Trigonometriske identiteter

En IDENTITET er en likning som gjelder for ALLE vinkler, ikke bare én bestemt. Du kjenner allerede $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ fra Pytagoras' setning på enhetssirkelen. To nye, kraftige identiteter er ADDISJONSFORMLENE, som gir sinus/cosinus av en SUM av vinkler ut fra sinus/cosinus av hver vinkel for seg. Setter du de to vinklene like i addisjonsformelen, får du DOBBEL VINKEL-FORMLENE som spesialtilfelle – en ny identitet «gratis» fra en du allerede har.

Pytagoreisk identitet

$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$

Addisjonsformler

$\sin(a+b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b, \quad \cos(a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$

Dobbel vinkel-formler

$\sin(2a) = 2\sin a \cos a, \quad \cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a$

Fra addisjonsformel til dobbel vinkel
Formel	Spesialtilfelle a=b
sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b	sin(2a) = 2 sin a cos a
cos(a+b) = cos a cos b − sin a sin b	cos(2a) = cos²a − sin²a

Tips

Addisjonsformelen for $\cos(a+b)$ har MINUS, mens $\sin(a+b)$ har PLUSS – den vanligste feilen er å bytte om fortegnene.
$\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a$ kan skrives om med den pytagoreiske identiteten til $1-2\sin^2 a$ eller $2\cos^2 a - 1$ – alle tre er samme identitet, bruk den formen som passer oppgaven best.

Eksempel: Finne sin(75°) med addisjonsformelen

Bruk addisjonsformelen til å finne den EKSAKTE verdien av $\sin(75°)$ , ved å skrive $75° = 45° + 30°$ .

sin(75°) = sin(45°+30°)
Ledd	Verdi
sin45°·cos30°	( $\sqrt{\frac{2}{2}}$ )·( $\sqrt{\frac{3}{2}}$ ) = $\sqrt{\frac{6}{4}}$
cos45°·sin30°	( $\sqrt{\frac{2}{2}}$ )·( $\frac{1}{2}$ ) = $\sqrt{\frac{2}{4}}$
Sum	( $\sqrt{6}$ + $\sqrt{2}$ )/4

Løsning:

Vi bruker addisjonsformelen med $a=45°$ , $b=30°$ : $\sin(45°+30°) = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°$
sett inn kjente verdier: $\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$
$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$ . Den eksakte verdien er $\sin(75°) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$ .

Alternativ forklaring/metode: Sjekk en identitet numerisk før du stoler på den

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Teste identiteten med ett konkret tall

Usikker på om du husker $\cos(2a) = 1 - 2\sin^2 a$ riktig? Test med ETT konkret tall FØR du bruker den i en større utregning: la $a = 30°$ → venstre side: $\cos(60°) = \frac{1}{2}$ → høyre side: $1 - 2\sin^2(30°) = 1 - 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$ → begge sider gir $\frac{1}{2}$ , så identiteten stemmer (for DETTE tallet). Denne testen BEVISER ikke identiteten generelt (§ om moteksempel/bevis fra matematiske bevis-temaet), men avslører raskt om du har husket formelen FEIL, siden en feil formel nesten aldri overlever en tilfeldig tallsjekk.

Test av cos(2a) = 1 − 2sin²a med a=30°
Side	Verdi
cos(60°)	0,5
1 − 2sin²(30°)	1 − 2·0,25 = 0,5

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva er verdien av $\sin^2 t + \cos^2 t$ for ENHVER vinkel $t$ ?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Den pytagoreiske identiteten (potens 2 på begge ledd) gjelder alle vinkler
1

Den pytagoreiske identiteten (potens 2 på begge ledd) gjelder alle vinkler
1

L-22Hvilket fortegn har MINUS-leddet i addisjonsformelen for

\cos(a+b)

