Faktorisere med kvadratsetningene baklengs

Kvadratsetningene fra 10. trinn kan leses begge veier. Leser du dem fra HØYRE mot venstre, blir de faktoriseringsregler: $a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$ , $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$ og $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ . Trikset er å kjenne igjen mønsteret: er første og siste ledd kvadrattall, og stemmer midtleddet med $2ab$ ?

Første kvadratsetning baklengs

$a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$

Andre kvadratsetning baklengs

$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$

Konjugatsetningen baklengs

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

Tips

Konjugatsetningen krever en DIFFERANSE av kvadrater. $x^2 - 9$ kan faktoriseres, men $x^2 + 9$ kan ikke, en sum av kvadrater lar seg ikke faktorisere med reelle tall.
Sjekk midtleddet før du konkluderer: $x^2 + 5x + 9$ har kvadrattall i begge ender, men $2ab = 2 \cdot x \cdot 3 = 6x \neq 5x$ , så det er IKKE et kvadrat.
Repetisjon fra 8. trinn/1P (se Potenser og kvadratrøtter): trenger du å forenkle en rot som ikke selv er et kvadrattall, bryt tallet under rottegnet ned i en kvadrattallfaktor: $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt2$ , samme prinsipp som å kjenne igjen kvadrattallene $a^2$ og $b^2$ i kvadratsetningene over.
Test svaret med et tall. Er du usikker på om faktoriseringen ble riktig, sett inn et enkelt tall for $x$ på begge sider. For $x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2$ med $x = 10$ : venstre side gir $100 - 120 + 36 = 16$ , høyre side gir $(10 - 6)^2 = 4^2 = 16$ → like. Det beviser ikke at det stemmer for ALLE $x$ , men avslører nesten alltid en feil.
Kontroller i CAS. Faktoriser(x^2-6x+9) gir $(x-3)^2$ , og Faktoriser(x^2-25) gir $(x-5)(x+5)$ . Bruk det som kontroll, ikke som erstatning for å se mønsteret selv.

Eksempel: Kjenne igjen mønsteret

Faktoriser $x^2 - 12x + 36$ .

Løsning:

Vi sjekker om dette passer andre kvadratsetning. Første ledd: $x^2 = x \cdot x$ , så $a = x$
siste ledd: $36 = 6^2$ , så $b = 6$
test midtleddet: $2ab = 2 \cdot x \cdot 6 = 12x$ , og uttrykket har $-12x$
mønsteret $a^2 - 2ab + b^2$ stemmer. Svaret er $(x - 6)^2$ .

Test av mønsteret i x² - 12x + 36
Sjekk	Verdi	Stemmer?
a fra første ledd	x	ja
b fra siste ledd	6	ja
2ab mot midtleddet	12x mot 12x	ja
Faktorisert	(x - 6)²

Alternativ forklaring/metode: Tegn arealet som et kvadrat

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Geometrisk arealmodell (Singapore-inspirert)

I stedet for å pugge kvadratsetningen, tegn den som et areal. $(x+3)^2$ er arealet av et kvadrat med side $x+3$ . Del kvadratet i fire deler: et stort kvadrat med side $x$ (areal $x^2$ ), to like rektangler med sidene $x$ og $3$ (areal $3x$ hver), og et lite kvadrat med side $3$ (areal $9$ ). Legg sammen alle fire delarealene: $x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9$ . Da SER du hvor midtleddet $2ab$ kommer fra, det er nettopp de to like rektanglene, i stedet for bare å huske formelen.

(x + 3)² tegnet som et kvadrat delt i fire deler

Arealmodell for (x+3)²
Delareal	Sider	Areal
Stort kvadrat	x · x	$x^2$
Rektangel 1	x · 3	$3x$
Rektangel 2	3 · x	$3x$
Lite kvadrat	3 · 3	$9$
Totalt areal		$x^2+6x+9$

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Faktoriser $x^2 - 25$ .

Vis fasit

x² - 25
differanse av kvadrater: x² - 5²
(x + 5)(x - 5)

L-32Faktoriser

x^2 + 6x + 9

Vis fasit

9 = 3², midtledd 2·x·3 = 6x stemmer
(x + 3)²

L-33Faktoriser

x^2 - 4

Vis fasit

x² - 2²
(x + 2)(x - 2)

Middels(3)

M-31Faktoriser

x^2 - 10x + 25

Vis fasit

25 = 5², midtledd 2·x·5 = 10x med minus
(x - 5)²

M-32Faktoriser

4x^2 - 9

Vis fasit

4x² = (2x)² og 9 = 3²
(2x + 3)(2x - 3)

M-33Faktoriser

x^2 + 14x + 49

Vis fasit

49 = 7², midtledd 2·x·7 = 14x stemmer
(x + 7)²

Vanskelig(3)

V-31Kan

x^2 + 16

faktoriseres med konjugatsetningen? Begrunn.

Vis fasit

a² - b² krever minus mellom kvadratene. x² + 16 er en SUM
kan ikke faktoriseres med reelle tall

V-32Faktoriser $9x^2 - 24x + 16$ .

Vis fasit

9x² = (3x)², 16 = 4², midtledd 2·3x·4 = 24x med minus
(3x - 4)²

V-33Faktoriser

2x^2 - 18

fullstendig.

Vis fasit

Felles faktor 2 først: 2(x² - 9)
så konjugatsetningen på parentesen
2(x + 3)(x - 3)