NumiSum

Faktorisere ved gruppering (AC-metoden)

Har uttrykket tre ledd på formen ax2+bx+cax^2+bx+c med a≠1a \neq 1, og leddene har ingen felles faktor, virker ikke metoden fra forrige undertema direkte. Da bruker du felles faktor i to omganger i stedet: gang aa og cc sammen, og let etter to tall med det produktet som til sammen gir bb. Del opp midtleddet i disse to tallene, og grupper leddene to og to – hver gruppe får da sin egen felles faktor, og de to gruppene deler igjen en felles parentes.

AC-metoden

ax2+bx+c:finn to tall med produkt ac og sum bax^2+bx+c: \text{finn to tall med produkt } ac \text{ og sum } b

Tips

  • Sjekk ALLTID først om leddene har en enkel felles faktor (forrige undertema) – AC-metoden trengs bare når de ikke har det.
  • Fortegn teller: leter du etter to tall med NEGATIVT produkt, må ett tall være positivt og ett negativt. Med POSITIVT produkt og negativ sum, er begge tallene negative.
  • Etter grupperingen skal de to parentesene alltid bli IDENTISKE. Blir de ikke det, er noe regnet feil underveis – prøv et annet tallpar eller sjekk fortegnene på nytt.

Eksempel: Faktorisere ved gruppering

Faktoriser 2x2+7x+32x^2+7x+3.

2x²x6x32x1x3
(x + 3)(2x + 1) tegnet som et areal delt i fire deler
Løsning:
  1. Leddene har ingen felles faktor, og a=2≠1a=2 \neq 1, så vi bruker AC-metoden: a⋅c=2⋅3=6a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6
  2. vi leter etter to tall med produkt 66 og sum 77 (midtleddets koeffisient): vi prøver oss fram gjennom tallparene som gir produkt 66 (altså 11 og 66, eller 22 og 33) til vi finner det paret som OGSÅ gir sum 77
  3. tallene 66 og 11 passer
  4. del opp midtleddet med disse to tallene: 2x2+6x+x+32x^2+6x+x+3
  5. grupper to og to: 2x(x+3)+1(x+3)2x(x+3)+1(x+3)
  6. begge gruppene har nå (x+3)(x+3) felles
  7. (x+3)(2x+1)(x+3)(2x+1).
Alternativ forklaring/metode: Test svaret med et tall

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Kontroll ved innsetting

Er du usikker på om grupperingen ble riktig, sett inn et enkelt tall for xx på begge sider. For 2x2+7x+3=(x+3)(2x+1)2x^2+7x+3=(x+3)(2x+1) med x=1x=1: venstre side gir 2+7+3=122+7+3=12, høyre side gir 4⋅3=124 \cdot 3=12 → like. Det beviser ikke at det stemmer for ALLE xx, men avslører nesten alltid en regnefeil.

Sjekk med x = 1
SideUtregningVerdi
Venstre: 2x2+7x+32x^2+7x+32+7+32+7+312
Høyre: (x+3)(2x+1)(x+3)(2x+1)4⋅34 \cdot 312

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Faktoriser 3x2+7x+23x^2+7x+2 ved gruppering.

Vis fasit
BeregningResultat
a·c = 3·26, to tall med produkt 6 og sum 7: 6 og 1
3x²+6x+x+2
3x(x+2)+1(x+2)
(x + 2)(3x + 1)
  1. a·c = 3·2 = 6, to tall med produkt 6 og sum 7: 6 og 1
  2. 3x²+6x+x+2
  3. 3x(x+2)+1(x+2)
  4. (x + 2)(3x + 1)

L-22Faktoriser 2x2+5x+32x^2+5x+3 ved gruppering.

Vis fasit
BeregningResultat
a·c = 2·36, to tall med produkt 6 og sum 5: 2 og 3
2x²+2x+3x+3
2x(x+1)+3(x+1)
(x + 1)(2x + 3)
  1. a·c = 2·3 = 6, to tall med produkt 6 og sum 5: 2 og 3
  2. 2x²+2x+3x+3
  3. 2x(x+1)+3(x+1)
  4. (x + 1)(2x + 3)

L-23Hvorfor kan du ikke bruke vanlig felles faktor direkte på 2x2+7x+32x^2+7x+3?