Vis fasit

Beregning	Resultat
cos(a+b) har MINUS mellom leddene, ulikt sin(a+b)
cos a cos b − sin a sin b

cos(a+b) har MINUS mellom leddene, ulikt sin(a+b)
cos a cos b − sin a sin b

L-23Skriv dobbel vinkel-formelen for

\sin(2a)

Vis fasit

Beregning	Resultat
Sett b	a i addisjonsformelen for sin(2a)
2 sin a cos a

Sett b=a i addisjonsformelen for sin(2a)
2 sin a cos a

Middels(3)

M-21Bruk addisjonsformelen til å finne

\cos(75°)

, ved å skrive

75° = 45° + 30°

Vis fasit

Beregning	Resultat
cos(45+30) = cos45cos30 - sin45sin30	( $\sqrt{\frac{2}{2}}$ )( $\sqrt{\frac{3}{2}}$ ) - ( $\sqrt{\frac{2}{2}}$ )( $\frac{1}{2}$ )
( $\sqrt{6}$ − $\sqrt{2}$ ) / 4

cos(45+30) = cos45cos30 - sin45sin30 = ( $\sqrt{\frac{2}{2}}$ )( $\sqrt{\frac{3}{2}}$ ) - ( $\sqrt{\frac{2}{2}}$ )( $\frac{1}{2}$ )
( $\sqrt{6}$ − $\sqrt{2}$ ) / 4

M-22Hvis $\sin(t) = 0{,}6$ , hva er $\cos(t)$ (positiv verdi)?

Vis fasit

Beregning	Resultat
sin(t)=0,6 (altså 6 tideler) og sin²+cos²	1
0,6² + cos²t	1
cos²t = 1-0,36	0,64
cos(t) = 0,8

sin(t)=0,6 (altså 6 tideler) og sin²+cos²=1
0,6² + cos²t = 1
cos²t = 1-0,36=0,64
cos(t) = 0,8

M-23Skriv om

\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a

til en form som KUN bruker

\sin a

Vis fasit

Beregning	Resultat
cos(2a): cos²a	1-sin²a (pytagoreisk identitet)
cos(2a)	1-sin²a-sin²a
1 − 2sin²a

cos(2a): cos²a = 1-sin²a (pytagoreisk identitet)
cos(2a) = 1-sin²a-sin²a
1 − 2sin²a

Vanskelig(3)

V-21Bruk dobbel vinkel-formelen til å finne

\sin(90°)

fra

\sin(45°)

\cos(45°)

Vis fasit

Beregning	Resultat
sin(2·45°) = 2·sin45°·cos45° = 2·( $\sqrt{\frac{2}{2}}$ )·( $\sqrt{\frac{2}{2}}$ )	2·0,5
1

sin(2·45°) = 2·sin45°·cos45° = 2·( $\sqrt{\frac{2}{2}}$ )·( $\sqrt{\frac{2}{2}}$ ) = 2·0,5
1

V-22Vis at $\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b$ følger av addisjonsformelen ved å sette $b$ til $-b$ .

Vis fasit

Beregning	Resultat
Sett -b inn i sin(a+b)-formelen
cos(-b)=cos(b) og sin(-b)	-sin(b)
sin(a-b) = sin a cos b − cos a sin b

Sett -b inn i sin(a+b)-formelen
cos(-b)=cos(b) og sin(-b)=-sin(b)
sin(a-b) = sin a cos b − cos a sin b

V-23Forklar hvorfor

\cos(2a) = \cos^2 a - \sin^2 a

1-2\sin^2 a

2\cos^2 a - 1

ALLE er riktige samtidig.

Vis fasit

Beregning	Resultat
cos²a-sin²a = (1-sin²a)-sin²a = 1-2sin²a, eller = cos²a-(1-cos²a)	2cos²a-1
alle tre er samme identitet, bare omskrevet med sin²+cos²=1

cos²a-sin²a = (1-sin²a)-sin²a = 1-2sin²a, eller = cos²a-(1-cos²a) = 2cos²a-1
alle tre er samme identitet, bare omskrevet med sin²+cos²=1