Proporsjonale størrelser

To størrelser er proporsjonale når den ene alltid er det samme TALLET ganger den andre: $y = k \cdot x$ . Tallet $k$ kalles proporsjonalitetskonstanten, og du finner den ved å dele: $k = \frac{y}{x}$ . Kjennetegnet er at forholdet mellom dem er likt uansett hvilket par du regner på, og at grafen blir en rett linje GJENNOM ORIGO. At linja går gjennom origo er avgjørende: null meter kabel må koste null kroner. En pris med et fast oppmøtegebyr er derfor IKKE proporsjonal, selv om grafen er en rett linje.

Proporsjonalitet

$y = k \cdot x$

Konstanten

$k = \frac{y}{x}$

Pris = 150 * antall liter – rett linje gjennom origo

Tips

Test med to talpar: regn ut $\frac{y}{x}$ for begge. Får du samme tall, er sammenhengen proporsjonal.
Rett linje er ikke nok. Den må gå gjennom origo. Et fastledd (oppmøtegebyr, abonnement) ødelegger proporsjonaliteten.

Eksempel: Kjenne igjen og bruke proporsjonalitet

$6$ liter maling koster $900$ kr. Er pris og mengde proporsjonale, og hva koster $10$ liter?

Løsning:

Vi har $6$ liter til $900$ kr
literprisen finner vi ved å dele: $900 : 6 = 150$
literprisen er den samme uansett mengde, og null liter koster null kroner, så sammenhengen ER proporsjonal med $k = 150$
formelen blir $y = 150x$
sett inn $x = 10$ : $150 \cdot 10$ . Ti liter koster $1\ 500$ kr.

Forholdet er likt i hver rad
Liter	Pris	Pris : liter
6	900 kr	150
8	1 200 kr	150
10	1 500 kr	150

Alternativ forklaring/metode: Finn verdien for én enhet først

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Klassisk «gå veien om én»

I stedet for å sette opp en formel kan du regne ut hva ÉN enhet koster, og gange opp. Her: $900 : 6 = 150$ kr per liter, deretter $150 \cdot 10 = 1\ 500$ kr. Metoden er den samme regningen, men uten bokstaver, og den er ofte raskere på enkle oppgaver på jobb. Ulempen er at du ikke får skrevet ned sammenhengen, og da er det vanskeligere å svare på oppfølgingsspørsmål som «hvor mange liter får du for $3\ 000$ kr?».

Gå veien om én enhet
Steg	Verdi
Pris per liter	900 : 6 = 150 kr
10 liter	150 · 10 = 1 500 kr

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva må være sant om grafen til to proporsjonale størrelser?

Vis fasit

Proporsjonalitet betyr y = $k \cdot x$
ved x = 0 blir y = 0
rett linje gjennom origo

Proporsjonalitet
x	y
0	0 (origo)

L-22 $5$ kg spiker koster $175$ kr. Hva er kiloprisen? Svar i kroner.

Vis fasit

5 kg til 175 kr
$\frac{175}{5} =$ 35 kr per kg

Kilopris
Vekt	Pris
5 kg	175 kr
1 kg	35 kr

L-23I $y = 9x$ : hva er proporsjonalitetskonstanten?

Vis fasit

y = 9x har formen y = $k \cdot x$
k = 9

Proporsjonalitetskonstant
Formel	k
y = 9x	9

Middels(3)

M-21 $8$ liter diesel koster $176$ kr. Hva koster $12$ liter? Svar i kroner.

Vis fasit

8 liter til 176 kr
$\frac{176}{8} = 22$ per liter
$22 \cdot 12 =$ 264 kr

Diesel
Liter	Pris
8	176 kr
12	264 kr

M-22 $3$ planker koster $267$ kr. Hva koster $7$ planker? Svar i kroner.

Vis fasit

3 planker til 267 kr
$\frac{267}{3} = 89$ per planke
$89 \cdot 7 =$ 623 kr

Planker
Antall	Pris
3	267 kr
7	623 kr

M-23Er $y = 4x + 15$ proporsjonal?

Vis fasit

y = 4x + 15 gir y = 15 når x = 0
linja går ikke gjennom origo
nei

Fastledd
Formel	y ved x=0
y = 4x + 15	15, ikke 0

Vanskelig(3)

V-21En rørlegger tar $450$ kr per time. Hvor mange timer tilsvarer en regning på $3\ 150$ kr? Svar i timer.

Vis fasit

450 kr per time og 3 150 kr
$\frac{3\,150}{450} =$ 7 timer

Rørlegger
Beløp	Timer
3 150 kr	7

V-22En tabell viser $(4, 52)$ og $(6, 81)$ . Er størrelsene proporsjonale?

Vis fasit

$\frac{52}{4} = 13$ , men $\frac{81}{6} = 13{,}5$
forholdet er ikke likt
nei

Test av forhold
Punkt	y : x
(4, 52)	13
(6, 81)	13,5 (ulikt)

V-23Et verktøyabonnement koster $199$ kr fast pluss $15$ kr per utlånt plagg. Er pris og antall plagg proporsjonale?

Vis fasit

199 kr påløper selv ved 0 plagg
linja går ikke gjennom origo
nei, bare lineær

Verktøyabonnement
Plagg	Pris
0	199 kr (ikke 0)