Definisjonsmengde og verdimengde

Definisjonsmengden $D_f$ er alle tallene du har LOV å putte inn. Verdimengden $V_f$ er alle tallene som faktisk kan komme ut. For de fleste polynomfunksjoner kan du putte inn hva som helst, men to ting er forbudt: å dele på null, og å ta kvadratroten av et negativt tall. Det er nettopp disse to som avgrenser definisjonsmengden.

To forbud

$\text{nevner} \neq 0 \quad \text{og} \quad \text{under rottegn} \geq 0$

f(x) = x² − 4 for x fra −3 til 3: definisjonsmengden D_f = [−3, 3] (grønn på x-aksen) og verdimengden V_f = [−4, 5] (oransje på y-aksen)

Tips

Er det en brøk: sett nevneren lik null og løs. De $x$ -verdiene må UTELATES fra definisjonsmengden.
Er det en kvadratrot: sett uttrykket under rottegnet $\geq 0$ og løs. Det gir hvilke $x$ som er lov.

Eksempel: Finne definisjonsmengden

Finn definisjonsmengden til $f(x) = \frac{1}{x - 3}$ .

Løsning:

For $f(x) = \frac{1}{x-3}$ leter vi etter det som er forbudt
uttrykket er en brøk, så nevneren kan ikke være null
sett nevneren lik null: $x - 3 = 0$
det gir $x = 3$
altså er $x = 3$ den eneste forbudte verdien, og alle andre tall er lov. Definisjonsmengden er alle reelle tall unntatt $x = 3$ .

Test av verdier nær x = 3
x	x - 3	f(x)
2	-1	-1
2,9	-0,1	-10
3	0	ikke definert
4	1	1

Alternativ forklaring/metode: Les mengdene av grafen

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Grafisk avlesning

Definisjonsmengden er «skyggen» av grafen ned på $x$ -aksen, og verdimengden er skyggen bortover på $y$ -aksen. For $f(x) = \frac{1}{x-3}$ ser du et brudd i grafen ved $x = 3$ , en loddrett asymptote, som er nettopp verdien som må utelates. Grafen gir svaret raskere enn regningen når du først har tegnet den.

f(x) = 1/(x-3), loddrett asymptote x = 3

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hvilken $x$ er forbudt i $f(x) = \frac{1}{x}$ ?

Vis fasit

f(x) = 1/x
nevneren er x
nevner lik null gir x = 0, som må utelates

Forbudt x i f(x) = 1/x
Nevner	Forbudt x
x	0

L-32Hvilken

x

er forbudt i

f(x) = \frac{1}{x - 5}

Vis fasit

x - 5 = 0
x = 5

Forbudt x i f(x) = 1/(x-5)
Steg	Verdi
x - 5	0
x	5

L-33Er

x = 2

lov i

f(x) = \sqrt{x}

Vis fasit

Under rottegnet står x = 2, som er positivt
ja, lov

Er x=2 lov i f(x) = kvadratroten av x
Under rottegnet	Positivt?
2	ja, lov

Middels(3)

M-31Finn definisjonsmengden til $f(x) = \sqrt{x - 4}$ .

Vis fasit

f(x) = $\sqrt{x - 4}$
under rottegnet må være ≥ 0
x - 4 ≥ 0
x ≥ 4

Definisjonsmengde til kvadratroten av (x-4)
Krav	Løsning
x - 4 ≥ 0	x ≥ 4

M-32Hvilke $x$ er forbudt i $f(x) = \frac{2}{x^2 - 9}$ ?

Vis fasit

x² - 9 = 0
(x+3)(x-3) = 0
x = 3 og x = -3 må utelates

Forbudte x i f(x) = 2/(x²-9)
Faktor	Løsning
(x+3)(x-3)	x=3 og x=-3

M-33Hva er verdimengden til $f(x) = x^2$ ?

Vis fasit

f(x) = $x^{2}$
et kvadrat er aldri negativt
laveste verdi ut er 0
y ≥ 0

Verdimengde til f(x) = x²
Egenskap	Verdi
Laveste f(x)	0, altså y ≥ 0

Vanskelig(3)

V-31Finn definisjonsmengden til $f(x) = \sqrt{2x - 6}$ .

Vis fasit

2x - 6 ≥ 0
2x ≥ 6
x ≥ 3

Definisjonsmengde til kvadratroten av (2x-6)
Steg	Verdi
2x	≥6
x	≥3

V-32Hva er definisjonsmengden til $f(x) = x^2 + 5$ ?

Vis fasit

f(x) = x² + 5 har ingen brøk og ingen rot
ingenting er forbudt
alle reelle tall

Definisjonsmengde til f(x) = x²+5
Type uttrykk	Forbud
Ingen brøk/rot	ingen, alle reelle tall

V-33Hva er verdimengden til $f(x) = x^2 + 5$ ?

Vis fasit

f(x) = x² + 5
x² er minst 0
minste verdi er 0 + 5 = 5
y ≥ 5

Verdimengde til f(x) = x²+5
Steg	Verdi
Minste x²	0
0+5	5, altså y≥5