Vis fasit
BeregningResultat
2, 7 og 3 har ingen felles tallfaktor, og bare ett ledd har x²
ingen felles faktor i alle tre leddene
  1. 2, 7 og 3 har ingen felles tallfaktor, og bare ett ledd har x²
  2. ingen felles faktor i alle tre leddene
Middels(3)

M-21Faktoriser 5x2+13x+65x^2+13x+6 ved gruppering.

Vis fasit
BeregningResultat
a·c = 5·630, to tall med produkt 30 og sum 13: 10 og 3
5x²+10x+3x+6
5x(x+2)+3(x+2)
(x + 2)(5x + 3)
  1. a·c = 5·6 = 30, to tall med produkt 30 og sum 13: 10 og 3
  2. 5x²+10x+3x+6
  3. 5x(x+2)+3(x+2)
  4. (x + 2)(5x + 3)

M-22Faktoriser 3x2−5x−23x^2-5x-2 ved gruppering.

Vis fasit
BeregningResultat
a·c = 3·(-2)-6, to tall med produkt -6 og sum -5: -6 og 1
3x²-6x+x-2
3x(x-2)+1(x-2)
(x - 2)(3x + 1)
  1. a·c = 3·(-2) = -6, to tall med produkt -6 og sum -5: -6 og 1
  2. 3x²-6x+x-2
  3. 3x(x-2)+1(x-2)
  4. (x - 2)(3x + 1)

M-23Faktoriser 4x2+11x+64x^2+11x+6 ved gruppering.

Vis fasit
BeregningResultat
a·c = 4·624, to tall med produkt 24 og sum 11: 8 og 3
4x²+8x+3x+6
4x(x+2)+3(x+2)
(x + 2)(4x + 3)
  1. a·c = 4·6 = 24, to tall med produkt 24 og sum 11: 8 og 3
  2. 4x²+8x+3x+6
  3. 4x(x+2)+3(x+2)
  4. (x + 2)(4x + 3)
Vanskelig(3)

V-21Faktoriser 6x2+x−26x^2+x-2 ved gruppering.

Vis fasit
BeregningResultat
a·c = 6·(-2)-12, to tall med produkt -12 og sum 1: 4 og -3
6x²+4x-3x-2
2x(3x+2)-1(3x+2)
(3x + 2)(2x - 1)
  1. a·c = 6·(-2) = -12, to tall med produkt -12 og sum 1: 4 og -3
  2. 6x²+4x-3x-2
  3. 2x(3x+2)-1(3x+2)
  4. (3x + 2)(2x - 1)

V-22Faktoriser 4x2−4x−34x^2-4x-3 ved gruppering.

Vis fasit
BeregningResultat
a·c = 4·(-3)-12, to tall med produkt -12 og sum -4: -6 og 2
4x²-6x+2x-3
2x(2x-3)+1(2x-3)
(2x - 3)(2x + 1)
  1. a·c = 4·(-3) = -12, to tall med produkt -12 og sum -4: -6 og 2
  2. 4x²-6x+2x-3
  3. 2x(2x-3)+1(2x-3)
  4. (2x - 3)(2x + 1)

V-23Faktoriser 8x2+2x−38x^2+2x-3 ved gruppering.

Vis fasit
BeregningResultat
a·c = 8·(-3)-24, to tall med produkt -24 og sum 2: 6 og -4
8x²+6x-4x-3
2x(4x+3)-1(4x+3)
(4x + 3)(2x - 1)
  1. a·c = 8·(-3) = -24, to tall med produkt -24 og sum 2: 6 og -4
  2. 8x²+6x-4x-3
  3. 2x(4x+3)-1(4x+3)
  4. (4x + 3)(2x - 1)