Eksamensoppgaver – Areal og volum av prisme og sylinder (9. trinn)

Utdanningsdirektoratet

Vår 2021, Del 1 – Oppgave 13

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Nedenfor ser du en eske. Esken har form som et rett, firkantet prisme. Grunnflaten er merket med sidekantene $x$ og $2x$ , og den vertikale kanten (høyden) er merket $x$ .

a) Arealet av grunnflaten i esken er:

$2x^2$
$x^3$
$2x$
$3x$

b) Volumet av esken er 128 dm³. Hvor høy er esken?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Hvilket uttrykk (a) som beskriver grunnflatearealet, og hvor høy esken faktisk er i tallverdi (b) når volumet er 128 dm³.

Strategi og formel: Esken er et rett, firkantet prisme med grunnflate $x \cdot 2x$ (et rektangel med sidene $x$ og $2x$ ) og høyde $x$ . Vi bruker at grunnflatearealet er lengde ganger bredde, og at $V = G \cdot h$ til å finne $x$ i b).

Trinnvis utregning:

a) $G = x \cdot 2x = 2x^2$
b) $V = G \cdot h = 2x^2 \cdot x = 2x^3$
$2x^3 = 128$
$x^3 = 64$
$x = \sqrt[3]{64} = 4$

Svar: a) $2x^2$ b) Esken er 4 dm høy (høyden er $x = 4$ )

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Velger riktig uttrykk $2x^2$ i a) OG finner riktig høyde 4 dm i b), med synlig utregning $2x^3=128$ .
1/2	Får riktig svar på ett av delspørsmålene, f.eks. riktig $2x^2$ i a) uten å løse b) riktig, eller riktig høyde 4 dm i b) uten riktig valg i a).
0/2	Velger feil uttrykk i a) (f.eks. $x^3$ , som forveksler areal med volum), eller løser $2x^3=128$ feil i b) (f.eks. ved å glemme kubikkroten og svare 64).

Sensor-tips

Den vanligste distraktoren i a) er $x^3$ : elever som husker at «prisme betyr volum» kan gange feil antall x-er sammen. Grunnflaten er et AREAL (to dimensjoner), ikke et volum (tre dimensjoner).
I b) er det avgjørende steget å ta KUBIKKROTEN av 64, ikke bare dele 128 på en faktor: sjekk at eleven faktisk løser $x^3=64$ fullstendig, ikke stopper ved $2x^3=128$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2021, Del 1, Oppgave 13

Utdanningsdirektoratet

Vår 2017, Del 1 – Oppgave 23

Uten hjelpemidler – 1 poeng

En rett sylinder og et rett, firkantet prisme har samme høyde $h$ .

Sylinderen har radius 3,0 cm. Prismet har grunnflate 3,0 cm * 9,0 cm.

Hvilken av romfigurene har størst volum? Bruk π ≈ 3,14.

Prismet
De har like stort volum
Sylinderen
Det er umulig å avgjøre fordi vi ikke kjenner høyden $h$

Prisme: 3,0 cm * 9,0 cm, høyde h

Sylinder: r = 3,0 cm, høyde h

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Hvilken av de to romfigurene (sylinderen eller prismet) som har størst volum, når begge har samme, ukjente høyde $h$ .

Strategi og formel: Siden begge romfigurene har samme høyde $h$ , avgjør grunnflatearealet ALENE hvilken som har størst volum ( $V = G \cdot h$ ). Vi trenger ikke kjenne $h$ for å svare, bare sammenligne de to grunnflatearealene.

Trinnvis utregning:

Sylinderens grunnflate: $G_{sylinder} = \pi \cdot r^2 = 3{,}14 \cdot 3{,}0^2 = 3{,}14 \cdot 9 = 28{,}26$ cm²
Prismets grunnflate: $G_{prisme} = 3{,}0 \cdot 9{,}0 = 27$ cm²
$28{,}26 > 27$

Svar: Sylinderen har størst volum, siden grunnflaten (28,26 cm²) er større enn prismets (27 cm²), og begge har samme høyde

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Svarer «Sylinderen», med riktig argumentasjon om at grunnflatearealene avgjør (28,26 cm² mot 27 cm²) siden høydene er like.
0/1	Feil svar (f.eks. «Prismet», «like stort volum», eller «umulig å avgjøre»), eller riktig svar uten korrekt sammenligning av grunnflatearealene.

