Eksamensoppgaver – Geometri og trigonometri i yrkeslivet (1P-Y)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2025, Del 2 – Oppgave 1

Med hjelpemidler – 6 poeng

Tegningen nedenfor viser et utsnitt av en takstol på et garasjeloft. Trekanten ABC representerer halve takstolen. Bruk den som grunnlag for videre beregninger.

Vinkel B er 90 grader. Siden BC (den loddrette siden ved B og C) er 1 550 mm. Vinkelen mellom den skrå siden AC og en vannrett hjelpelinje ved C er 32°.

a) Forklar hvorfor vinkel A er 32 grader. Hvor stor er vinkel C?

b) Finn lengden på de ukjente sidene AB og AC.

Du studerer en arbeidstegning av takstolen og måler at BC er 77,5 mm.

c) Hva er målestokken på arbeidstegningen? Hvis du skal lage en arbeidstegning i målestokk 1 : 50, hvor lang må du tegne BC?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal forklare en vinkelsammenheng og finne vinkel C (a), regne ut de to ukjente sidene i den rettvinklede trekanten (b), og finne målestokken til en arbeidstegning samt en ny tegnelengde ved en annen målestokk (c).

Strategi og formel: For a): vinkel A og den markerte 32°-vinkelen er samsvarende vinkler mellom parallelle linjer (AC er parallell med taklinjen der 32° er avmerket), så de er like store. Vinkelsummen i trekanten gir vinkel C. For b): bruk tangens og sinus/cosinus med vinkel A og den kjente siden BC. For c): målestokk er forholdet mellom tegnet lengde og virkelig lengde.

Trinnvis utregning:

a) Vinkel A $= 32°$ (samsvarende vinkler)
Vinkel C $= 180°-90°-32° = 58°$
b) $\tan(32°) = \dfrac{BC}{AB} \Rightarrow AB = \dfrac{1 550}{\tan(32°)} \approx 2 481$ mm $\approx 2{,}48$ m
$\sin(32°) = \dfrac{BC}{AC} \Rightarrow AC = \dfrac{1 550}{\sin(32°)} \approx 2 925$ mm $\approx 2{,}92$ m
c) Målestokk: $77{,}5 : 1 550 = 1 : 20$
Ny tegnelengde ved 1:50: $\dfrac{1 550}{50} = 31$ mm

Svar: a) Vinkel A er 32° fordi den er samsvarende med den avmerkede vinkelen (parallelle linjer). Vinkel C er 58°. b) $AB \approx$ 2,48 m og $AC \approx$ 2,92 m. c) Målestokken er 1:20, og BC må tegnes 31 mm lang i en tegning med målestokk 1:50.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
5–6/6	Riktig forklaring og vinkel C i a), riktig bruk av tangens/sinus for begge sidene i b), og riktig målestokk OG ny tegnelengde i c).
3–4/6	a) og b) riktige, men c) bommer på retningen i målestokk-forholdet (f.eks. oppgir 20:1 i stedet for 1:20), eller regner ny lengde med feil målestokk-tall.
0–2/6	Feil trigonometrisk forhold brukt i b) (f.eks. bytter om sinus og tangens), som gir gale sidelengder.

Sensor-tips

I b) er det avgjørende å se hvilken katet som er MOTSTÅENDE og hvilken som er HOSLIGGENDE til vinkel A – BC er motstående (gir tangens for AB, siden AB er hosliggende), mens AC er hypotenusen (gir sinus).
I c) er målestokk-forholdet «tegnet : virkelig», altså $77{,}5:1 550$ , som forkortes til $1:20$ – en vanlig feil er å snu forholdet eller å blande sammen millimeter og hele tall uten å forkorte riktig.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1P-Y matematikk, Vår 2025, Del 2, Oppgave 1

Utdanningsdirektoratet

Høst 2025, Del 1 – Oppgave 5

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Nedenfor ser du en skisse av en rektangelformet terrasse som Amanda skal bygge for en kunde. Terrassen er 4 000 mm lang og 3 000 mm bred.

Amanda stiller seg noen spørsmål før hun setter i gang med arbeidet:

Kunden ønsker å plassere to spisebord på terrassen. Hvert bord har lengde 2 m og bredde 1 m. Hvor mange kvadratmeter gulvplass blir det igjen på terrassen?

Jeg vil bruke Pytagoras' setning til å regne ut lengden til diagonalen. Hva blir lengden?

Svar på spørsmålene Amanda stiller. Husk å begrunne svarene.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne hvor mye gulvplass som er ledig på terrassen etter at to bord er plassert, og lengden på terrassens diagonal.

Strategi og formel: Gjør om terrassens mål fra millimeter til meter, regn ut totalt gulvareal og trekk fra arealet til de to bordene. Bruk Pytagoras' setning på terrassens lengde og bredde for å finne diagonalen.

Trinnvis utregning:

Terrasse: $4 000\ \text{mm} = 4$ m, $3 000\ \text{mm} = 3$ m
Totalt areal: $4 \cdot 3 = 12$ m²
Areal to bord: $2 \cdot (2 \cdot 1) = 4$ m²
Ledig gulvplass: $12-4=8$ m²
Diagonal: $\sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$ m

Svar: Det blir 8 m² gulvplass igjen på terrassen, og diagonalen er 5 m lang.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Riktig gjenværende areal (8 m²) OG riktig diagonal (5 m), med riktig omregning fra millimeter til meter.
1/2	Riktig svar på ett av spørsmålene, eller en enhetsomregningsfeil (glemmer å gjøre om mm til m) som gjør begge svarene urimelig store.
0/2	Feil arealberegning for bordene (f.eks. bruker omkrets i stedet for areal), eller Pytagoras' setning brukt feil (f.eks. adderer sidene i stedet for kvadratene).

Sensor-tips

Legg merke til at $3$ - $4$ - $5$ er en velkjent pytagoreisk tripling – en elev som kjenner igjen mønsteret kan bekrefte svaret raskt, men full uttelling krever fortsatt at selve utregningen $\sqrt{4^2+3^2}$ vises.
Sjekk at eleven har OMREGNET fra millimeter (oppgitt i skissen) til meter FØR arealene regnes ut – å blande millimeter og meter i samme uttrykk gir et urimelig svar som er lett å oppdage ved en rimelighetssjekk.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1P-Y matematikk, Høst 2025, Del 1, Oppgave 5