NumiSum

Identitet, likning, uttrykk og funksjon

Fire ord som ser like ut, men betyr helt forskjellige ting.

Et UTTRYKK er en regnestreng uten likhetstegn, som 2x+32x + 3. Det har en verdi når du vet xx.

En LIKNING har likhetstegn og er sann for noen bestemte xx, som 2x+3=92x + 3 = 9 (sann bare for x=3x = 3).

En IDENTITET har også likhetstegn, men er sann for ALLE xx, som (x+1)2=x2+2x+1(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1.

En FUNKSJON er en regel som gir nøyaktig én verdi ut for hver verdi inn, skrevet f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3.

Tips

  • Vis at noe er en identitet ved å gange ut eller forenkle den ene siden til den blir lik den andre. Da er likheten bevist for alle xx på én gang. Å sette inn tall er en god kontroll, men det gjør det bare sannsynlig: holder likheten for x=0x = 0, x=1x = 1 og x=5x = 5, kan det likevel være en likning som tilfeldigvis stemmer for akkurat de tallene.
  • I et CAS-verktøy (f.eks. GeoGebra) viser en identitet seg ved at alle xx passer. Skriver du Løs((x+2)(x-2)=x^2-4), svarer verktøyet at likningen gjelder for alle xx (f.eks. x = x), mens en likning som x+4=10x+4=10 gir ett konkret tall.
  • Kvadratsetningene er identiteter, ikke likninger. Derfor kan du bruke dem til å bytte ut et uttrykk med et annet hvor som helst i en utregning.
  • En ULIKHET (f.eks. 2x+3>92x + 3 > 9) er verken en likning eller en identitet. Den er sann for et helt OMRÅDE av xx-verdier, ikke ett bestemt tall og ikke alle tall. Se «ulikheter» for hvordan du løser og tolker dem.

Eksempel: Skille likning fra identitet

Er 2(x+3)=2x+62(x + 3) = 2x + 6 en likning eller en identitet?

Løsning:
  1. Vi ganger ut venstre side: 2(x+3)=2⋅x+2⋅3=2x+62(x + 3) = 2 \cdot x + 2 \cdot 3 = 2x + 6
  2. dette er nøyaktig høyre side
  3. de to sidene er det samme uttrykket skrevet på to måter, så likheten holder for alle verdier av xx samtidig. Som kontroll setter vi inn x=5x = 5: venstre side gir 2⋅8=162 \cdot 8 = 16, høyre side gir 10+6=1610 + 6 = 16. Svaret er en identitet.
Gang ut venstre side og sammenlign
StegUttrykk
Venstre side, utgangspunkt2(x+3)2(x+3)
Venstre side, ganget ut2x+62x+6
Høyre side2x+62x+6
Kontroll med x=5x = 516=1616 = 16

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41Er 3x+13x + 1 et uttrykk eller en likning?

Vis fasit
  1. 3x + 1 har ingen likhetstegn
  2. et uttrykk

L-42Er x+4=10x + 4 = 10 en likning eller en identitet?

Vis fasit
  1. x + 4 = 10 er sann bare for x = 6, ikke for alle x
  2. en likning

L-43Skriv funksjonen som gir tre ganger et tall, pluss to.

Vis fasit
  1. Tre ganger tallet er 3x, pluss to
  2. f(x) = 3x + 2
Middels(3)

M-41Er (x−1)2=x2−2x+1(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 en likning eller en identitet?

Vis fasit
  1. (x - 1)² ganget ut gir x² - 2x + 1, altså høyre side
  2. sann for alle x
  3. en identitet

M-42For f(x)=2x−5f(x) = 2x - 5, finn f(4)f(4).

Vis fasit

f(4) = 2·4 - 5 = 8 - 5 = 3

M-43Er 2x+2=2(x+1)2x + 2 = 2(x + 1) en likning eller en identitet?

Vis fasit
  1. Høyre side ganget ut gir 2x + 2, altså samme uttrykk
  2. en identitet
Vanskelig(3)

V-41For hvilke xx er x2=4x^2 = 4 sann? Er det en likning eller identitet?

Vis fasit
  1. x² = 4 er sann bare for to verdier, ikke alle
  2. en likning med løsningene x = 2 og x = -2

V-42For f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1, finn f(−3)f(-3).

Vis fasit

f(-3) = (-3)² + 1 = 9 + 1 = 10

V-43Forklar hvorfor en funksjon ikke kan gi to ulike verdier ut for samme verdi inn.

Vis fasit
  1. En funksjon er en entydig regel
  2. hver x gir nøyaktig én f(x), ellers er det ikke en funksjon