Sensor-tips

Denne oppgaven er et direkte eksempel på undertemaets kjerneprinsipp: når høyden er lik, avgjør grunnflatearealet alene hvilket volum som er størst. Ingen fullstendig volumberegning er nødvendig.
En vanlig feil er å svare «umulig å avgjøre» fordi $h$ er ukjent, men siden $h$ er FELLES for begge figurene, kansellerer den ut av sammenligningen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2017, Del 1, Oppgave 23

Utdanningsdirektoratet

Vår 2019, Del 2 – Oppgave 6

Med hjelpemidler – 2 poeng

Månen bruker ca. 29,5 døgn på én runde rundt jorda. Et år regnes som 365 døgn.

a) Bestem hvor mange hele runder månen går rundt jorda i løpet av et år.

Månens bane rundt jorda danner en ellipse. Se figuren nedenfor. Avstandene $a$ og $b$ er månens lengste og korteste avstand fra månen til jorda målt i kilometer.

Vi kan bestemme omkretsen $O$ av månens bane ved å bruke formelen

$O = 2\pi \cdot \sqrt{0{,}5 \cdot (a^2 + b^2)}$

b) Bruk formelen ovenfor til å bestemme omkretsen $O$ av månens bane når $a = 405\ 000$ og $b = 363\ 000$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne hvor mange hele runder månen går rundt jorda på et år, og regne ut omkretsen av månens bane med formelen.

Strategi og formel: I a) deler vi antall døgn i et år på tiden for én runde og tar bare med de hele rundene. I b) setter vi $a$ og $b$ inn i formelen og regner med kalkulator.

Trinnvis utregning:

a) $365 : 29{,}5 \approx 12{,}37$
månen rekker $12$ hele runder
b) $a^2 = 405\ 000^2 = 1{,}64025 \cdot 10^{11}$ og $b^2 = 363\ 000^2 = 1{,}31769 \cdot 10^{11}$
summen er $2{,}95794 \cdot 10^{11}$
$0{,}5 \cdot 2{,}95794 \cdot 10^{11} = 1{,}47897 \cdot 10^{11}$
$\sqrt{1{,}47897 \cdot 10^{11}} \approx 384\ 573$
$O = 2\pi \cdot 384\ 573 \approx 2\ 416\ 348$

Svar: a) Månen går 12 hele runder rundt jorda på et år. b) Omkretsen av månens bane er omtrent 2 416 000 km (ca. $2{,}4$ millioner km).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Begge riktige: 12 runder og omkrets omtrent 2 416 000 km.
1/2	Én av delene riktig.
0/2	Ingen riktige svar.

Sensor-tips

I a) skal en bare telle HELE runder. Svaret 12,37 gir ikke full uttelling.
I b) er det vanlig å glemme å opphøye $a$ og $b$ i andre før de legges sammen, eller å glemme å multiplisere med $2\pi$ til slutt.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2019, Del 2, Oppgave 6

Utdanningsdirektoratet

Vår 2019, Del 2 – Oppgave 8

Med hjelpemidler – 3 poeng

Omkretsen av jorda ved ekvator er 24 901,5 miles. 1 mile $\approx$ 1,60934 km.

a) Vis at omkretsen av jorda ved ekvator er omtrent 40 075 km.
b) Vis at radius til jorda ved ekvator er omtrent 6 378 km.

Skissen ovenfor viser jorda sett fra verdensrommet. Tre satellitter dekker til sammen hvert punkt på ekvator. Satellittene former en likesidet trekant. Vi ser jorda som en innskrevet sirkel i den likesidede trekanten, og satellittbanen er en omskrevet sirkel.

c) Hvor høyt over jordas overflate går satellittene i bane?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal vise omkretsen og radius til jorda, og finne hvor høyt over overflaten satellittene går.

