NumiSum

Fundament: Multiplisere ut parenteser og kvadratsetningene

Faktorisering er å gå VEIEN TILBAKE fra noe du allerede kan fra ungdomsskolen: å gange ut parenteser og kjenne igjen kvadratsetningene. Se Multiplisere parentes med parentes (10. trinn) for hele gjennomgangen av begge deler. Kan du gange (x+2)(x+5)(x+2)(x+5) ut til x2+7x+10x^2 + 7x + 10, kan du også lære å gå motsatt vei. Det er nettopp det faktorisering er.

Den distributive lov

a(b+c)=ab+aca(b + c) = ab + ac

Multiplisere to parenteser

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Første kvadratsetning

(a+b)2=a2+2ab+b2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

Andre kvadratsetning

(a−b)2=a2−2ab+b2(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2

Konjugatsetningen

(a+b)(a−b)=a2−b2(a + b)(a - b) = a^2 - b^2

Tips

  • Boks-metoden (arealmodellen) er hovedmetoden: tegn en boks med ett ledd fra hver parentes langs kantene, gang radens og kolonnens ledd i hver delflate, og legg sammen alle fire flatene. Da glemmer du aldri et ledd.
  • Sjekk alltid en faktorisering ved å gange den ut igjen: stemmer det med det du startet med, er faktoriseringen riktig.

Eksempel: Repetisjon: gange ut en parentes

Multipliser ut (x+2)(x+5)(x + 2)(x + 5).

x²5x2x10x5x2
Boks-metoden: hver delflate er ett ledd i svaret (x² + 5x + 2x + 10)
Løsning:
  1. Gang hvert ledd i første parentes med hvert ledd i andre: x⋅x=x2x \cdot x = x^2, x⋅5=5xx \cdot 5 = 5x, 2⋅x=2x2 \cdot x = 2x, 2⋅5=102 \cdot 5 = 10
  2. sett sammen: x2+5x+2x+10x^2 + 5x + 2x + 10
  3. samle like ledd. Svaret er x2+7x+10x^2 + 7x + 10.

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Multipliser ut (x+1)(x+3)(x + 1)(x + 3).

Vis fasit
  1. x*x + x*3 + 1*x + 1*3
  2. x² + 3x + x + 3
  3. x² + 4x + 3

L-12Multipliser ut (x+4)2(x + 4)^2 med første kvadratsetning.

Vis fasit
  1. a=x, b=4: a² + 2ab + b²
  2. x² + 8x + 16
  3. x² + 8x + 16

L-13Multipliser ut (x+3)(x−3)(x + 3)(x - 3) med konjugatsetningen.

Vis fasit
  1. a=x, b=3: a² - b²
  2. x² - 9
  3. x² - 9
Middels(3)

M-11Multipliser ut (2x+3)(x−4)(2x + 3)(x - 4).

Vis fasit
  1. 2x*x + 2x*(-4) + 3*x + 3*(-4)
  2. 2x² - 8x + 3x - 12
  3. 2x² - 5x - 12

M-12Multipliser ut (x−5)2(x - 5)^2 med andre kvadratsetning.

Vis fasit
  1. a=x, b=5: a² - 2ab + b²
  2. x² - 10x + 25
  3. x² - 10x + 25

M-13Multipliser ut (2x+1)(2x−1)(2x + 1)(2x - 1) med konjugatsetningen.

Vis fasit
  1. a=2x, b=1: a² - b²
  2. 4x² - 1
  3. 4x² - 1
Vanskelig(3)

V-11Multipliser ut (3x−2)2(3x - 2)^2.

Vis fasit
  1. a=3x, b=2: a² - 2ab + b²
  2. 9x² - 12x + 4
  3. 9x² - 12x + 4

V-12Multipliser ut og forenkle (x+2)(x−2)+(x+1)2(x + 2)(x - 2) + (x + 1)^2.

Vis fasit
  1. (x² - 4) + (x² + 2x + 1)
  2. 2x² + 2x - 3
  3. 2x² + 2x - 3

V-13Multipliser ut og forenkle (x+3)2−(x−3)2(x + 3)^2 - (x - 3)^2.

Vis fasit
  1. (x² + 6x + 9) - (x² - 6x + 9)
  2. x² + 6x + 9 - x² + 6x - 9
  3. 12x