NumiSum

Identitet, likning, uttrykk og funksjon

Fire ord som ser like ut, men betyr helt forskjellige ting.

Et UTTRYKK er en regnestreng uten likhetstegn, som 2x+32x + 3 – det har en verdi når du vet xx.

En LIKNING har likhetstegn og er sann for noen bestemte xx, som 2x+3=92x + 3 = 9 (sann bare for x=3x = 3).

En IDENTITET har også likhetstegn, men er sann for ALLE xx, som (x+1)2=x2+2x+1(x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1.

En FUNKSJON er en regel som gir nøyaktig én verdi ut for hver verdi inn, skrevet f(x)=2x+3f(x) = 2x + 3.

Tips

  • Test om noe er en identitet ved å sette inn flere ulike tall. Holder likheten for x=0x = 0, x=1x = 1 OG x=5x = 5, er det sannsynligvis en identitet – holder den bare for én verdi, er det en likning.
  • Kvadratsetningene er identiteter, ikke likninger. Derfor kan du bruke dem til å bytte ut et uttrykk med et annet hvor som helst i en utregning.
  • En ULIKHET (f.eks. 2x+3>92x + 3 > 9) er verken en likning eller en identitet – den er sann for et helt OMRÅDE av xx-verdier, ikke ett bestemt tall og ikke alle tall. Se «ulikheter» for hvordan du løser og tolker dem.

Eksempel: Skille likning fra identitet

Er 2(x+3)=2x+62(x + 3) = 2x + 6 en likning eller en identitet?

Test av 2(x + 3) = 2x + 6
xVenstre sideHøyre sideLike?
066ja
51616ja
-222ja
Løsning:
  1. Vi tester med flere verdier. Sett inn x=0x = 0: venstre side gir 2⋅3=62 \cdot 3 = 6, høyre side gir 66
  2. like
  3. sett inn x=5x = 5: venstre side gir 2⋅8=162 \cdot 8 = 16, høyre side gir 10+6=1610 + 6 = 16
  4. like
  5. sett inn x=−2x = -2: venstre gir 2⋅1=22 \cdot 1 = 2, høyre gir −4+6=2-4 + 6 = 2
  6. like. Den holder for alle verdier vi tester, og høyre side er bare venstre side ganget ut. Svaret er en identitet.
Alternativ forklaring/metode: Gang ut i stedet for å teste tall

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Symbolsk argument

I stedet for å teste enkeltverdier kan du gange ut venstre side og sammenligne: 2(x+3)=2x+62(x + 3) = 2x + 6, som er nøyaktig høyre side. Da har du vist at de er like for alle xx på én gang – en tallsjekk kan bare gjøre det sannsynlig, mens utregningen faktisk beviser det.

Gang ut venstre side og sammenlign
StegUttrykk
Venstre side, utgangspunkt2(x+3)2(x+3)
Venstre side, ganget ut2x+62x+6
Høyre side2x+62x+6

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41Er 3x+13x + 1 et uttrykk eller en likning?

Vis fasit
BeregningResultat
3x + 1 har ingen likhetstegn
et uttrykk
  1. 3x + 1 har ingen likhetstegn
  2. et uttrykk

L-42Er x+4=10x + 4 = 10 en likning eller en identitet?

Vis fasit
BeregningResultat
x + 4 = 10 er sann bare for x6, ikke for alle x
en likning
  1. x + 4 = 10 er sann bare for x = 6, ikke for alle x
  2. en likning

L-43Skriv funksjonen som gir tre ganger et tall, pluss to.

Vis fasit
BeregningResultat
Tre ganger tallet er 3x, pluss to
f(x) = 3x + 2
  1. Tre ganger tallet er 3x, pluss to
  2. f(x) = 3x + 2
Middels(3)

M-41Er (x−1)2=x2−2x+1(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1 en likning eller en identitet?

Vis fasit
BeregningResultat
(x - 1)² ganget ut gir x² - 2x + 1, altså høyre side
sann for alle x
en identitet
  1. (x - 1)² ganget ut gir x² - 2x + 1, altså høyre side
  2. sann for alle x
  3. en identitet

M-42For f(x)=2x−5f(x) = 2x - 5, finn f(4)f(4).

Vis fasit
BeregningResultat
f(4) = 2*4 - 5 = 8 - 53

f(4) = 2*4 - 5 = 8 - 5 = 3

M-43Er 2x+2=2(x+1)2x + 2 = 2(x + 1) en likning eller en identitet?

Vis fasit
BeregningResultat
Høyre side ganget ut gir 2x + 2, altså samme uttrykk
en identitet
  1. Høyre side ganget ut gir 2x + 2, altså samme uttrykk
  2. en identitet
Vanskelig(3)

V-41For hvilke xx er x2=4x^2 = 4 sann? Er det en likning eller identitet?

Vis fasit
BeregningResultat
x²4 er sann bare for to verdier, ikke alle
en likning med løsningene x = 2 og x = -2
  1. x² = 4 er sann bare for to verdier, ikke alle
  2. en likning med løsningene x = 2 og x = -2

V-42For f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1, finn f(−3)f(-3).

Vis fasit
BeregningResultat
f(-3) = (-3)² + 1 = 9 + 110

f(-3) = (-3)² + 1 = 9 + 1 = 10

V-43Forklar hvorfor en funksjon ikke kan gi to ulike verdier ut for samme verdi inn.

Vis fasit
BeregningResultat
En funksjon er en entydig regel
hver x gir nøyaktig én f(x), ellers er det ikke en funksjon
  1. En funksjon er en entydig regel
  2. hver x gir nøyaktig én f(x), ellers er det ikke en funksjon