Strategi og formel: I a) gjør vi om fra miles til kilometer. I b) bruker vi $O = 2\pi r$ . I c) bruker vi at sentrum i en likesidet trekant deler høyden i forholdet 2 : 1, slik at radius i den omskrevne sirkelen er dobbelt så stor som radius i den innskrevne.

Trinnvis utregning:

a) $24\ 901{,}5 \cdot 1{,}60934 \approx 40\ 075$ km
b) $O = 2\pi r$ gir $r = \frac{40\ 075}{2\pi} \approx 6\ 378$ km
c) i en likesidet trekant er avstanden fra sentrum til et hjørne dobbelt så stor som avstanden fra sentrum til en side
den innskrevne sirkelen (jorda) har radius $r = 6\ 378$ km, så satellittbanen har radius $2r = 12\ 756$ km
høyde over overflaten: $12\ 756 - 6\ 378 = 6\ 378$ km

Svar: a) og b) Omkretsen er $40\ 075$ km, og radius er $6\ 378$ km. c) Satellittene går $6\ 378$ km over jordas overflate (like høyt som jordas radius).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	a) og b) vist med utregning, og c) 6 378 km med begrunnelse.
2/3	a) og b) riktig, men c) feil eller uten begrunnelse.
1/3	Bare a) eller b) riktig.
0/3	Ingen riktige.

Sensor-tips

Det er viktig at a) og b) VISES: skriv utregningen og vis at svaret blir omtrent 40 075 km og 6 378 km.
I c) er svaret avstanden fra overflaten, ikke fra sentrum. Avstanden fra sentrum til satellitten er $2 \cdot 6\ 378 = 12\ 756$ km.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2019, Del 2, Oppgave 8

Utdanningsdirektoratet

Vår 2019, Del 2 – Oppgave 9

Med hjelpemidler – 5 poeng

Glasspyramiden som er inngangen til museet Louvre, er et verk av arkitekten Leoh Ming Pei. Pyramiden har en kvadratisk grunnflate på 1225 m². Pyramiden er 21,65 m høy.

a) Vis at siden i grunnflaten er 35 m.
b) Vis at arealet av de fire sideflatene i pyramiden til sammen er omtrent 1950 m².

Pyramiden er dekket av glass. Glasset er 21,52 mm tykt. Massetettheten til glasset er 2400 kg/m³.

c) Bestem samlet masse av glasset i pyramiden.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal vise sidelengden i grunnflaten og arealet av sideflatene, og finne massen av glasset.

Strategi og formel: Grunnflaten er et kvadrat, så siden er kvadratroten av arealet. Hver sideflate er en trekant med grunnlinje 35 m og en høyde som vi finner med Pytagoras. Massen er volum ganger massetetthet, der volumet er flatearealet ganger tykkelsen.

Trinnvis utregning:

a) $\sqrt{1\ 225} = 35$ m
b) høyden fra toppen ned til midten av en side, den skrå høyden $h$ : Pytagoras gir $h = \sqrt{21{,}65^2 + 17{,}5^2} \approx 27{,}84$ m
arealet av én trekant: $\frac{1}{2} \cdot 35 \cdot 27{,}84 \approx 487{,}2$ m²
fire trekanter: $4 \cdot 487{,}2 \approx 1\ 949$ m², omtrent $1\ 950$ m²
c) volum av glass: $1\ 950 \cdot 0{,}02152 \approx 41{,}96$ m³ (21,52 mm er $0{,}02152$ m)
masse: $41{,}96 \cdot 2\ 400 \approx 100\ 700$ kg

Svar: a) Siden er 35 m. b) De fire sideflatene har et samlet areal på omtrent 1 950 m². c) Glasset veier omtrent $100\ 700$ kg (ca. 100 tonn).

