NumiSum

Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Numisum.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2017, Del 1 – Oppgave 11

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Skriv så enkelt som mulig:

  • a) a+a+aa\frac{a + a + a}{a}
  • b) a2−b2a−b\frac{a^2 - b^2}{a - b}
Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal forenkle to brøkuttrykk så langt det går.

Strategi og formel: I a) samler vi like ledd i telleren først, og forkorter deretter. I b) kjenner vi igjen telleren a2−b2a^2 - b^2 som konjugatsetningen baklengs: faktoriserer den til (a−b)(a+b)(a-b)(a+b), slik at (a−b)(a-b) kan forkortes bort mot nevneren.

Trinnvis utregning:

  1. a) a+a+aa\frac{a+a+a}{a}
  2. samle like ledd i telleren: a+a+a=3aa+a+a=3a
  3. 3aa=3\frac{3a}{a} = 3
  4. b) a2−b2a−b\frac{a^2-b^2}{a-b}
  5. faktoriser telleren med konjugatsetningen: a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2 = (a-b)(a+b)
  6. (a−b)(a+b)a−b\frac{(a-b)(a+b)}{a-b}
  7. forkort (a−b)(a-b): a+ba+b

Svar: a) 33 b) a+ba + b

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)
PoengKrav
2/2Begge uttrykkene er riktig forenklet (a = 3, b = a + b), og b) viser bruk av konjugatsetningen for å faktorisere telleren.
1/2Ett av uttrykkene er riktig forenklet, eller b) er forsøkt forkortet uten å faktorisere telleren først (f.eks. ved å stryke a2a^2 mot aa direkte).
0/2Ingen av uttrykkene er riktig forenklet, eller ingen fremgangsmåte er vist.

Sensor-tips

  • Den klassiske fellen i b) er å prøve å forkorte a2a^2 og aa direkte i telleren og nevneren, uten å faktorisere først. Det gir feil svar. Telleren MÅ skrives som et produkt før noe kan forkortes.
  • Konjugatsetningen a2−b2=(a−b)(a+b)a^2-b^2=(a-b)(a+b) er nøkkelen her. Å kjenne igjen mønsteret raskt sparer mye tid på eksamen.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2017, Del 1, Oppgave 11

Utdanningsdirektoratet

Vår 2020, Del 1 – Oppgave 12

Uten hjelpemidler – 2 poeng

Skriv så enkelt som mulig:

  • a) a(a+3)−a2a(a + 3) - a^2
  • b) x2−9x−3\frac{x^2 - 9}{x - 3}
Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal forenkle to algebraiske uttrykk så langt det går.

Strategi og formel: I a) bruker vi den distributive loven og samler deretter like ledd. I b) kjenner vi igjen telleren x2−9x^2 - 9 som konjugatsetningen baklengs (9=329 = 3^2): faktoriserer den til (x−3)(x+3)(x-3)(x+3), slik at (x−3)(x-3) kan forkortes bort mot nevneren.

Trinnvis utregning:

  1. a) a(a+3)−a2a(a+3) - a^2
  2. distribuer: a2+3a−a2a^2 + 3a - a^2
  3. a2a^2-leddene kansellerer hverandre: 3a3a
  4. b) x2−9x−3\frac{x^2-9}{x-3}
  5. faktoriser telleren med konjugatsetningen (9=329=3^2): x2−9=(x−3)(x+3)x^2-9 = (x-3)(x+3)
  6. (x−3)(x+3)x−3\frac{(x-3)(x+3)}{x-3}
  7. forkort (x−3)(x-3): x+3x+3

Svar: a) 3a3a b) x+3x + 3

Sensorveiledning og poengkrav (maks 2 poeng)
PoengKrav
2/2Begge uttrykkene er riktig forenklet (a = 3a, b = x + 3), og b) viser bruk av konjugatsetningen for å faktorisere telleren.
1/2Ett av uttrykkene er riktig forenklet, eller b) er forsøkt forkortet uten å faktorisere telleren først.
0/2Ingen av uttrykkene er riktig forenklet, eller ingen fremgangsmåte er vist.

Sensor-tips

  • I a) er det lett å glemme at a2a^2 og −a2-a^2 kansellerer hverandre helt: noen elever lar a2a^2 stå igjen i svaret ved en feiltakelse.
  • I b) må eleven kjenne igjen at 9=329 = 3^2 for å se konjugatsetning-mønsteret. Dette er samme prinsipp som i oppgaven fra 2017, bare med tall i stedet for bb.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2020, Del 1, Oppgave 12

Utdanningsdirektoratet

Vår 2018, Del 2 – Oppgave 6

Med hjelpemidler – 3 poeng

  • a) Daniella teller 20 pulsslag på 15 s.

    Hvor mange pulsslag har hun i løpet av 1 min?

Makspuls er antall slag hjertet maksimalt kan slå per minutt.

En formel for tilnærmet makspuls MM til en person med alder AA er gitt ved

M=211−0,64⋅AM = 211 - 0{,}64 \cdot A

  • b) Alderen til Monica er 25 år. Bruk formelen til å regne ut makspulsen til Monica.

  • c) Lag en formel for alder AA uttrykt ved makspuls MM.

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne pulsen per minutt, makspulsen til Monica og en formel for alder uttrykt ved makspuls.

Strategi og formel: I a) multipliserer vi med 4 fordi 15 sekunder er en fjerdedel av et minutt. I b) setter vi inn i formelen. I c) løser vi formelen for AA ved å flytte ledd og dele på 0,64.

Trinnvis utregning:

  1. a) 11 min er 4⋅154 \cdot 15 s
  2. 4⋅20=804 \cdot 20 = 80 slag per minutt
  3. b) M=211−0,64⋅25=211−16=195M = 211 - 0{,}64 \cdot 25 = 211 - 16 = 195
  4. c) M=211−0,64AM = 211 - 0{,}64A
  5. 0,64A=211−M0{,}64A = 211 - M
  6. A=211−M0,64A = \frac{211 - M}{0{,}64}

Svar: a) Daniella har 80 slag per minutt. b) Monicas makspuls er 195 slag per minutt. c) A=211−M0,64A = \dfrac{211 - M}{0{,}64}.

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)
PoengKrav
3/3a) 80, b) 195 og c) A=211−M0,64A = \frac{211 - M}{0{,}64}.
2/3To av tre riktige.
1/3Ett av tre riktige.
0/3Ingen riktige.

Sensor-tips

  • I c) må en flytte 211 først og så dele HELE uttrykket på 0,64: A=211−M0,64A = \frac{211 - M}{0{,}64}, ikke A=211−M0,64A = 211 - \frac{M}{0{,}64}.
  • Kontroller c) ved å sette inn M=195M = 195: da skal A=25A = 25 komme ut.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 10. trinn matematikk, Vår 2018, Del 2, Oppgave 6