Eksamensoppgaver

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Vår 2025, Del 1 – Oppgave 7

Uten hjelpemidler – 4 poeng

I en sirkel er radius lik $3$ .

Figuren nedenfor viser en vinkel $v$ der toppunktet er plassert i sentrum av sirkelen og buelengden er $4$ .

(Figuren viser en sirkel med sentrum i origo. En vinkel $v$ med toppunkt i sentrum spenner ut en bue med lengde $4$ , og de to radiene som avgrenser vinkelen har lengde $3$ .)

a) Hvor stor er vinkelen $v$ gitt i

radianer?
grader?

Om en annen vinkel $u$ får du vite at $u\in\left\langle 0,\dfrac{\pi}{2}\right\rangle$ og $\tan u=2$ .

b) Bestem de eksakte verdiene til $\sin u$ og $\cos u$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) bruker vi definisjonen av radian (buelengde delt på radius) og omregningen mellom radianer og grader. I b) skal vi finne eksakte trigonometriske verdier ut fra en oppgitt tangensverdi, uten å bruke kalkulator.

Strategi og formel: a) Radianmål er definert som $v=\dfrac{\text{buelengde}}{\text{radius}}$ . Omregning til grader bruker at $\pi$ radianer $=180°$ . b) Tegn en rettvinklet trekant der $\tan u=\dfrac{\text{motstående}}{\text{hosliggende}}=\dfrac{2}{1}$ , bruk Pytagoras til å finne hypotenusen, og les av $\sin u$ og $\cos u$ direkte (begge positive siden $u$ er i første kvadrant).

Trinnvis utregning:

a) $v=\dfrac{\text{buelengde}}{\text{radius}}=\dfrac{4}{3}$ radianer.
I grader: $v=\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{180°}{\pi}=\dfrac{240°}{\pi}\approx 76{,}4°$ . b) $\tan u=2=\dfrac{2}{1}$ , så i en rettvinklet trekant er motstående katet $2$ og hosliggende katet $1$ .
Hypotenus: $\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$ .
$\sin u=\dfrac{2}{\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ , $\cos u=\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ (begge positive siden $u\in\left\langle 0,\frac{\pi}{2}\right\rangle$ ).

Svar: a) $v=$ $\dfrac{4}{3}$ radianer $\approx$ $76{,}4°$ . b) $\sin u=$ $\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$ og $\cos u=$ $\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Bruker riktig definisjon av radian i a) og regner riktig om til grader, og bygger i b) en korrekt rettvinklet trekant fra $\tan u=2$ som gir riktig eksakte verdier for $\sin u$ og $\cos u$ .
2/4	Riktig i a), men glemmer i b) å rasjonalisere nevneren (lar svaret stå som $\frac{2}{\sqrt5}$ i stedet for $\frac{2\sqrt5}{5}$ – akseptabelt matematisk, men ofte krevd eksplisitt i eksamenssvar) eller bommer på hypotenusen.
0/4	Forveksler radian-definisjonen (deler radius på buelengde i stedet for omvendt), og setter i b) opp trekanten med feil katet som teller/nevner.

Sensor-tips

Radian-definisjonen $v=\frac{\text{bue}}{\text{radius}}$ er en av de mest grunnleggende definisjonene i R2-pensum – en elev som ikke husker den utenat bør likevel kunne utlede den fra at hele sirkelen (buelengde $2\pi r$ ) svarer til vinkelen $2\pi$ .
I b) er det viktig at BEGGE de trigonometriske verdiene er POSITIVE, siden $u$ er oppgitt å ligge i første kvadrant $\left(0,\frac{\pi}{2}\right)$ – sjekk at eleven ikke automatisk setter et negativt fortegn på en av verdiene.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R2 matematikk, Vår 2025, Del 1, Oppgave 7

Utdanningsdirektoratet

Høst 2024, Del 1 – Oppgave 4

Uten hjelpemidler – 4 poeng

a) Hva er definisjonen av det absolutte vinkelmålet (radianen) til en vinkel? Hvor mange radianer er $80°$ ?

b) Finn de eksakte verdiene til $\cos v$ og $\tan v$ når $\sin v=-\dfrac{1}{4}$ og $v\in\left[\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right]$ .

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? I a) skal vi gjengi definisjonen av radian og bruke den til en konkret omregning. I b) skal vi finne de resterende trigonometriske verdiene ut fra én kjent verdi og informasjon om hvilken kvadrant vinkelen ligger i.

Strategi og formel: a) Radianmål er buelengden til enhetssirkelen delt på radius (som er $1$ ), altså buelengden selv. Bruk $180°=\pi$ radianer til omregningen. b) Bruk identiteten $\sin^2v+\cos^2v=1$ til å finne $\cos^2v$ , og avgjør fortegnet ut fra hvilken kvadrant $v$ ligger i (tredje kvadrant: BÅDE sinus og cosinus er negative der). Bruk deretter $\tan v=\dfrac{\sin v}{\cos v}$ .

Trinnvis utregning:

a) Radianen til en vinkel er definert som buelengden vinkelen spenner ut på ENHETSSIRKELEN (radius $1$ ).
$80°=80\cdot\dfrac{\pi}{180}=\dfrac{4\pi}{9}$ radianer. b) $\cos^2v=1-\sin^2v=1-\left(-\dfrac{1}{4}\right)^2=1-\dfrac{1}{16}=\dfrac{15}{16}$ .
$\cos v=\pm\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ .
$v\in\left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right]$ er TREDJE kvadrant, der cosinus er NEGATIV: $\cos v=-\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ .
$\tan v=\dfrac{\sin v}{\cos v}=\dfrac{-\frac{1}{4}}{-\frac{\sqrt{15}}{4}}=\dfrac{1}{\sqrt{15}}=\dfrac{\sqrt{15}}{15}$ .

Svar: a) Radianen er buelengden på enhetssirkelen; $80°=$ $\dfrac{4\pi}{9}$ radianer. b) $\cos v=$ $-\dfrac{\sqrt{15}}{4}$ og $\tan v=$ $\dfrac{\sqrt{15}}{15}$ .

Sensorveiledning og poengkrav (maks 4 poeng)

Poeng	Krav
4/4	Gjengir riktig definisjon av radian og regner korrekt om $80°$ i a), og bruker i b) $\sin^2v+\cos^2v=1$ riktig, velger RIKTIG fortegn for $\cos v$ ut fra kvadranten, og regner riktig ut $\tan v$ .
2/4	Riktig i a) og riktig $\|\cos v\|=\frac{\sqrt{15}}{4}$ i b), men velger feil fortegn (positivt i stedet for negativt) fordi tredje kvadrant ikke ble identifisert riktig.
0/4	Feil radian-omregning i a) (f.eks. multipliserer i stedet for å dividere med $\frac{\pi}{180}$ ), og bruker i b) feil identitet (f.eks. $\sin v+\cos v=1$ ) for å finne $\cos v$ .

Sensor-tips

Fortegnsvalget i b) er selve kjernen i oppgaven – en elev som finner riktig TALLVERDI $\frac{\sqrt{15}}{4}$ for $\cos v$ , men glemmer at tredje kvadrant gir NEGATIV cosinus, har bommet på det viktigste poenget selv om regningen ellers er riktig.
Husk fortegnsregelen for tredje kvadrant: BÅDE sinus og cosinus er negative der (tangens er derfor POSITIV, siden negativ delt på negativ blir positivt) – dette bør sjekkes eksplisitt, ikke bare gjettes.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen R2 matematikk, Høst 2024, Del 1, Oppgave 4