Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal designe tre ulike funksjonsuttrykk som til sammen danner en figur der to av grafene har bunnpunkt på $y$-aksen, og to markerte punkter $A$ og $B$ har samme $y$-koordinat.

Strategi og formel: Vi bygger figuren av to parabler med bunnpunkt på $y$-aksen i ulik høyde, og knytter dem sammen med en rett linje. Den tredje, ulike funksjonstypen. Dette er én av mange mulige løsninger; oppgaven har ikke noe entydig fasitsvar.

Trinnvis utregning:

1. $f_1(x)=x^2-4$ for $x \in [-2,2]$
2. bunnpunkt $(0,-4)$ på $y$-aksen
3. $f_1(-2)=0$ og $f_1(2)=0$, kall disse punktene $A=(-2{,}0)$ og $B=(2{,}0)$ (samme $y$-koordinat, av symmetri)
4. $f_2(x)=x^2+2$ for $x \in [-1,1]$
5. bunnpunkt $(0,2)$ på $y$-aksen
6. $f_2(-1)=3$ og $f_2(1)=3$
7. $f_3(x)=-3|x|+6$ for $x \in [-2,-1] \cup [1,2]$
8. EN rett linje-funksjon (bruker $|x|$, så den dekker BEGGE sider symmetrisk) som knytter $f_1$ og $f_2$ sammen på begge ender samtidig: $f_3(1)=-3+6=3$ (møter $f_2$ i $(1,3)$), $f_3(2)=-6+6=0$ (møter $f_1$ i $B$), $f_3(-1)=-3+6=3$ (møter $f_2$ i $(-1,3)$), $f_3(-2)=-6+6=0$ (møter $f_1$ i $A$)
9. alle fire endepunkter er dermed forbundet, og kurven er lukket

Svar: Et mulig eksempel: $f_1(x)=x^2-4$ på $[-2,2]$, $f_2(x)=x^2+2$ på $[-1,1]$, og $f_3(x)=-3|x|+6$ på $[-2,-1] \cup [1,2]$ — to oppadåpnede parabler med bunnpunkt på $y$-aksen ($(0,-4)$ og $(0,2)$), knyttet sammen i BEGGE ender av $f_3$ (som bruker $|x|$ for å dekke venstre og høyre side med samme funksjonsuttrykk), med $A=(-2{,}0)$ og $B=(2{,}0)$ på samme høyde. Kurven er dermed faktisk lukket. Alle fire endepunkter ($A$, $B$, og $f_2$ sine to endepunkter) er forbundet.