Sensorveiledning og poengkrav (maks 5 poeng)

Poeng	Krav
5/5	a) vist, b) vist med riktig bruk av Pytagoras, c) riktig masse (ca. 100 700 kg).
3-4/5	a) og b) riktige, og c) riktig framgangsmåte med mindre regnefeil.
1-2/5	Bare a), eller bare riktig framgangsmåte i b).
0/5	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

I b) må en bruke den SKRÅ høyden i sideflatene, ikke pyramidens høyde på 21,65 m. Den skrå høyden finner en med Pytagoras (halve siden 17,5 m og høyden 21,65 m).
I c) må tykkelsen gjøres om fra millimeter til meter (21,52 mm = 0,02152 m) før en ganger med arealet.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2019, Del 2, Oppgave 9

Utdanningsdirektoratet

Vår 2014, Del 2 – Oppgave 6

Med hjelpemidler – 5 poeng

Vi regner med at jorda har tilnærmet form som en kule. Jordas diameter er 12 756 km.

a) Regn ut jordas radius og omkrets.

Eratosthenes beregnet jordas omkrets ut fra måling av skygger i to byer, Aleksandria og Syene. Aleksandria lå nord for Syene.

Da sola sto høyest på himmelen en dag i Aleksandria, laget solstrålene en skygge fra en loddrett søyle. Samtidig skinte solstrålene rett ned i en loddrett brønn i byen Syene.

Eratosthenes fant at vinkelen mellom søylen og solstrålene var $\dfrac{1}{50}$ av $360^\circ$ .

b) Regn ut hvor mange grader vinkelen mellom søylen og solstrålene var.

Avstanden mellom Aleksandria og Syene var 5 000 egyptiske stadion. 1 stadion = 157,5 m.

c) Regn ut hvor mange kilometer det var mellom Aleksandria og Syene.

Vi regner med at 71 % av jordas overflate er dekket med vann. Overflaten $O$ av en kule er gitt ved formelen $O = 4\pi r^2$ .

d) Hvor stort er arealet av jordas overflate som er dekket med vann? Oppgi svaret ditt på standardform.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne jordas radius og omkrets, vinkelen i Eratosthenes' måling, avstanden mellom byene, og arealet av jordas vannoverflate på standardform.

Strategi og formel: I a) halverer vi diameteren og bruker $O = 2\pi r$ . I b) tar vi en femtidel av 360°. I c) ganger vi stadion med lengden på én stadion. I d) regner vi ut jordas overflate med formelen og tar 71 % av den.

Trinnvis utregning:

a) $r = 12\ 756 : 2 = 6\ 378$ km
$O = 2\pi r = 2\pi \cdot 6\ 378 \approx 40\ 074$ km
b) $\frac{1}{50} \cdot 360^\circ = 7{,}2^\circ$
c) $5\ 000 \cdot 157{,}5 = 787\ 500$ m $= 787{,}5$ km
d) overflaten: $O = 4\pi \cdot 6\ 378^2 \approx 5{,}11 \cdot 10^8$ km²
vann: $0{,}71 \cdot 5{,}11 \cdot 10^8 \approx 3{,}63 \cdot 10^8$ km²

Svar: a) Radius er $6\ 378$ km og omkretsen er ca. $40\ 074$ km. b) Vinkelen var $7{,}2^\circ$ . c) Avstanden var $787{,}5$ km. d) Vannarealet er ca. $3{,}63 \cdot 10^8$ km².

Sensorveiledning og poengkrav (maks 5 poeng)

Poeng	Krav
5/5	Alle fire deloppgavene riktige.
3-4/5	Tre av fire riktige, eller alle med mindre feil.
1-2/5	En eller to deloppgaver riktige.
0/5	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

I a) er det lett å bruke diameteren (12 756) i stedet for radius (6 378) i formelen $O = 2\pi r$ .
I c) må stadion gjøres om til meter, og så til kilometer. 787 500 m er 787,5 km.
I d) gjelder 71 % kun vannet. Svaret skal oppgis som tall ganger 10 opphøyd i en potens: $3{,}63 \cdot 10^8$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2014, Del 2, Oppgave 6

Utdanningsdirektoratet

Vår 2021, Del 2 – Oppgave 6

Med hjelpemidler – 3 poeng

Et energiselskap vurderer å bygge en vindmøllepark. Parken dekker et kvadratisk område på 1 km $^2$ .

