NumiSum

Nullpunkter og skjæringspunkter

Et nullpunkt er en xx-verdi der f(x)=0f(x) = 0 – altså der grafen krysser xx-aksen. Du finner dem ved å løse likningen f(x)=0f(x) = 0. Skjæringspunktet med yy-aksen finner du enda enklere: sett x=0x = 0 og regn ut f(0)f(0). To ulike grafer skjærer hverandre der f(x)=g(x)f(x) = g(x).

Nullpunkt

f(x)=0f(x) = 0

Skjæring med y-aksen

(0,  f(0))(0,\; f(0))

Tips

  • Nullpunkt og «skjæring med xx-aksen» er to ord for det samme. Skjæring med yy-aksen er noe annet – der setter du x=0x = 0.
  • Er funksjonen faktorisert, kan du lese nullpunktene rett av: f(x)=(x−2)(x+5)f(x) = (x-2)(x+5) har nullpunkter i 22 og −5-5.
  • På eksamen del 2 kan du bruke et digitalt verktøy som GeoGebra – skriv inn funksjonen og kommandoen Nullpunkt(f) for å få punktene direkte, eller les dem av grafen. Dette er både lovlig og forventet der hjelpemidler er tillatt, men husk å forklare hva du gjorde. På del 1 (uten hjelpemidler) må du fortsatt regne for hånd.

Eksempel: Finne nullpunkter og y-skjæring

Finn nullpunktene og yy-skjæringen til f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6.

Skjæringspunkter for f(x) = x² - 5x + 6
TypeFramgangsmåtePunkt
Nullpunktløs f(x) = 0(2, 0) og (3, 0)
y-skjæringregn ut f(0)(0, 6)
Løsning:
  1. Nullpunktene finner vi ved å løse f(x)=0f(x) = 0: x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0
  2. faktoriser: (x−2)(x−3)=0(x-2)(x-3) = 0
  3. nullpunktene er x=2x = 2 og x=3x = 3
  4. yy-skjæringen får vi ved å sette x=0x = 0: f(0)=0−0+6=6f(0) = 0 - 0 + 6 = 6. Grafen krysser xx-aksen i 22 og 33, og yy-aksen i 66.

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva er nullpunktet til f(x)=x−4f(x) = x - 4?

Vis fasit
Nullpunkt til f(x) = x - 4
StegVerdi
x - 40
x4
  1. f(x) = x - 4, sett f(x) = 0
  2. x - 4 = 0
  3. x = 4

L-32Hvor krysser f(x)=2x+6f(x) = 2x + 6 y-aksen?

Vis fasit
y-skjæring til f(x) = 2x+6
StegVerdi
2*00
0+66
  1. f(x) = 2x + 6, sett x = 0
  2. f(0) = 2*0 + 6 = 6

L-33Les av nullpunktene til f(x)=(x−1)(x+3)f(x) = (x - 1)(x + 3).

Vis fasit
Nullpunkter til (x-1)(x+3)
FaktorNullpunkt
x-11
x+3-3
  1. (x - 1)(x + 3) = 0
  2. hver faktor lik null
  3. x = 1 og x = -3
Middels(3)

M-31Finn nullpunktene til f(x)=x2−4f(x) = x^2 - 4.

Vis fasit
Nullpunkter til f(x) = x²-4
FaktorNullpunkt
x-22
x+2-2
  1. x² - 4 = 0
  2. (x+2)(x-2) = 0
  3. x = 2 og x = -2

M-32Hvor krysser f(x)=x2−3x+2f(x) = x^2 - 3x + 2 y-aksen?

Vis fasit
y-skjæring til f(x) = x²-3x+2
StegVerdi
0²-3*00
0+22
  1. f(x) = x² - 3x + 2, sett x = 0
  2. f(0) = 0 - 0 + 2 = 2

M-33Finn nullpunktene til f(x)=x2−x−6f(x) = x^2 - x - 6.

Vis fasit
Nullpunkter til f(x) = x²-x-6
FaktorNullpunkt
x-33
x+2-2
  1. x² - x - 6 = 0
  2. (x - 3)(x + 2) = 0
  3. x = 3 og x = -2
Vanskelig(3)

V-31Hvor skjærer f(x)=2x+1f(x) = 2x + 1 og g(x)=x+4g(x) = x + 4 hverandre?

Vis fasit
Skjæring mellom f og g
LigningLøsning
2x+1 = x+4x=3
  1. Sett like: 2x + 1 = x + 4
  2. x = 3

V-32Hvor mange nullpunkter har f(x)=x2+4f(x) = x^2 + 4?

Vis fasit
Nullpunkter til f(x) = x²+4
LigningLøsning
x² = -4ingen reell, 0 nullpunkter
  1. x² + 4 = 0
  2. x² = -4
  3. ingen reell løsning
  4. 0 nullpunkter

V-33En graf krysser y-aksen i 5. Hva er f(0)f(0)?

Vis fasit
y-skjæring i 5
y-skjæringf(0)
55
  1. y-skjæringen ER verdien av f i x = 0
  2. f(0) = 5