NumiSum

Beregne lengder, vinkler og arealer med geometri

Pytagoras' setning (a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2, se fundamentet) dukker opp overalt i praktisk arbeid: en diagonal avstiving, en skråtak-flate, en stige mot en vegg, fordi to kjente lengder ofte danner katetene i en usynlig rettvinklet trekant. Her kombinerer du den med kjente arealformler (rektangel, trekant) for å løse sammensatte oppgaver.

Pytagoras' setning

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

Løst for hypotenusen

c=a2+b2c = \sqrt{a^2 + b^2}

Trekantareal

A=g⋅h2A = \frac{g \cdot h}{2}

Tips

  • Se etter en SKJULT rettvinklet trekant i praktiske situasjoner: en diagonal, en skråstilt flate eller en stige mot en vegg danner ofte katetene og hypotenusen i én.
  • Hypotenusen er ALLTID den lengste siden, motsatt den rette vinkelen. Blander du den med en katet, blir svaret feil.
  • Sjekk svaret mot 3-4-5-trekanten. Trekanten 33-44-55 (og forstørrelser av den, som 66-88-1010 eller 99-1212-1515) er en rettvinklet trekant med hele tall på alle tre sider: nyttig å kjenne igjen for en rask kontroll. Rampeeksempelet har forholdet 4,5:1,2≈3,754{,}5 : 1{,}2 \approx 3{,}75, ikke helt likt 33-44-55-forholdet, så svaret blir ikke et rundt tall. Det stemmer med at 4,664{,}66 ikke er en hel firkant-rot.

Eksempel: Finne lengden på en rampeflate

En rampe skal bygges med horisontal lengde 4,54{,}5 m og høyde 1,21{,}2 m. Hvor lang blir selve rampeflaten (hypotenusen), avrundet til to desimaler?

Løsning:
  1. Vi har to kateter i en rettvinklet trekant: 4,54{,}5 m og 1,21{,}2 m
  2. Pytagoras' setning gir c2=4,52+1,22c^2 = 4{,}5^2 + 1{,}2^2
  3. regn kvadratene: 4,52=20,254{,}5^2 = 20{,}25 og 1,22=1,441{,}2^2 = 1{,}44
  4. legg sammen: 20,25+1,44=21,6920{,}25 + 1{,}44 = 21{,}69
  5. ta kvadratroten: c=21,69c = \sqrt{21{,}69}. Rampeflaten blir ca. 4,664{,}66 m.
Fra kateter til hypotenus
StegRegningResultat
Kateter i andre4,524{,}5^2 og 1,221{,}2^220,25 og 1,44
Sum20,25 + 1,4421,69
Kvadratrot21,69\sqrt{21{,}69}ca. 4,66 m

Se hvordan dette brukes i ditt fag

Bygg- og anleggsteknikk: Lengden på en takflate

Et tak har horisontal lengde 66 m og stigning (høyde) 22 m. Hvor lang blir selve takflaten, avrundet til to desimaler?

Løsning:
  1. c=62+22=36+4=40c = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}
  2. takflaten er ca. 6,326{,}32 m
Håndverk, design og produktutvikling: Lengden på en diagonal avstiving

Et bord er 1,21{,}2 m bredt og 0,80{,}8 m dypt. Hvor lang må en diagonal avstiving under bordet være, avrundet til to desimaler?

Løsning:
  1. c=1,22+0,82=1,44+0,64=2,08c = \sqrt{1{,}2^2 + 0{,}8^2} = \sqrt{1{,}44 + 0{,}64} = \sqrt{2{,}08}
  2. avstivingen må være ca. 1,441{,}44 m
Naturbruk: Lengden på en diagonal gjerdestrekk

Et gjerde skal strekkes diagonalt over et jorde på 3030 m ganger 4040 m. Hvor lang blir diagonalen?

Løsning:
  1. c=302+402=900+1 600=2 500c = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1\ 600} = \sqrt{2\ 500}
  2. diagonalen er 5050 m
Teknologi- og industrifag: Lengden på en diagonal kappelinje

En metallplate på 0,90{,}9 m ganger 1,21{,}2 m skal kappes diagonalt. Hvor lang blir kappelinjen?

Løsning:
  1. c=0,92+1,22=0,81+1,44=2,25c = \sqrt{0{,}9^2 + 1{,}2^2} = \sqrt{0{,}81 + 1{,}44} = \sqrt{2{,}25}
  2. kappelinjen er 1,51{,}5 m

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva sier Pytagoras' setning?

Vis fasit
  1. For en rettvinklet trekant med kateter a, b og hypotenus c
  2. a² + b² = c²

L-22En rettvinklet trekant har kateter 33 og 44. Hva er hypotenusen?

Vis fasit
  1. 3 i andre pluss 4 i andre = 9 + 16 = 25
  2. 25=\sqrt{25} = 5

L-23Et rektangel er 55 m langt og 33 m bredt. Hva er arealet? Svar i m².

Vis fasit

5⋅3=5 \cdot 3 = 15 m²

Middels(3)

M-21En stige når 44 m opp langs en vegg, og foten står 33 m fra veggen. Hvor lang er stigen? Svar i m.

Vis fasit
  1. 4 i andre pluss 3 i andre = 16 + 9 = 25
  2. 25=\sqrt{25} = 5 m

M-22En rettvinklet trekant har kateter 66 og 88. Hva er hypotenusen?

Vis fasit
  1. 6 i andre pluss 8 i andre = 36 + 64 = 100
  2. 100=\sqrt{100} = 10

M-23Et trekantet felt har grunnlinje 88 m og høyde 55 m. Hva er arealet? Svar i m².

Vis fasit

8⋅52=\frac{8 \cdot 5}{2} = 20 m²

Vanskelig(3)

V-21En diagonal i et rektangel på 99 m ganger 1212 m. Hvor lang er diagonalen? Svar i m.

Vis fasit
  1. 9 i andre pluss 12 i andre = 81 + 144 = 225
  2. 225=\sqrt{225} = 15 m

V-22Hvorfor gjelder Pytagoras' setning kun for rettvinklede trekanter?

Vis fasit
  1. Beviset for setningen bruker den rette vinkelen direkte
  2. uten 90° stemmer ikke sammenhengen

V-23En rettvinklet trekant har hypotenus 1313 og én katet 55. Hva er den andre kateten?

Vis fasit
  1. 13 i andre minus 5 i andre = 169 - 25 = 144
  2. 144=\sqrt{144} = 12