Kvadratsetningene

Tre spesielle mønstre dukker opp så ofte at de har egne navn. Første kvadratsetning: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ . Andre kvadratsetning: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ . Konjugatsetningen: $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ . Alle tre kan utledes med vanlig parentesmultiplikasjon. De er bare snarveier for tre vanlige mønstre.

Første kvadratsetning

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Andre kvadratsetning

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Konjugatsetningen

$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

Tips

Den klassiske fellen: $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$ . Midtleddet $2ab$ forsvinner IKKE: sjekk selv med $a=2, b=3$ : $(2+3)^2 = 25$ , men $2^2+3^2 = 13$ .
Konjugatsetningen gir ALDRI et midtledd. De to kryssleddene ( $-ab$ og $+ab$ ) kansellerer alltid hverandre ut.
Konjugatsetningen kan også brukes BAKLENGS, altså for å faktorisere: ser du $a^2 - b^2$ , kan du skrive det om til $(a - b)(a + b)$ . Dette er nyttig for å forkorte brøker der telleren er en differanse av to kvadrater.

Eksempel: Bruke første kvadratsetning

Multipliser ut $(x + 3)^2$ .

(x + 3)²: kvadratet x² og 3², og to like rektangler 3x

Løsning:

Vi bruker første kvadratsetning med $a = x$ og $b = 3$ : $a^2 = x^2$ , $2ab = 2 \cdot x \cdot 3 = 6x$ , $b^2 = 3^2 = 9$
sett sammen. Svaret er $x^2 + 6x + 9$ .

(x + 3)² med første kvadratsetning
Ledd	Verdi
a²	x²
2ab	6x
b²	9
Sum	x² + 6x + 9

Alternativ forklaring/metode: Skriv om til (x + 3)(x + 3) og gang ut

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Utvid som vanlig parentesmultiplikasjon

Hvis du er usikker på kvadratsetningen, kan du alltid falle tilbake på metoden fra forrige undertema: skriv $(x + 3)^2$ som $(x + 3)(x + 3)$ og gang ut ledd for ledd: $x \cdot x + x \cdot 3 + 3 \cdot x + 3 \cdot 3 = x^2 + 3x + 3x + 9 = x^2 + 6x + 9$ : samme svar, og det viser HVORFOR kvadratsetningen fungerer.

(x + 3)(x + 3) gir samme svar som (x + 3)²

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Multipliser ut $(x + 2)^2$ med kvadratsetningen.

Vis fasit

(x + 2)²

a²+2ab+b²: x² + 2*x*2 + 2² = x² + 4x + 4

L-22Multipliser ut

(x - 1)^2

med kvadratsetningen.

Vis fasit

(x - 1)²

a²-2ab+b²: x² - 2*x*1 + 1² = x² - 2x + 1

L-23Multipliser ut

(x + 4)(x - 4)

med konjugatsetningen.

Vis fasit

(x + 4)(x - 4) – kryssleddene kansellerer

a²-b²: x² - 4² = x² - 16

Middels(3)

M-21Multipliser ut

(x + 5)^2

Vis fasit

(x + 5)²

x² + 2*x*5 + 5² = x² + 10x + 25

M-22Multipliser ut

(2x + 1)^2

Vis fasit

(2x + 1)²

(2x)² + 2*2x*1 + 1² = 4x² + 4x + 1

M-23Multipliser ut

(x + 3)(x - 3)

Vis fasit

(x + 3)(x - 3) – kryssleddene kansellerer

x² - 3² = x² - 9

Vanskelig(3)

V-21Multipliser ut

(2x - 3)^2

Vis fasit

(2x - 3)²

(2x)² - 2*2x*3 + 3² = 4x² - 12x + 9

V-22Vis at

(a + b)^2 \neq a^2 + b^2

ved å sette inn

a = 3, b = 4

Vis fasit

(3+4)² = 7² = 49. 3² + 4² = 9 + 16 = 25
49 ≠ 25, midtleddet 2ab kan ikke utelates

(a + b)² kontra a² + b² ved a = 3, b = 4
Uttrykk	Resultat
(a + b)² = (3 + 4)²	49
a² + b² = 3² + 4²	25

V-23Multipliser ut $(3x + 2)(3x - 2)$ med konjugatsetningen.

Vis fasit

(3x + 2)(3x - 2) – kryssleddene kansellerer

(3x)² - 2² = 9x² - 4