Lengden til en vindmøllevinge er 60 meter. Avstanden mellom to vindmølletårn må være minst seks ganger lengden av en vindmøllevinge.

Figuren viser hvordan energiselskapet har tenkt å plassere vindmøllene.

a) Gjør beregninger, og avgjør om vindmølleparken kan bygges som vist ovenfor.

Vindmøllen har tre vinger som er 60 meter lange.

b) Bestem farten til den ytterste delen av vindmøllevingene dersom en vindmølle roterer 20 ganger per minutt. Oppgi farten i km/h.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal avgjøre om tårnene står langt nok fra hverandre, og finne farten til vingespissen.

Strategi og formel: I a) finner vi den korteste avstanden mellom to tårn med Pytagoras’ setning. I b) finner vi omkretsen av sirkelen vingespissen følger og regner om til km/h.

Trinnvis utregning:

a) kravet: $6 \cdot 60 = 360$ m
tårnene står i et rutenett med 250 m mellom linjene, og tårnene i de forskjøvede radene ligger 250 m til siden og 250 m ned fra nærmeste tårn
avstand: $d = \sqrt{250^2 + 250^2} = \sqrt{125\ 000} \approx 353{,}6$ m
$353{,}6 < 360$
b) vingespissen følger en sirkel med radius $60$ m
omkrets: $2 \cdot \pi \cdot 60 \approx 377{,}0$ m
20 runder per minutt: $20 \cdot 377{,}0 = 7\ 539{,}8$ m per minutt
per time: $7\ 539{,}8 \cdot 60 = 452\ 389$ m $\approx 452{,}4$ km

Svar: a) Nei, den korteste avstanden er ca. $353{,}6$ m, som er mindre enn kravet på $360$ m. b) Farten er omtrent $452$ km/h.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	a) riktig avgjørelse med beregning av avstanden, og b) riktig fart i km/h.
2/3	a) riktig og b) delvis riktig, eller omvendt.
1/3	Delvis riktig i én av delene, for eksempel riktig omkrets.
0/3	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Den korteste avstanden er mellom to tårn på skrå, ikke langs en rad. Rutenettet har 250 m mellom linjene.
Vingespissen reiser $2\pi r$ for hver runde. Husk å regne om fra meter per minutt til kilometer per time.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2021, Del 2, Oppgave 6

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave vår 2009, Del 2 – Oppgave 4

I kiosken kan du kjøpe iskremen Supersandwich som består av kjeks og is. Iskremen har form som et rett prisme. Prismets sidekanter er 14,0 cm, 6,0 cm og 2,0 cm (medregnet kjeksen).

Kiosken får levert slike sandwicher i esker på 48 stk. Eskene er helt fulle.

a) Finn ut hvor stort volum en slik eske må ha for å romme alle 48 iskremene.
b) Finn mål på en eske som sandwichene kan være pakket i. Tegn esken.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne volumet av 48 iskremer og foreslå mål på en eske med akkurat dette volumet.

Strategi og formel: I a) finner vi volumet av én sandwich og ganger med 48. I b) velger vi tre mål som gir samme volum, slik at sandwichene fyller esken helt.

Trinnvis utregning:

a) volum av én sandwich: $14 \cdot 6 \cdot 2 = 168$ cm $^3$
48 stk: $48 \cdot 168 = 8\ 064$ cm $^3$
b) vi legger sandwichene med lengden 14 cm langs eskens lengde, 4 ved siden av hverandre (bredde $4 \cdot 6 = 24$ cm) og 12 lag oppå hverandre (høyde $12 \cdot 2 = 24$ cm)
$4 \cdot 12 = 48$ sandwicher ✓
volum: $14 \cdot 24 \cdot 24 = 8\ 064$ cm $^3$

Svar: a) Esken må ha et volum på $8\ 064$ cm $^3$ . b) For eksempel en eske på $14$ cm $\cdot$ $24$ cm $\cdot$ $24$ cm (se figuren).

