Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2017, Del 1 – Oppgave 11

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Skriv så enkelt som mulig:

a) $\frac{a + a + a}{a}$
b) $\frac{a^2 - b^2}{a - b}$

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal forenkle to brøkuttrykk så langt det går.

Strategi og formel: I a) samler vi like ledd i telleren først, og forkorter deretter. I b) kjenner vi igjen telleren $a^2 - b^2$ som konjugatsetningen baklengs – faktoriserer den til $(a-b)(a+b)$ , slik at $(a-b)$ kan forkortes bort mot nevneren.

Trinnvis utregning:

a) $\frac{a+a+a}{a}$
samle like ledd i telleren: $a+a+a=3a$
$\frac{3a}{a} = 3$
b) $\frac{a^2-b^2}{a-b}$
faktoriser telleren med konjugatsetningen: $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$
$\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}$
forkort $(a-b)$ : $a+b$

Svar: a) $3$ b) $a + b$

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Begge uttrykkene er riktig forenklet (a = 3, b = a + b), og b) viser bruk av konjugatsetningen for å faktorisere telleren.
1/2	Ett av uttrykkene er riktig forenklet, eller b) er forsøkt forkortet uten å faktorisere telleren først (f.eks. ved å stryke $a^2$ mot $a$ direkte).
0/2	Ingen av uttrykkene er riktig forenklet, eller ingen fremgangsmåte er vist.

Sensor-tips

Den klassiske fellen i b) er å prøve å forkorte $a^2$ og $a$ direkte i telleren og nevneren, uten å faktorisere først – det gir feil svar. Telleren MÅ skrives som et produkt før noe kan forkortes.
Konjugatsetningen $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ er nøkkelen her – å kjenne igjen mønsteret raskt sparer mye tid på eksamen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2017, Del 1, Oppgave 11

Utdanningsdirektoratet

Vår 2020, Del 1 – Oppgave 12

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Skriv så enkelt som mulig:

a) $a(a + 3) - a^2$
b) $\frac{x^2 - 9}{x - 3}$

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal forenkle to algebraiske uttrykk så langt det går.

Strategi og formel: I a) bruker vi den distributive loven og samler deretter like ledd. I b) kjenner vi igjen telleren $x^2 - 9$ som konjugatsetningen baklengs ( $9 = 3^2$ ) – faktoriserer den til $(x-3)(x+3)$ , slik at $(x-3)$ kan forkortes bort mot nevneren.

Trinnvis utregning:

a) $a(a+3) - a^2$
distribuer: $a^2 + 3a - a^2$
$a^2$ -leddene kansellerer hverandre: $3a$
b) $\frac{x^2-9}{x-3}$
faktoriser telleren med konjugatsetningen ( $9=3^2$ ): $x^2-9 = (x-3)(x+3)$
$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}$
forkort $(x-3)$ : $x+3$

Svar: a) $3a$ b) $x + 3$

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)

Poeng	Krav
2/2	Begge uttrykkene er riktig forenklet (a = 3a, b = x + 3), og b) viser bruk av konjugatsetningen for å faktorisere telleren.
1/2	Ett av uttrykkene er riktig forenklet, eller b) er forsøkt forkortet uten å faktorisere telleren først.
0/2	Ingen av uttrykkene er riktig forenklet, eller ingen fremgangsmåte er vist.

Sensor-tips

I a) er det lett å glemme at $a^2$ og $-a^2$ kansellerer hverandre helt – noen elever lar $a^2$ stå igjen i svaret ved en feiltakelse.
I b) må eleven kjenne igjen at $9 = 3^2$ for å se konjugatsetning-mønsteret – dette er samme prinsipp som i oppgaven fra 2017, bare med tall i stedet for $b$ .

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2020, Del 1, Oppgave 12