Argumentere for grunnflate ganger høyde

Hvorfor fungerer $V = G \cdot h$ for så mange ulike former? Tenk deg at du bygger prismet eller sylinderen ved å stable tynne, identiske skiver formet som grunnflaten oppå hverandre: én skive per høyde-enhet. Hver skive har et volum lik grunnflatens areal ganger skivens tykkelse. Jo flere (tynnere) skiver du stabler, desto nærmere kommer du den faktiske romfiguren, og summen av alle skivenes volum blir nettopp grunnflatens areal ganger den totale høyden. Dette argumentet fungerer for ENHVER form på grunnflaten, ikke bare rektangler og sirkler. Det er derfor formelen er så generell.

Samme prinsipp, ulik grunnflate
Romfigur	Grunnflate (G)	Volumformel
Rett boks	$l \cdot b$	$V = l \cdot b \cdot h$
Trekantprisme	Trekantareal	$V = G \cdot h$
Sylinder	$\pi \cdot r^2$	$V = \pi \cdot r^2 \cdot h$

Tips

Når to romfigurer har samme høyde, avgjør grunnflatearealet alene hvilken som har størst volum. Du trenger ikke regne ut begge volumene fullt ut for å svare på «hvilken er størst».

Eksempel: Samme høyde, ulik grunnflate

En rett boks (5 cm * 4 cm grunnflate) og en sylinder (radius 3 cm) er begge 6 cm høye. Hvilken har størst volum?

Løsning:

Boks: $G = 5 \cdot 4 = 20$ cm²
$V = 20 \cdot 6 = 120$ cm³. Sylinder: $G = \pi \cdot r^2 = 3{,}14 \cdot 3^2 = 28{,}26$ cm²
$V = 28{,}26 \cdot 6 = 169{,}56$ cm³. Sylinderen har størst volum, fordi grunnflaten (28,26 cm²) er større enn boksens (20 cm²), selv om begge er like høye.

Boks vs. sylinder, samme høyde
Figur	Grunnflate	Volum
Boks	20 cm²	120 cm³
Sylinder	28,26 cm²	169,56 cm³

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41To rette prismer har samme høyde. Prisme A har grunnflate 12 cm², prisme B har grunnflate 20 cm². Hvilket prisme har størst volum: A eller B?

Vis fasit

A: G = 12 cm², B: G = 20 cm²
Samme høyde
størst grunnflate gir størst volum
20 cm² > 12 cm²
B

L-42Forklar med ett ord hvorfor formelen V = G * h fungerer for både firkantede og runde romfigurer: hva er det eneste som faktisk endrer seg fra figur til figur?

Vis fasit

Prinsippet (skiver stablet i høyden) er likt for alle former
det som endrer seg er formen/arealet til grunnflaten

L-43Et prisme og en sylinder har samme volum og samme høyde. Hva vet du da om grunnflatene deres?

Vis fasit

V = G * h er lik for begge, og h er lik
da må G være like store for begge

Middels(3)

M-41En boks (grunnflate 6 cm * 5 cm) og en sylinder (radius 3 cm) skal ha samme volum når begge er 10 cm høye. Regn ut volumet til boksen først.

Vis fasit

G = 6 * 5 = 30 cm²
V = G * h
V = 30 * 10 = 300 cm³

M-42En boks (grunnflate 6 cm * 5 cm, høyde 10 cm) har volumet 300 cm³. Er sylinderens volum (radius 3 cm, høyde 10 cm, bruk π ≈ 3,14) større eller mindre enn boksens?

Vis fasit

Sylinder: V = 3,14 * 3² * 10 = 3,14 * 9 * 10 = 282,6 cm³
282,6 < 300
sylinderens volum er mindre

M-43Et akvarium formet som en rett boks (40 cm * 25 cm grunnflate) og et rundt akvarium (radius 18 cm) er begge 30 cm høye. Hvilket akvarium rommer mest vann: regn ut begge volumene (bruk π ≈ 3,14, avrund til nærmeste hele).

Vis fasit

Boks: G = 40 * 25 = 1 000 cm²
V = 1 000 * 30 = 30 000 cm³
Rundt: G = 3,14 * 18² = 1 017,36 cm²
V = 1 017,36 * 30 = 30 520,8 cm³
30 520,8 > 30 000
Det runde akvariet

Vanskelig(3)

V-41Forklar med skive-argumentet (fra teorien) hvorfor et prisme som er dobbelt så høyt som et annet (med samme grunnflate) også har dobbelt så stort volum.

Vis fasit

Volumet bygges opp av like tykke skiver formet som grunnflaten
dobbel høyde betyr dobbelt så mange skiver stablet oppå hverandre, altså dobbelt volum

V-42En sylinder og et prisme med kvadratisk grunnflate har samme volum: 500 cm³. Sylinderen er 10 cm høy. Hva er grunnflatearealet til sylinderen?

Vis fasit

V = 500 cm³, h = 10 cm
V = G * h
500 = G * 10
G = 500 : 10 = 50 cm²

V-43Om grunnflaten til et prisme dobles OG høyden dobles samtidig, hvor mange ganger større blir volumet?

Vis fasit

V = G * h
ny G er 2G, ny h er 2h
nytt volum = 2G * 2h = 4 * (G * h)
4 ganger større