Radianer og enhetssirkelen

En RADIAN er vinkelen der buelengden er like lang som radien – en hel omdreining ( $360°$ ) tilsvarer $2\pi$ radianer. På ENHETSSIRKELEN (radius $1$ , sentrum i origo) definerer et punkt ved vinkelen $t$ (målt fra positiv $x$ -akse) koordinatene $(\cos t,\ \sin t)$ direkte – ingen trekant nødvendig. Dette er den NYE, generelle definisjonen: den fungerer for ENHVER vinkel, også vinkler over $90°$ eller negative vinkler, ikke bare de som passer inn i en rettvinklet trekant.

Grader til radianer

$\text{radianer} = \text{grader} \cdot \dfrac{\pi}{180}$

Enhetssirkelens definisjon

$(\cos t,\ \sin t)$ er koordinatene til punktet ved vinkel $t$

Vanlige vinkler i grader og radianer
Grader	Radianer
30°	π/6
45°	π/4
60°	π/3
90°	π/2
180°	π
360°	2π

Tips

Radianer er IKKE en «vanskeligere» enhet – de er ofte enklere, siden en hel runde alltid er $2\pi$ , en halv runde alltid $\pi$ , uansett hvilken sirkel du ser på.
Bruk REFERANSEVINKELEN (vinkelen ned til nærmeste del av $x$ -aksen) og et fortegnsskjema for kvadranten – da slipper du å pugge sinus/cosinus for alle vinkler over $90°$ .

Eksempel: Finne sinus og cosinus til 120°

Konverter $120°$ til radianer, og finn $\sin(120°)$ og $\cos(120°)$ ved hjelp av enhetssirkelen.

Fra 120° til enhetssirkelen
Steg	Verdi
I radianer	120 · π/180 = 2π/3
Referansevinkel	180° − 120° = 60°
sin(120°)	+sin(60°) = $\sqrt{\frac{3}{2}}$
cos(120°)	−cos(60°) = − $\frac{1}{2}$

Løsning:

Vi konverterer først: $120° \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{2\pi}{3}$ radianer
$120°$ ligger i ANDRE KVADRANT, med referansevinkel $180° - 120° = 60°$
i andre kvadrant er $\sin$ POSITIV og $\cos$ NEGATIV
$\sin(120°) = \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ , og $\cos(120°) = -\cos(60°) = -\frac{1}{2}$ . Vinkelen $120°$ tilsvarer $\frac{2\pi}{3}$ radianer, med $\sin(120°)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ og $\cos(120°)=-\frac{1}{2}$ .

Alternativ forklaring/metode: Tegn punktet direkte i stedet for å bruke referansevinkel

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Direkte avlesning på enhetssirkelen

I stedet for å regne med referansevinkel og fortegnsregel, tegn enhetssirkelen og marker punktet ved $120°$ direkte (målt mot klokka fra positiv $x$ -akse). Les av at $x$ -koordinaten (cosinus) er negativ, siden punktet ligger til VENSTRE for $y$ -aksen, og at $y$ -koordinaten (sinus) er positiv, siden punktet ligger OVER $x$ -aksen. Denne visuelle metoden gir samme svar, men er nyttig når du er usikker på fortegnsreglene og vil se dem direkte i figuren i stedet for å huske dem.

Fortegn i de fire kvadrantene
Kvadrant	sin	cos
1 (0°–90°)	+	+
2 (90°–180°)	+	−
3 (180°–270°)	−	−
4 (270°–360°)	−	+

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Hvor mange radianer er en hel omdreining (360°)?

Vis fasit

Beregning	Resultat
360° i radianer: 360 · π/180
2π

360° i radianer: 360 · π/180
2π

L-12Konverter

90°

til radianer.

Vis fasit

Beregning	Resultat
90 · π/180
π/2

90 · π/180
π/2

L-13Konverter

\frac{\pi}{6}

radianer til grader.

Vis fasit

Beregning	Resultat
π/6 delt på π ganger 180
30°

π/6 delt på π ganger 180
30°

Middels(3)

M-11Konverter

270°

til radianer.

Vis fasit

Beregning	Resultat
270 · π/180
3π/2

270 · π/180
3π/2

M-12Finn

\sin(150°)

\cos(150°)

ved hjelp av referansevinkel.

Vis fasit

Beregning	Resultat
150° i andre kvadrant, referansevinkel 180-150	30°
sin positiv, cos negativ
sin(150°)= $\frac{1}{2}$ , cos(150°)=− $\sqrt{\frac{3}{2}}$

150° i andre kvadrant, referansevinkel 180-150=30°
sin positiv, cos negativ
sin(150°)= $\frac{1}{2}$ , cos(150°)=− $\sqrt{\frac{3}{2}}$

M-13I hvilken kvadrant er $\sin$ negativ, men $\cos$ positiv?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Sjekk fortegnstabellen for hver av de fire kvadrantene
fjerde kvadrant

Sjekk fortegnstabellen for hver av de fire kvadrantene
fjerde kvadrant

Vanskelig(3)

V-11Finn

\sin(210°)

\cos(210°)

Vis fasit

Beregning	Resultat
210° i tredje kvadrant, referansevinkel 210-180	30°
begge negative
sin(210°)=− $\frac{1}{2}$ , cos(210°)=− $\sqrt{\frac{3}{2}}$

210° i tredje kvadrant, referansevinkel 210-180=30°
begge negative
sin(210°)=− $\frac{1}{2}$ , cos(210°)=− $\sqrt{\frac{3}{2}}$

V-12Finn $\sin(300°)$ og $\cos(300°)$ .

Vis fasit

Beregning	Resultat
300° i fjerde kvadrant, referansevinkel 360-300	60°
sin negativ, cos positiv
sin(300°)=− $\sqrt{\frac{3}{2}}$ , cos(300°)= $\frac{1}{2}$

300° i fjerde kvadrant, referansevinkel 360-300=60°
sin negativ, cos positiv
sin(300°)=− $\sqrt{\frac{3}{2}}$ , cos(300°)= $\frac{1}{2}$

V-13Forklar hvorfor enhetssirkel-definisjonen $(\cos t, \sin t)$ fungerer for VINKLER OVER 90°, mens den rettvinklede trekant-definisjonen fra 1T ikke gjør det.

Vis fasit

Beregning	Resultat
En trekant har vinkelsum 180° og ingen vinkel over 90° i den rettvinklede
et sirkelpunkt kan derimot ligge ved enhver vinkel 0°–360° og utover
enhetssirkelen generaliserer definisjonen til alle vinkler

En trekant har vinkelsum 180° og ingen vinkel over 90° i den rettvinklede
et sirkelpunkt kan derimot ligge ved enhver vinkel 0°–360° og utover
enhetssirkelen generaliserer definisjonen til alle vinkler