Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2021, Del 1 – Oppgave 13

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Nedenfor ser du en eske. Esken har form som et rett, firkantet prisme. Grunnflaten er merket med sidekantene $x$ og $2x$ , og den vertikale kanten (høyden) er merket $x$ .

a) Arealet av grunnflaten i esken er:

$2x^2$
$x^3$
$2x$
$3x$

b) Volumet av esken er 128 dm³. Hvor høy er esken?

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Hvilket uttrykk (a) som beskriver grunnflatearealet, og hvor høy esken faktisk er i tallverdi (b) når volumet er 128 dm³.

Strategi og formel: Esken er et rett, firkantet prisme med grunnflate $x \cdot 2x$ (et rektangel med sidene $x$ og $2x$ ) og høyde $x$ . Vi bruker at grunnflatearealet er lengde ganger bredde, og at $V = G \cdot h$ til å finne $x$ i b).

Trinnvis utregning:

a) $G = x \cdot 2x = 2x^2$
b) $V = G \cdot h = 2x^2 \cdot x = 2x^3$
$2x^3 = 128$
$x^3 = 64$
$x = \sqrt[3]{64} = 4$

Svar: a) $2x^2$ b) Esken er 4 dm høy (høyden er $x = 4$ )

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Velger riktig uttrykk $2x^2$ i a) OG finner riktig høyde 4 dm i b), med synlig utregning $2x^3=128$ .
1/2	Får riktig svar på ett av delspørsmålene, f.eks. riktig $2x^2$ i a) uten å løse b) riktig, eller riktig høyde 4 dm i b) uten riktig valg i a).
0/2	Velger feil uttrykk i a) (f.eks. $x^3$ , som forveksler areal med volum), eller løser $2x^3=128$ feil i b) (f.eks. ved å glemme kubikkroten og svare 64).

Sensor-tips

Den vanligste distraktoren i a) er $x^3$ – elever som husker at «prisme betyr volum» kan gange feil antall x-er sammen. Grunnflaten er et AREAL (to dimensjoner), ikke et volum (tre dimensjoner).
I b) er det avgjørende steget å ta KUBIKKROTEN av 64, ikke bare dele 128 på en faktor – sjekk at eleven faktisk løser $x^3=64$ fullstendig, ikke stopper ved $2x^3=128$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2021, Del 1, Oppgave 13

Utdanningsdirektoratet

Vår 2017, Del 1 – Oppgave 23

Uten hjelpemidler – 1 poeng

En rett sylinder og et rett, firkantet prisme har samme høyde $h$ .

Sylinderen har radius 3,0 cm. Prismet har grunnflate 3,0 cm * 9,0 cm.

Hvilken av romfigurene har størst volum? Bruk π ≈ 3,14.

Prismet
De har like stort volum
Sylinderen
Det er umulig å avgjøre fordi vi ikke kjenner høyden $h$

Prisme: 3,0 cm * 9,0 cm, høyde h

Sylinder: r = 3,0 cm, høyde h

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Hvilken av de to romfigurene (sylinderen eller prismet) som har størst volum, når begge har samme, ukjente høyde $h$ .

Strategi og formel: Siden begge romfigurene har samme høyde $h$ , avgjør grunnflatearealet ALENE hvilken som har størst volum ( $V = G \cdot h$ ) – vi trenger ikke kjenne $h$ for å svare, bare sammenligne de to grunnflatearealene.

Trinnvis utregning:

Sylinderens grunnflate: $G_{sylinder} = \pi \cdot r^2 = 3{,}14 \cdot 3{,}0^2 = 3{,}14 \cdot 9 = 28{,}26$ cm²
Prismets grunnflate: $G_{prisme} = 3{,}0 \cdot 9{,}0 = 27$ cm²
$28{,}26 > 27$

Svar: Sylinderen har størst volum, siden grunnflaten (28,26 cm²) er større enn prismets (27 cm²) – og begge har samme høyde

Sensorveiledning og poengkrav (maks 1 poeng)

Poeng	Krav
1/1	Svarer «Sylinderen», med riktig argumentasjon om at grunnflatearealene avgjør (28,26 cm² mot 27 cm²) siden høydene er like.
0/1	Feil svar (f.eks. «Prismet», «like stort volum», eller «umulig å avgjøre»), eller riktig svar uten korrekt sammenligning av grunnflatearealene.

Sensor-tips

Denne oppgaven er et direkte eksempel på undertemaets kjerneprinsipp: når høyden er lik, avgjør grunnflatearealet alene hvilket volum som er størst – ingen fullstendig volumberegning er nødvendig.
En vanlig feil er å svare «umulig å avgjøre» fordi $h$ er ukjent – men siden $h$ er FELLES for begge figurene, kansellerer den ut av sammenligningen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 9. trinn matematikk, Vår 2017, Del 1, Oppgave 23