Funksjonsbegrepet og notasjon

Kravet som gjør noe til en funksjon er entydighet: hver verdi inn må gi nøyaktig én verdi ut. Skriver vi $f(x) = 2x + 3$ , betyr $f(4)$ at vi setter $4$ inn for $x$ : $f(4) = 2 \cdot 4 + 3 = 11$ . Grafisk kan du teste entydigheten med den vertikale linje-testen: treffer en loddrett linje grafen mer enn én gang, er det ikke en funksjon.

Funksjonsnotasjon

$f(x) = 2x + 3 \Rightarrow f(4) = 11$

f(x) = 2x + 3

Tips

$f(x)$ er ikke $f$ ganger $x$ . Parentesen betyr «funksjonen $f$ anvendt på $x$ » – bokstaven $f$ er navnet på regelen, ikke en faktor.
Den vertikale linje-testen: er det mulig å tegne en loddrett linje som treffer grafen to steder, er det ikke en funksjon.
Fire beslektede ord, fire ulike ting: et uttrykk ( $2x+3$ ) har ingen sannhetsverdi, det er bare et regnestykke med en ukjent. En likning ( $2x+3=11$ ) er en påstand som er sann for ÉN bestemt $x$ -verdi (eller noen få). En identitet (f.eks. $(x+1)^2=x^2+2x+1$ ) er en påstand som er sann for ALLE $x$ -verdier. En funksjon ( $f(x)=2x+3$ ) er ikke en påstand i det hele tatt, men en regel som knytter hver $x$ -verdi til nøyaktig én $y$ -verdi.

Eksempel: Regne ut funksjonsverdier

For $f(x) = x^2 - 3x$ , finn $f(2)$ og $f(-1)$ .

Verditabell for f(x) = x² - 3x
x	x²	-3x	f(x)
-1	1	3	4
0	0	0	0
2	4	-6	-2
3	9	-9	0

Løsning:

Vi setter inn $x = 2$ : $f(2) = 2^2 - 3 \cdot 2 = 4 - 6 = -2$
deretter $x = -1$ : $f(-1) = (-1)^2 - 3 \cdot (-1) = 1 + 3 = 4$
legg merke til at et negativt tall i andre potens blir positivt, og at minus foran minus blir pluss. Svarene er $f(2) = -2$ og $f(-1) = 4$ .

Alternativ forklaring/metode: Tenk på funksjonen som en maskin

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Maskin-modellen

Se for deg en boks med en trakt oppå og et rør under. Putter du $4$ i trakta til maskinen «gang med 2, legg til 3», ruller $11$ ut av røret. Samme tall inn gir alltid samme tall ut – det er nettopp entydigheten. Modellen gjør det også tydelig hvorfor $f(x)$ ikke er en multiplikasjon: $f$ er navnet på maskinen, ikke et tall.

Maskinen «gang med 2, legg til 3»
Steg	Verdi
Inn (x)	4
Gang med 2	4 · 2 = 8
Legg til 3	8 + 3 = 11
Ut	11

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11For $f(x) = 3x + 1$ , finn $f(2)$ .

Vis fasit

f(2) for f(x) = 3x + 1
Steg	Verdi
3*2	6
6+1	7

f(x) = 3x + 1 med x = 2
3*2 + 1 = 6 + 1 = 7

L-12For

f(x) = x - 5

, finn

f(0)

Vis fasit

f(0) for f(x) = x - 5
Steg	Verdi
0-5	-5

f(x) = x - 5 med x = 0
0 - 5 = -5

L-13For

f(x) = 2x

, finn

f(-3)

Vis fasit

f(-3) for f(x) = 2x
Steg	Verdi
2*(-3)	-6

f(x) = 2x med x = -3
2*(-3) = -6

Middels(3)

M-11For

f(x) = x^2 + 1

, finn

f(-2)

Vis fasit

f(-2) for f(x) = x² + 1
Steg	Verdi
(-2)²	4
4+1	5

f(x) = x² + 1 med x = -2
(-2)² + 1 = 4 + 1 = 5

M-12For

f(x) = x^2 - 4x

, finn

f(4)

Vis fasit

f(4) for f(x) = x² - 4x
Steg	Verdi
4²	16
16-16	0

f(x) = x² - 4x med x = 4
16 - 16 = 0

M-13For

f(x) = 2x + 1

, hvilken

x

gir

f(x) = 9

Vis fasit

Løs f(x) = 2x + 1 = 9
Steg	Verdi
2x	8
x	4

2x + 1 = 9
2x = 8
x = 4

Vanskelig(3)

V-11Er en sirkel grafen til en funksjon? Begrunn med linje-testen.

Vis fasit

Vertikal linje-test på en sirkel
Linje	Antall treff
Loddrett	2, ikke en funksjon

En sirkel har to punkter over de fleste x-verdier
loddrett linje treffer to ganger
ikke en funksjon

V-12For

f(x) = x^2

, gjelder

f(3) = f(-3)

? Er det i strid med entydighet?

Vis fasit

f(3) og f(-3) for f(x) = x²
x	f(x)
3	9
-3	9, tillatt

f(3) = 9 og f(-3) = 9
to ulike x gir samme y, det er tillatt
kravet er at hver x gir bare én y, ikke omvendt

V-13For

f(x) = 5

, hva er

f(100)

Vis fasit

Konstant funksjon f(x) = 5
x	f(x)
100	5

f(x) = 5 er en konstant funksjon
uansett hva du putter inn kommer 5 ut