Vurdering

Poeng	Krav
Riktig	a) 8 064 cm $^3$ og b) mål der volumet blir minst 8 064 cm $^3$ , med tegning.
Delvis	a) riktig og b) delvis riktig, eller et forslag som ikke rommer 48 stk.
Feil	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Udirs eksempeloppgave 1 til eksamen våren 2009 (utgitt 2008). Poeng og karakterkrav er ikke oppgitt per oppgave her.
Andre mål som også fungerer: $14 \cdot 12 \cdot 48$ eller $28 \cdot 12 \cdot 24$ . Volumet må bli 8 064 cm $^3$ hvis esken skal være helt full.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Vår 2009, Del 2, Oppgave 4

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave vår 2009, Del 2 – Oppgave 305

Tegningen viser en del av dekket på en oljeplattform.

Dekket på denne delen av oljeplattformen er laget av 20 mm tykke jernplater. Tettheten til jern er 7,8 tonn per kubikkmeter.

Hvor mange tonn veier den delen av dekket som tegningen viser?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne vekten av jernplatene i dekket.

Strategi og formel: Vi deler figuren i enkle former og finner arealet. Så finner vi volumet av platene (areal ganger tykkelse) og ganger med tettheten.

Trinnvis utregning:

deler figuren: trekant AFE: $\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 8 = 32$ m $^2$
rektangel FBCD: $16 \cdot 14 = 224$ m $^2$
trekant BCG: $\frac{1}{2} \cdot 14 \cdot 8{,}08 = 56{,}58$ m $^2$
halvsirkel: $\frac{1}{2} \cdot \pi \cdot 8{,}08^2 = 102{,}63$ m $^2$
samlet areal: $32 + 224 + 56{,}58 + 102{,}63 = 415{,}2$ m $^2$
tykkelse: $20$ mm $= 0{,}020$ m
volum: $415{,}2 \cdot 0{,}020 = 8{,}30$ m $^3$
masse: $8{,}30 \cdot 7{,}8 = 64{,}8$ tonn

Svar: Den delen av dekket som tegningen viser, veier omtrent $65$ tonn.

Vurdering

Poeng	Krav
Riktig	Areal ca. 415 m $^2$ , volum ca. 8,3 m $^3$ og masse ca. 65 tonn.
Delvis	Riktig areal, men feil enhet eller feil volum.
Feil	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Udirs eksempeloppgave 2 til eksamen våren 2009 (utgitt 2008). Poeng og karakterkrav er ikke oppgitt per oppgave her.
Husk å regne om tykkelsen fra millimeter til meter: 20 mm er 0,020 m. Da blir volumet i kubikkmeter, og tettheten er oppgitt per kubikkmeter.
Bruker du de avrundede målene fra tegningen, kan svaret avvike litt fra 64,8 tonn.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Vår 2009, Del 2, Oppgave 305

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave vår 2009, Del 2 – Oppgave 306

En oljeplattform har også et helikopterdekk. Figuren viser en skisse av et symmetrisk helikopterdekk med nødvendige mål. Den gule ringen er 1 meter bred, og den ytre sirkelen er like bred som den nederste siden i åttekanten.

a) Finn arealet av det gule feltet.
b) Et helikopter kan lande på dekket i en vindstyrke opptil 60 knop. Hvor mange km per time er det?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne arealet av den gule ringen og regne om 60 knop til km/h.

Strategi og formel: Ringen er forskjellen mellom en stor og en liten sirkel. 1 knop er 1,852 km/t.

Trinnvis utregning:

a) ytre radius: $12 : 2 = 6$ m
indre radius: $6 - 1 = 5$ m
ringens areal: $\pi \cdot 6^2 - \pi \cdot 5^2 = 36\pi - 25\pi = 11\pi = 34{,}56$ m $^2$
b) $1$ knop $= 1{,}852$ km/t
$60 \cdot 1{,}852 = 111{,}12$ km/t

Svar: a) Det gule feltet har et areal på $34{,}6$ m $^2$ . b) 60 knop er $111{,}1$ km/t.

