempel: Finne sinus til en vinkel

En rettvinklet trekant har motstående katet $3$ m og hypotenus $5$ m til vinkelen $v$ . Hva er $\sin(v)$ ?

Sidene i trekanten
Side	Lengde
Motstående katet	3 m
Hypotenus	5 m
sin(v)	0,6

Løsning:

Vi har motstående katet $3$ m og hypotenus $5$ m
sinus er definert som motstående delt på hypotenusen: $\sin(v) = \frac{3}{5}$ . Det gir $\sin(v) = 0,6$ .

Se hvordan dette brukes i ditt fag

Elektro og datateknologi: Vinkelen på en kabelstige

En kabelstige monteres slik at den vertikale høyden er $1,5$ m og stigens lengde (hypotenusen) er $3$ m. Hva er $\sin(v)$ for vinkelen mellom stigen og gulvet?

Løsning:

Motstående katet 1,5 m og hypotenus 3 m
$\sin(v) = \frac{1,5}{3}$ . Det gir $\sin(v) = 0,5$ , altså en vinkel på $30°$

Bygg- og anleggsteknikk: Cosinus til en takvinkel

Et tak har horisontal lengde (hosliggende katet) $4$ m og takflate (hypotenus) $5$ m. Hva er $\cos(v)$ for takvinkelen?

Løsning:

Hosliggende katet 4 m og hypotenus 5 m
$\cos(v) = \frac{4}{5}$ . Det gir $\cos(v) = 0,8$

Alternativ forklaring/metode: Regn ut vinkelen med invers sinus

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Bruke en kalkulator til å finne selve vinkelen

Kjenner du $\sin(v) = 0,6$ og vil vite selve vinkelen, bruk den inverse funksjonen ( $\sin^{-1}$ eller «arcsin» på kalkulatoren): $v = \sin^{-1}(0,6) \approx 36,9°$ . De fleste kalkulatorer har egne taster for dette (ofte shift + sin) – nyttig når oppgaven spør etter selve vinkelen, ikke bare forholdstallet.

Fra forholdstall til vinkel
Steg	Resultat
sin(v) = 0,6
v = sin⁻¹(0,6)	≈36,9°

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva kalles siden motsatt den rette vinkelen i en rettvinklet trekant?

Vis fasit

Steg
Den lengste siden, motsatt 90°
hypotenusen

Den lengste siden, motsatt 90°
hypotenusen

L-32En rettvinklet trekant har motstående katet

3

og hypotenus

5

. Hva er

\sin(v)

Vis fasit

Steg	Resultat
3 delt på 5	0,6

3 delt på 5 = 0,6

L-33Hva står forkortelsen «tan» for?

Vis fasit

Steg
De tre forholdstallene er sinus, cosinus og tangens
«tan» er tangens

De tre forholdstallene er sinus, cosinus og tangens
«tan» er tangens

Middels(3)

M-31Hosliggende katet er

4

, hypotenus er

5

. Hva er

\cos(v)

Vis fasit

Steg	Resultat
4 delt på 5	0,8

4 delt på 5 = 0,8

M-32Motstående katet er

6

, hosliggende katet er

8

. Hva er

\tan(v)

Vis fasit

Steg	Resultat
6 delt på 8	0,75

6 delt på 8 = 0,75

M-33

\sin(v) = 0,5

. Hva er vinkelen

v

Vis fasit

Steg
Invers sinus av 0,5
30°

Invers sinus av 0,5
30°

Vanskelig(3)

V-31En kabelstige har vertikal høyde

2

m og lengde (hypotenus)

4

m. Hva er

\sin(v)

for vinkelen mellom stigen og gulvet?

Vis fasit

Steg	Resultat
2 delt på 4	0,5

2 delt på 4 = 0,5

V-32

\cos(v) = 0,8

. Er vinkelen

v

mindre eller større enn

45°

Vis fasit

Steg
cos(45°) er ca. 0,71, og 0,8 er større enn det
cosinus avtar når vinkelen øker
v er mindre enn 45°

cos(45°) er ca. 0,71, og 0,8 er større enn det
cosinus avtar når vinkelen øker
v er mindre enn 45°

V-33Hvorfor er

\sin(v)

alltid mellom

0

1

for en vinkel mellom

0°

90°

Vis fasit

Steg
For en vinkel mellom 0° og 90° er motstående alltid kortere enn hypotenusen
sin(v) er motstående delt på hypotenusen
forholdet er alltid mellom 0 og 1

For en vinkel mellom 0° og 90° er motstående alltid kortere enn hypotenusen
sin(v) er motstående delt på hypotenusen
forholdet er alltid mellom 0 og 1