NumiSum

Faktorisere med kvadratsetningene baklengs

Kvadratsetningene fra 10. trinn kan leses begge veier. Leser du dem fra HØYRE mot venstre, blir de faktoriseringsregler: a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2, a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 og a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b). Trikset er å kjenne igjen mønsteret: er første og siste ledd kvadrattall, og stemmer midtleddet med 2ab2ab?

Første kvadratsetning baklengs

a2+2ab+b2=(a+b)2a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2

Andre kvadratsetning baklengs

a2−2ab+b2=(a−b)2a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2

Konjugatsetningen baklengs

a2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)

Tips

  • Konjugatsetningen krever en DIFFERANSE av kvadrater. x2−9x^2 - 9 kan faktoriseres, men x2+9x^2 + 9 kan ikke – en sum av kvadrater lar seg ikke faktorisere med reelle tall.
  • Sjekk midtleddet før du konkluderer: x2+5x+9x^2 + 5x + 9 har kvadrattall i begge ender, men 2ab=2⋅x⋅3=6x≠5x2ab = 2 \cdot x \cdot 3 = 6x \neq 5x, så det er IKKE et kvadrat.
  • Repetisjon fra 8. trinn/1P (se Potenser og kvadratrøtter): trenger du å forenkle en rot som ikke selv er et kvadrattall, bryt tallet under rottegnet ned i en kvadrattallfaktor – 50=25⋅2=52\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt2, samme prinsipp som å kjenne igjen kvadrattallene a2a^2 og b2b^2 i kvadratsetningene over.

Eksempel: Kjenne igjen mønsteret

Faktoriser x2−12x+36x^2 - 12x + 36.

Test av mønsteret i x² - 12x + 36
SjekkVerdiStemmer?
a fra første leddxja
b fra siste ledd6ja
2ab mot midtleddet12x mot 12xja
Faktorisert(x - 6)²
Løsning:
  1. Vi sjekker om dette passer andre kvadratsetning. Første ledd: x2=x⋅xx^2 = x \cdot x, så a=xa = x
  2. siste ledd: 36=6236 = 6^2, så b=6b = 6
  3. test midtleddet: 2ab=2⋅x⋅6=12x2ab = 2 \cdot x \cdot 6 = 12x, og uttrykket har −12x-12x
  4. mønsteret a2−2ab+b2a^2 - 2ab + b^2 stemmer. Svaret er (x−6)2(x - 6)^2.
Alternativ forklaring/metode: Test svaret med et tall

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Kontroll ved innsetting

Er du usikker på om faktoriseringen ble riktig, sett inn et enkelt tall for xx på begge sider. For x2−12x+36=(x−6)2x^2 - 12x + 36 = (x - 6)^2 med x=10x = 10: venstre side gir 100−120+36=16100 - 120 + 36 = 16, høyre side gir (10−6)2=42=16(10 - 6)^2 = 4^2 = 16 → like. Det beviser ikke at det stemmer for ALLE xx, men avslører nesten alltid en feil.

Sjekk med x = 10
SideUtregningVerdi
Venstre: x2−12x+36x^2-12x+36100−120+36100-120+3616
Høyre: (x−6)2(x-6)^2(10−6)2=42(10-6)^2=4^216
Alternativ forklaring/metode: Tegn arealet som et kvadrat

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Geometrisk arealmodell (Singapore-inspirert)

I stedet for å pugge kvadratsetningen, tegn den som et areal. (x+3)2(x+3)^2 er arealet av et kvadrat med side x+3x+3. Del kvadratet i fire deler: et stort kvadrat med side xx (areal x2x^2), to like rektangler med sidene xx og 33 (areal 3x3x hver), og et lite kvadrat med side 33 (areal 99). Legg sammen alle fire delarealene: x2+3x+3x+9=x2+6x+9x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9. Da SER du hvor midtleddet 2ab2ab kommer fra – det er nettopp de to like rektanglene – i stedet for bare å huske formelen.

x²3x3x9x3x3
(x + 3)² tegnet som et kvadrat delt i fire deler
Arealmodell for (x+3)²
DelarealSiderAreal
Stort kvadratx · xx2x^2
Rektangel 1x · 33x3x
Rektangel 23 · x3x3x
Lite kvadrat3 · 399
Totalt arealx2+6x+9x^2+6x+9

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Faktoriser x2−25x^2 - 25.

Vis fasit
BeregningResultat
x² - 25
differanse av kvadrater: x² - 5²
(x + 5)(x - 5)
  1. x² - 25
  2. differanse av kvadrater: x² - 5²
  3. (x + 5)(x - 5)

L-32Faktoriser x2+6x+9x^2 + 6x + 9.

Vis fasit
BeregningResultat
9 = 3², midtledd 2x36x stemmer
(x + 3)²
  1. 9 = 3², midtledd 2x3 = 6x stemmer
  2. (x + 3)²

L-33Faktoriser x2−4x^2 - 4.

Vis fasit
BeregningResultat
x² - 2²
(x + 2)(x - 2)
  1. x² - 2²
  2. (x + 2)(x - 2)
Middels(3)

M-31Faktoriser x2−10x+25x^2 - 10x + 25.

Vis fasit
BeregningResultat
25 = 5², midtledd 2x510x med minus
(x - 5)²
  1. 25 = 5², midtledd 2x5 = 10x med minus
  2. (x - 5)²

M-32Faktoriser 4x2−94x^2 - 9.

Vis fasit
BeregningResultat
4x² = (2x)² og 93²
(2x + 3)(2x - 3)
  1. 4x² = (2x)² og 9 = 3²
  2. (2x + 3)(2x - 3)

M-33Faktoriser x2+14x+49x^2 + 14x + 49.

Vis fasit
BeregningResultat
49 = 7², midtledd 2x714x stemmer
(x + 7)²
  1. 49 = 7², midtledd 2x7 = 14x stemmer
  2. (x + 7)²
Vanskelig(3)

V-31Kan x2+16x^2 + 16 faktoriseres med konjugatsetningen? Begrunn.

Vis fasit
BeregningResultat
a² - b² krever minus mellom kvadratene. x² + 16 er en SUM
kan ikke faktoriseres med reelle tall
  1. a² - b² krever minus mellom kvadratene. x² + 16 er en SUM
  2. kan ikke faktoriseres med reelle tall

V-32Faktoriser 9x2−24x+169x^2 - 24x + 16.

Vis fasit
BeregningResultat
9x² = (3x)², 16 = 4², midtledd 23x424x med minus
(3x - 4)²
  1. 9x² = (3x)², 16 = 4², midtledd 23x4 = 24x med minus
  2. (3x - 4)²

V-33Faktoriser 2x2−182x^2 - 18 fullstendig.

Vis fasit
BeregningResultat
Felles faktor 2 først: 2(x² - 9)
så konjugatsetningen på parentesen
2(x + 3)(x - 3)
  1. Felles faktor 2 først: 2(x² - 9)
  2. så konjugatsetningen på parentesen
  3. 2(x + 3)(x - 3)