Vurdering

Poeng	Krav
Riktig	a) ca. 34,6 m $^2$ og b) ca. 111 km/t.
Delvis	Én del riktig.
Feil	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Udirs eksempeloppgave 2 til eksamen våren 2009 (utgitt 2008). Poeng og karakterkrav er ikke oppgitt per oppgave her.
1 knop er 1 nautisk mil i timen, altså 1,852 km/t. Det er ikke oppgitt i oppgaven, men det står i alle formelsamlinger.
Arealet av en ring er arealet av den store sirkelen minus arealet av den lille.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Vår 2009, Del 2, Oppgave 306

Utdanningsdirektoratet

Eksempeloppgave vår 2009, Del 1 – Oppgave 29

Du skal pusse opp soverommet og skal bl.a. male veggene med to strøk. Du lager en skisse og tar nødvendige mål. Se tegningen. Rommet har én dør og ett vindu.

I interiørbutikken selger de veggmaling, men de selger bare hele malingsspann. Et malingsspann har dette innholdet:

Innhold: 2,7 liter
Anbefalt forbruk: 8 til 10 m $^2$ per liter

Hvor mange slike malingsspann trenger du for å male rommet ditt med to strøk?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne arealet av veggene (uten dør og vindu), regne ut hvor mye maling to strøk krever, og runde opp til hele malingsspann.

Strategi og formel: Veggflaten er omkretsen ganger høyden, minus døren og vinduet. Så finner vi antall liter ved å dele arealet på dekningen per liter, og antall spann ved å dele på 2,7.

Trinnvis utregning:

veggareal før fratrekk: omkrets $2 \cdot (3 + 4) = 14$ m
$14 \cdot 2{,}5 = 35$ m $^2$
dør: $1 \cdot 2 = 2$ m $^2$ og vindu: $1 \cdot 1 = 1$ m $^2$
malt areal ett strøk: $35 - 2 - 1 = 32$ m $^2$
to strøk: $2 \cdot 32 = 64$ m $^2$
liter maling: $64 : 10 = 6{,}4$ L (best dekning) til $64 : 8 = 8$ L (dårligst dekning)
spann: $6{,}4 : 2{,}7 = 2{,}4$ og $8 : 2{,}7 = 3{,}0$
vi må kjøpe hele spann, og med forbruk 8 m $^2$ per liter trenger vi nesten 3
3 spann dekker alle tilfellene

Svar: Du trenger $3$ malingsspann.

Vurdering

Poeng	Krav
Riktig	Malt areal 32 m $^2$ per strøk, 64 m $^2$ til sammen, og 3 spann.
Delvis	Riktig metode, men feil i fratrekk eller antall strøk.
Feil	Ingen riktig fremgangsmåte.

Sensor-tips

Udirs eksempeloppgave 1 til eksamen våren 2009 (utgitt 2008). Poeng og karakterkrav er ikke oppgitt per oppgave her.
Vi maler bare veggene, ikke tak og gulv. Døren og vinduet trekkes fra, siden de ikke skal males.
Du må kjøpe hele malingsspann. Når du får 2,4 spann, kjøper du 3.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksempeloppgave til eksamen på ungdomstrinnet, Vår 2009, Del 1, Oppgave 29

Utdanningsdirektoratet

Vår 2021, Del 2 – Oppgave 8

Med hjelpemidler – 2 poeng

Heron av Alexandria var en ingeniør som fant en formel for sammenhengen mellom arealet av en trekant og lengden av de tre sidene i trekanten.

Figuren viser en trekant med sidene $a$ , $b$ og $c$ og en innskrevet sirkel med sentrum $P$ og radius $r$ .

Herons formel: $A = \sqrt{s \cdot (s - a) \cdot (s - b) \cdot (s - c)}$ der $s = \dfrac{a + b + c}{2}$

a) Sett $a = 10$ m, $b = 8$ m, $c = 6$ m, og bruk Herons formel til å regne ut arealet $A$ av figuren ovenfor.
b) Ta utgangspunkt i figuren ovenfor, og vis at radius i den innskrevne sirkelen på figuren ovenfor kan uttrykkes som $r = \dfrac{2A}{a + b + c}$

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal regne ut arealet med Herons formel, og vise at $r = \frac{2A}{a + b + c}$ .

