Eksamensoppgaver – Funksjoner (1T)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 2 – Oppgave 7

Med hjelpemidler – 6 poeng

Figuren viser tre grafer som til sammen danner en lukket kurve.

To av grafene har bunnpunkter som ligger på $y$ -aksen.
Punktet $A$ og punktet $B$ har samme $y$ -koordinat.

Bruk tre ulike funksjoner og lag en tilsvarende figur slik at kravene i begge kulepunktene ovenfor er oppfylt.

Det skal gå klart fram av besvarelsen hvilke funksjonsuttrykk du har brukt. Husk å forklare hvordan du har tenkt, og argumenter for at løsningen din er riktig.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal designe tre ulike funksjonsuttrykk som til sammen danner en figur der to av grafene har bunnpunkt på $y$ -aksen, og to markerte punkter $A$ og $B$ har samme $y$ -koordinat.

Strategi og formel: Vi bygger figuren av to parabler med bunnpunkt på $y$ -aksen i ulik høyde, og knytter dem sammen med en rett linje – den tredje, ulike funksjonstypen. Dette er én av mange mulige løsninger; oppgaven har ikke noe entydig fasitsvar.

Trinnvis utregning:

$f_1(x)=x^2-4$ for $x \in [-2,2]$
bunnpunkt $(0,-4)$ på $y$ -aksen
$f_1(-2)=0$ og $f_1(2)=0$ , kall disse punktene $A=(-2,0)$ og $B=(2,0)$ (samme $y$ -koordinat, av symmetri)
$f_2(x)=x^2+2$ for $x \in [-1,1]$
bunnpunkt $(0,2)$ på $y$ -aksen
$f_2(-1)=3$ og $f_2(1)=3$
$f_3(x)=-3x+6$ for $x \in [1,2]$
rett linje som knytter $f_1$ og $f_2$ sammen: $f_3(1)=3$ (møter $f_2$ ) og $f_3(2)=0$ (møter $f_1$ i punktet $B$ )

Svar: Et mulig eksempel: $f_1(x)=x^2-4$ på $[-2,2]$ , $f_2(x)=x^2+2$ på $[-1,1]$ , og $f_3(x)=-3x+6$ på $[1,2]$ — to oppadåpnede parabler med bunnpunkt på $y$ -aksen ( $(0,-4)$ og $(0,2)$ ), knyttet sammen med en rett linje, med $A=(-2,0)$ og $B=(2,0)$ på samme høyde.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 6 poeng)

Poeng	Krav
6/6	Presenterer tre genuint ulike funksjonsuttrykk som til sammen oppfyller begge kravene (to bunnpunkt på y-aksen, og to navngitte punkter med samme y-koordinat), med tydelig forklaring av hvordan hvert krav er oppfylt.
3-5/6	Oppfyller ett av de to kravene fullt ut, eller begge kravene med en mindre unøyaktighet (f.eks. et bunnpunkt som ikke helt treffer y-aksen, eller manglende begrunnelse).
0-2/6	Kun ett eller to funksjonsuttrykk uten sammenheng med kravene, eller ingen forklaring av hvorfor konstruksjonen oppfyller kravene.

Sensor-tips

Dette er en åpen design-oppgave – sensor godtar ethvert gyldig sett med tre funksjoner som oppfyller begge kulepunktene, ikke bare ett bestemt svar.
Vis at bunnpunktene FAKTISK ligger på y-aksen (sett inn x=0), ikke bare påstå det.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1T matematikk, Vår 2024, Del 2, Oppgave 7