Bevis

Du forventes å kunne dette beviset til eksamen

Forutsetninger:

Enhetssirkelens definisjon (undertema «Radianer og enhetssirkelen»): punktet ved vinkel $t$ , målt fra positiv $x$ -akse, har koordinater $(\cos t,\ \sin t)$ , og ligger på sirkelen med radius $1$ og sentrum i origo.
Pytagoras' setning (kjent fra trigonometri/1T): i en rettvinklet trekant er summen av kvadratene på katetene lik kvadratet på hypotenusen. 1T viste allerede $\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ for SPISSE vinkler $A$ ( $0°$ – $90°$ ) direkte fra en rettvinklet trekant – dette beviset generaliserer identiteten til Å GJELDE FOR ENHVER VINKEL $t$ , ved å bruke enhetssirkel-definisjonen i stedet for en trekant.

La $P = (x, y)$ være punktet på enhetssirkelen ved vinkel $t$ , altså $x = \cos t$ og $y = \sin t$ (enhetssirkelens definisjon):
$P = (x, y) = (\cos t,\ \sin t)$
For en VILKÅRLIG vinkel $t$ – også over $90°$ , eller negativ – kan man lage en rettvinklet trekant med hjørner i origo $O$ , punktet $P$ , og punktet $(x, 0)$ på $x$ -aksen. Denne trekanten har kateter $|x|$ og $|y|$ , og hypotenus lik avstanden fra $O$ til $P$ :
$\text{katet}_1 = |x|, \quad \text{katet}_2 = |y|, \quad \text{hypotenus} = |OP|$
Siden $P$ ligger PÅ enhetssirkelen (radius $1$ , sentrum $O$ ), er avstanden fra $O$ til $P$ nøyaktig $1$ :
$|OP| = 1$
Pytagoras' setning på denne trekanten gir da – og siden kvadrering fjerner fortegnet ( $|x|^2=x^2$ og $|y|^2=y^2$ ), gjelder dette uansett hvilken kvadrant $P$ ligger i:
$|x|^2 + |y|^2 = |OP|^2 = 1^2 \quad \Rightarrow \quad x^2 + y^2 = 1$
Sett inn $x=\cos t$ og $y=\sin t$ fra første steg:
$\cos^2 t + \sin^2 t = 1$

$\sin^2 t + \cos^2 t = 1$