Trigonometriske funksjoner i praktiske modeller

Periodiske fenomener: ting som gjentar seg med jevne mellomrom, som et pariserhjul, tidevann eller lydbølger: modelleres naturlig med trigonometriske funksjoner. En generell modell er $h(t) = A \cdot \cos(\omega t) + D$ (eller med $\sin$ ), der AMPLITUDEN $A$ er hvor mye verdien svinger over/under midten, $D$ er MIDTVERDIEN (vertikal forskyvning), og PERIODEN $T = \frac{2\pi}{\omega}$ er tiden for én hel svingning.

Periodisk modell

$h(t) = A \cdot \cos(\omega t) + D$

Perioden

$T = \dfrac{2\pi}{\omega}$

Delene i en periodisk modell A·cos(ωt)+D
Symbol	Betydning
A	Amplitude – hvor mye verdien svinger fra midten
D	Midtverdi (vertikal forskyvning)
T = 2π/ω	Perioden – tid for én hel svingning

Tips

Finn AMPLITUDEN som $\frac{\text{maks} - \text{min}}{2}$ og MIDTVERDIEN som $\frac{\text{maks} + \text{min}}{2}$ : to enkle utregninger fra de ytterste verdiene i en praktisk situasjon.
Sjekk ALLTID om oppgaven bruker $\sin$ eller $\cos$ som utgangspunkt. De gir SAMME kurveform, bare forskjøvet en kvart periode i forhold til hverandre.

Eksempel: Høyden til en pariserhjul-passasjer over tid

Et pariserhjul har radius $8$ m, sentrum $10$ m over bakken, og bruker $30$ sekunder på én runde. En passasjer starter ved LAVESTE punkt ved $t=0$ . Modellen for høyden er $h(t) = 10 - 8\cos\left(\frac{2\pi t}{30}\right)$ meter. Finn høyden ved $t=0$ og ved $t=15$ sekunder, og forklar hva de to tidspunktene representerer.

Løsning:

Vi setter inn $t=0$ : $h(0) = 10 - 8\cos(0) = 10 - 8 \cdot 1 = 2$
passasjeren starter $2$ m over bakken, som stemmer med «laveste punkt»
sett inn $t=15$ (halve perioden, siden $T=30$ ): $h(15) = 10 - 8\cos(\pi) = 10 - 8 \cdot (-1) = 18$
etter $15$ sekunder er passasjeren ved det HØYESTE punktet. Høyden er $2$ m ved start og $18$ m ved høyeste punkt, nådd etter $15$ sekunder.

Høyden ved t=0 og t=15
Tidspunkt	Regning	Høyde
t = 0	10 − 8·cos(0) = 10−8	2 m (laveste punkt)
t = 15	10 − 8·cos(π) = 10+8	18 m (høyeste punkt)

Alternativ forklaring/metode: Samme bevegelse, uttrykt med sin i stedet for cos

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Skrive modellen om med sinus i stedet for cosinus

Enhver cosinus-modell kan skrives om til en sinus-modell med et FASESKIFT, og omvendt. De beskriver nøyaktig samme kurve. For pariserhjulet: $h(t) = 10 - 8\cos\left(\frac{2\pi t}{30}\right)$ kan skrives $h(t) = 10 + 8\sin\left(\frac{2\pi t}{30} - \frac{\pi}{2}\right)$ . Begge gir NØYAKTIG samme høyde ved ethvert tidspunkt, siden $8\sin(\theta - \frac{\pi}{2}) = -8\cos(\theta)$ (addisjonsformelen for sinus med $b=-\frac{\pi}{2}$ gir nettopp dette). Hvilken form du bruker er en smakssak, ikke en forskjell i selve modellen.

To former, samme kurve
Form	Uttrykk for h(t)
Med cosinus	10 − 8cos(2πt/30)
Med sinus (faseskift)	10 + 8sin(2πt/30 − π/2)

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva kalles $A$ i modellen $h(t) = A\cos(\omega t) + D$ ?

Vis fasit

A styrer hvor mye verdien svinger fra midten
amplituden

L-32Hva kalles $D$ i modellen $h(t) = A\cos(\omega t) + D$ ?

Vis fasit

D flytter hele kurven opp eller ned
midtverdien

L-33Hva er perioden til $h(t) = 5\cos(4t) + 3$ ?

Vis fasit

Perioden er 2π delt på ω=4
π/2

Middels(3)

M-31En temperaturmodell svinger mellom $10°$ C og $30°$ C. Finn amplituden og midtverdien.

Vis fasit

Amplitude = (30-10)/2 = 10, midtverdi = (30+10)/2 = 20

M-32For pariserhjulet $h(t) = 10 - 8\cos\left(\frac{2\pi t}{30}\right)$ : finn høyden ved $t = 7{,}5$ sekunder (en kvart runde). Svar i m.

Vis fasit

t=7,5 gir vinkel 2π·7, $\frac{5}{30}$ = π/2
cos(π/2)=0
h = 10-8·0 = 10 m

M-33For pariserhjulet $h(t) = 10 - 8\cos\left(\frac{2\pi t}{30}\right)$ er høyden ved $t = 7{,}5$ sekunder (en kvart runde) $10$ m, lik midtverdien. Forklar hva $t=7{,}5$ sekunder representerer fysisk for pariserhjulet.

Vis fasit

Ved t=7,5, altså 7 og en halv sekund inn i runden, er høyden 10 m, nøyaktig midtverdien (senterhøyden)
passasjeren er på siden av hjulet, verken øverst eller nederst

Vanskelig(3)

V-31For pariserhjulet: finn tidspunktene $t$ i intervallet $[0, 30]$ der høyden er $14$ m.

Vis fasit

10-8cos(2πt/30)=14
cos(2πt/30) = -0,5
2πt/30 = 2π/3 eller 4π/3
t=10 s og t=20 s

V-32En lydbølge har modell $p(t) = 3\sin(200\pi t)$ . Finn amplituden og perioden.

Vis fasit

Amplitude er koeffisienten foran sin, 3
periode = 2π delt på 200π = $\frac{1}{100}$ sekund

V-33Forklar hvorfor $h(t) = 10 + 8\sin\left(\frac{2\pi t}{30} - \frac{\pi}{2}\right)$ gir SAMME graf som $h(t) = 10 - 8\cos\left(\frac{2\pi t}{30}\right)$ , uten å regne ut begge ved et konkret tidspunkt.

Vis fasit

8sin(θ-π/2) = 8[sinθ·cos(π/2) - cosθ·sin(π/2)] = 8[0-cosθ]
-8cosθ, altså algebraisk identisk med cosinus-formen