Geometrisk tolkning av polynom-multiplikasjon

$(a + b)(c + d)$ kan tolkes som arealet av et rektangel med sidene $a + b$ og $c + d$ . Del rektangelet inn i fire mindre rektangler med sidene $a, b$ (loddrett) og $c, d$ (vannrett) – arealene av de fire delene er $ac$ , $ad$ , $bc$ og $bd$ , og summen av dem ER $(a+b)(c+d)$ . Dette er nøyaktig samme fire ledd som algebraen gir.

Tips

Kvadratsetningen $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ blir spesielt tydelig geometrisk: et kvadrat med side $a+b$ deles i to kvadrater ( $a^2$ og $b^2$ ) og to like rektangler ( $ab$ hver, altså $2ab$ til sammen).

Eksempel: Areal-modell for (x + 2)(x + 3)

Tegn en arealmodell for $(x + 2)(x + 3)$ og bruk den til å finne produktet.

Rektangel med sidene x+2 og x+3, delt i fire deler

Arealmodell for (x + 2)(x + 3)
	x	3
x	x²	3x
2	2x	6

Løsning:

Vi deler et rektangel med sidene $x + 2$ og $x + 3$ inn i fire deler: et $x \times x$ -kvadrat (areal $x^2$ ), et $x \times 3$ -rektangel (areal $3x$ ), et $2 \times x$ -rektangel (areal $2x$ ) og et $2 \times 3$ -rektangel (areal $6$ )
legg sammen alle fire arealene: $x^2 + 3x + 2x + 6$ . Svaret er $x^2 + 5x + 6$ .

Alternativ forklaring/metode: Gang ut algebraisk som en kryssjekk

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Symbolsk kontroll

Bruk metoden fra «Multiplisere parentes med parentes» som en kryssjekk på arealmodellen: $(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$ – samme svar som arealmodellen ga. De to metodene beskriver nøyaktig samme regnestykke, bare med ulik representasjon (tall/symboler vs. geometri).

(x + 2)(x + 3), kryssjekket algebraisk

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Bruk en arealmodell til å finne $(x + 1)(x + 4)$ .

Vis fasit

(x + 1)(x + 4)

Fire deler: x² + 4x + x + 4 = x² + 5x + 4

L-32Bruk en arealmodell til å finne

(x + 2)(x + 2)

Vis fasit

(x + 2)(x + 2)

Fire deler: x² + 2x + 2x + 4 = x² + 4x + 4

L-33Hvor mange deler blir et rektangel med sidene

a+b

c+d

delt inn i?

Vis fasit

Rektangel med sidene a+b og c+d, delt i fire deler

To ledd på hver side gir 2*2 = 4 deler

Middels(3)

M-31Bruk en arealmodell til å finne

(x + 3)(x + 5)

Vis fasit

(x + 3)(x + 5)

Fire deler: x² + 5x + 3x + 15 = x² + 8x + 15

M-32I arealmodellen for

(x + 2)(x + 3)

: hvilket areal representerer leddet

2x

Vis fasit

(x + 2)(x + 3) – leddet 2x er markert i rektangelet nede til venstre

2 (fra første parentes) ganger x (fra andre parentes)
arealet blir 2x

M-33Bruk en arealmodell til å finne

(x + 4)^2

Vis fasit

(x + 4)²

Fire deler (to like på 4x)
x² + 4x + 4x + 16
x² + 8x + 16

Vanskelig(3)

V-31Forklar geometrisk hvorfor

(a+b)^2

har et midtledd

2ab

, ikke bare

a^2 + b^2

Vis fasit

(a + b)²: to like ab-rektangler gir midtleddet 2ab

Tegn $(a+b)^2$ som et kvadrat med side $a+b$
del det i et a²-kvadrat, et b²-kvadrat og to ab-rektangler (ett på hver side av diagonalen)
2ab er summen av disse to rektanglene

V-32Bruk en arealmodell til å finne $(2x + 1)(x + 3)$ .

Vis fasit

(2x + 1)(x + 3)

Fire deler: 2x² + 6x + x + 3 = 2x² + 7x + 3

V-33Et rektangel har sidene

(x+5)

(x+2)

. Bruk arealmodellen til å finne det totale arealet som et forenklet uttrykk.

Vis fasit

(x + 5)(x + 2)

Fire deler: x² + 2x + 5x + 10 = x² + 7x + 10