Omvendt proporsjonalitet

To størrelser er omvendt proporsjonale når PRODUKTET av dem er konstant: $x \cdot y = k$ , som også kan skrives $y = \frac{k}{x}$ . Dobler du den ene, halveres den andre. Typiske eksempler fra arbeidslivet er ansatte og tid ( $8$ malere bruker halvparten så lang tid som $4$ ), fart og reisetid, og antall personer som deler på en fast arbeidsmengde. Grafen er ikke en linje, men en kurve som nærmer seg aksene uten å nå dem, og den går aldri gjennom origo.

$x \cdot y = k$

Løst for y

$y = \frac{k}{x}$

Antall tømrere * dager = 48: dobbelt så mange gir halve tida

Tips

Test med to talpar: gang $x \cdot y$ for begge. Får du samme tall, er sammenhengen omvendt proporsjonal.
Spør deg selv: blir den andre størrelsen STØRRE eller MINDRE når den første øker? Større betyr proporsjonal, mindre betyr omvendt.

Eksempel: Tømrere og tid

$4$ tømrere bruker $12$ dager på et byggeprosjekt. Hvor lang tid bruker $6$ tømrere, om alle jobber like fort?

Løsning:

Vi har $4$ tømrere og $12$ dager
flere tømrere gir KORTERE tid, så dette er omvendt proporsjonalt
da er produktet konstant: $k = 4 \cdot 12 = 48$ (altså $48$ dagsverk til sammen)
med $6$ tømrere er $6 \cdot y = 48$
del begge sider på $6$ : $y = 48 : 6$ . Seks tømrere bruker $8$ dager.

Produktet er likt i hver rad
Tømrere	Dager	Produkt
4	12	48
6	8	48
12	4	48

Alternativ forklaring/metode: Regn ut den totale arbeidsmengden først

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Tenk i dagsverk

I stedet for å bruke formelen, tenk på hvor mye arbeid prosjektet krever til sammen: $4$ tømrere i $12$ dager er $48$ dagsverk. Det tallet endrer seg ikke uansett hvor mange som jobber. Det er nettopp konstanten $k$ . Deler du $48$ dagsverk på $6$ tømrere, får du $8$ dager. Metoden gir samme svar, men med en enhet (dagsverk/timeverk) du kan resonnere om, og den brukes ofte i reelle anbud og bemanningsplaner.

Total arbeidsmengde
Steg	Verdi
Dagsverk totalt	4 · 12 = 48
Med 6 tømrere	48 : 6 = 8 dager

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hva er konstant ved omvendt proporsjonalitet?

Vis fasit

Omvendt proporsjonalitet betyr at $x \cdot y$ er fast
produktet

Omvendt proporsjonalitet
Konstant	Uttrykk
Produktet	x · y = k

L-32 $x \cdot y = 36$ og $x = 4$ . Hva er $y$ ?

Vis fasit

$x \cdot y = 36$ og x = 4
y = $\frac{36}{4} =$ 9

x · y = 36
x	y
4	9

L-33Dobler du antall ansatte på en jobb, hva skjer med tida?

Vis fasit

2 ganger så mange ansatte
produktet er fast
tida halveres

Doblet antall
Ansatte	Tid
x2	halvert

Middels(3)

M-31 $5$ elektrikere bruker $8$ timer på en jobb. Hvor lenge bruker $10$ elektrikere? Svar i timer.

Vis fasit

5 elektrikere og 8 timer
produktet er 40
$\frac{40}{10} =$ 4 timer

Elektrikere og tid
Elektrikere	Timer
5	8
10	4

M-32En lastebil kjører en strekning på $4$ timer i $70$ km/t. Hvor lang tid tar det i $80$ km/t? Svar i timer.

Vis fasit

4 timer i 70 km/t
strekningen er 280 km
$\frac{280}{80} =$ 3,5 timer

Fart og tid
Fart	Tid
70 km/t	4 t
80 km/t	3,5 t

M-33 $8$ malere brukte $6$ dager på en jobb. Hvor mange malere trengs for å gjøre den samme jobben på $4$ dager? Svar med bare tallet.

Vis fasit

8 malere og 6 dager
produktet er 48
$\frac{48}{4} =$ 12 malere

Malere og dager
Malere	Dager
8	6
12	4

Vanskelig(3)

V-31En tabell viser $(5, 24)$ og $(8, 15)$ . Hvilken type sammenheng?

Vis fasit

$5 \cdot 24 = 120$ og $8 \cdot 15 = 120$
produktet er likt
omvendt proporsjonal

Test av produkt
Punkt	x · y
(5, 24)	120
(8, 15)	120 (likt)

V-32 $12$ rørleggere bruker $10$ timer på en jobb. Hvor mange rørleggere trengs for å halvere tiden? Svar med bare tallet.

Vis fasit

12 rørleggere og 10 timer
produktet er 120
halvert tid er 5 timer
$\frac{120}{5} =$ 24 rørleggere

Halvere tiden
Timer	Rørleggere
10	12
5	24

V-33Går grafen til $y = \frac{20}{x}$ gjennom origo?

Vis fasit

Sett x = 0 i $\frac{20}{x}$
deling på 0 er ikke lov
nei, grafen når aldri origo

y = 20/x ved x=0
x	Gyldig?
0	Nei, udefinert