Strategi og formel: I a) setter vi tallene inn i formelen. I b) deler vi trekanten i tre mindre trekanter fra sentrum $P$ til hver av sidene, og legger sammen arealene.

Trinnvis utregning:

a) $s = \frac{10 + 8 + 6}{2} = 12$
$A = \sqrt{12 \cdot (12 - 10) \cdot (12 - 8) \cdot (12 - 6)}$
$A = \sqrt{12 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6}$
$A = \sqrt{576} = 24$ m $^2$
b) trekker linjer fra $P$ til hjørnene, så trekanten deles i tre trekanter
hver trekant har en av sidene som grunnlinje og $r$ som høyde (radius til berøringspunktet står vinkelrett på siden)
arealene er $\frac{a \cdot r}{2}$ , $\frac{b \cdot r}{2}$ og $\frac{c \cdot r}{2}$
samlet areal: $A = \frac{a r}{2} + \frac{b r}{2} + \frac{c r}{2} = \frac{r(a + b + c)}{2}$
løser for $r$ : $r = \frac{2A}{a + b + c}$
kontroll med tallene i a): $r = \frac{2 \cdot 24}{24} = 2$ m

Svar: a) Arealet er $24$ m $^2$ . b) Se utledningen: $A = \frac{r(a + b + c)}{2}$ gir $r = \frac{2A}{a + b + c}$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	a) 24 m $^2$ med riktig innsetting, og b) en riktig utledning ved å dele trekanten i tre.
1/2	a) riktig, men b) mangler eller er ufullstendig.
0/2	Ingen riktige deler.

Sensor-tips

Radien i den innskrevne sirkelen står vinkelrett på hver side i berøringspunktet. Derfor er $r$ høyden i de tre små trekantene.
Du kan kontrollere svaret i a): trekanten er rettvinklet med katetene 6 og 8, så arealet er $\frac{6 \cdot 8}{2} = 24$ m $^2$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2021, Del 2, Oppgave 8

Utdanningsdirektoratet

Vår 2024, Del 1 – Oppgave 6

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Lise skal ha en ny matboks til å ta med på skolen. Den skal ha form som et prisme.

Foreslå lengder på sidekantene, og finn volumet til den nye matboksen. Forklar valgene dine.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal velge realistiske mål for en matboks formet som et rett, firkantet prisme og regne ut volumet.

Strategi og formel: En matboks som får plass i en skolesekk, er omtrent 18 cm lang, 12 cm bred og 6 cm høy. Volumet av et prisme er lengde ganger bredde ganger høyde.

Trinnvis utregning:

valgte mål: lengde $18$ cm, bredde $12$ cm og høyde $6$ cm
volum: $V = 18 \cdot 12 \cdot 6$
$18 \cdot 12 = 216$
$216 \cdot 6 = 1\ 296$ cm $^3$
$1\ 296$ cm $^3 = 1{,}3$ L

Svar: Matboksen er 18 cm lang, 12 cm bred og 6 cm høy, og volumet er $1\ 296$ cm $^3$ , altså ca. 1,3 liter.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Realistiske mål og riktig utregnet volum, med forklaring på valgene.
1/2	Realistiske mål, men volumet er ikke utregnet riktig, eller omvendt.
0/2	Urealistiske mål og ikke riktig utregnet volum.

Sensor-tips

Bildene i originaloppgaven viser eksempler på matbokser (fotografier fra Pixabay). De er ikke nødvendige, siden oppgaven ber eleven selv foreslå mål.
Realistiske mål betyr mål som en matboks faktisk har. Én meter lang er urealistisk. Forklar for eksempel at boksen må få plass i en skolesekk.
Andre gode forslag: $20 \cdot 14 \cdot 5 = 1\ 400$ cm $^3$ eller $15 \cdot 10 \cdot 7 = 1\ 050$ cm $^3$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2024, Del 1, Oppgave 6