Kjenne igjen hvilken type det er

I praktiske oppgaver fra arbeidslivet står det sjelden hvilken type sammenheng du har. Bruk to sjekker. FØRSTE sjekk er retningen: øker begge sammen, kan det være proporsjonalt; går den ene opp når den andre går ned, peker det mot omvendt. ANDRE sjekk er regningen: del $\frac{y}{x}$ for hvert talpar (likt svar betyr proporsjonalt), og gang $x \cdot y$ (likt svar betyr omvendt). Er ingen av dem konstante, er sammenhengen noe annet, for eksempel lineær med fastledd, som et abonnement med en fast startpris.

Test for proporsjonal

$\frac{y}{x}$ er konstant

Test for omvendt

$x \cdot y$ er konstant

Tre sammenhenger som lett forveksles
Situasjon	Test	Type
150 kr per meter kabel	$y : x$ er alltid 150	proporsjonal
4 tømrere, 12 dager	$x \cdot y$ er alltid 48	omvendt
300 kr fast + 50 kr per meter	verken $y : x$ eller $x \cdot y$	bare lineær

Tips

Én test er ikke nok. Du trenger MINST to talpar. Ett par gir alltid et tall, men sier ingenting om det holder seg.
Sjekk alltid nullpunktet i tillegg: koster null enheter null kroner? Hvis ikke, er sammenhengen ikke proporsjonal uansett hva tabellen viser.

Eksempel: Avgjøre typen fra en tabell

En tabell viser $(2, 40)$ , $(4, 20)$ og $(5, 16)$ . Hvilken sammenheng er det, og hva er $y$ når $x = 8$ ?

Løsning:

Vi ser at $y$ SYNKER fra $40$ til $16$ når $x$ øker fra $2$ til $5$ , så proporsjonalitet er utelukket
test omvendt ved å gange: $2 \cdot 40 = 80$ , $4 \cdot 20 = 80$ , $5 \cdot 16 = 80$
produktet er konstant $80$ , altså omvendt proporsjonalt
da er $8 \cdot y = 80$
del på $8$ . Når $x = 8$ , er $y = 10$ .

Begge testene på samme tall
x	y	$y : x$	$x \cdot y$
2	40	20	80
4	20	5	80
5	16	3,2	80

Alternativ forklaring/metode: Plott punktene og se på formen

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Grafisk gjenkjenning

Tegner du punktene i et koordinatsystem, ser du typen med én gang: proporsjonalt gir en rett linje som treffer origo, omvendt gir en synkende kurve som bøyer av mot aksene, og lineært med fastledd gir en rett linje som krysser $y$ -aksen over null. Metoden krever at du har flere punkter, og den gir ikke konstanten direkte, men den er umulig å ta feil av, og den fanger opp tilfellene der ingen av de to testene passer.

Grafisk form
Type	Grafform
Proporsjonal	Rett linje gjennom origo
Omvendt	Synkende kurve mot aksene

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41Hvilken test viser at en sammenheng er proporsjonal?

Vis fasit

Proporsjonal betyr y = $k \cdot x$
$\frac{y}{x}$ er konstant

Test for proporsjonal
Type	Test
Proporsjonal	y : x konstant

L-42Hvilken test viser omvendt proporsjonalitet?

Vis fasit

Omvendt betyr $x \cdot y = k$
produktet er konstant

Test for omvendt
Type	Test
Omvendt	x · y konstant

L-43Hvor mange talpar trengs minst for å teste en sammenheng?

Vis fasit

1 par gir alltid et tall
du må se om det holder seg
to par

Antall talpar
Behov	Antall
Minimum	To

Middels(3)

M-41 $(4, 60)$ og $(6, 90)$ . Hvilken type?

Vis fasit

$\frac{60}{4} = 15$ og $\frac{90}{6} = 15$
likt forhold
proporsjonal med k = 15

Test av forhold
Punkt	y : x
(4, 60)	15
(6, 90)	15 (likt)

M-42 $(3, 40)$ og $(6, 20)$ . Hvilken type?

Vis fasit

$3 \cdot 40 = 120$ og $6 \cdot 20 = 120$
likt produkt
omvendt med k = 120

Test av produkt
Punkt	x · y
(3, 40)	120
(6, 20)	120 (likt)

M-43 $(2, 18)$ og $(5, 33)$ . Hvilken type?

Vis fasit

$\frac{18}{2} = 9$ mot $\frac{33}{5} = 6{,}6$ , og $2 \cdot 18 = 36$ mot $5 \cdot 33 = 165$
verken proporsjonal eller omvendt

Ingen av testene passer
Punkt	y : x	x · y
(2, 18)	9	36
(5, 33)	6,6 (ulikt)	165 (ulikt)

Vanskelig(3)

V-41Punktene $(2, 18)$ og $(5, 33)$ er hverken proporsjonale eller omvendt proporsjonale. Kan sammenhengen likevel være lineær?

Vis fasit

Fra (2, 18) til (5, 33) øker y med 15 når x øker med 3
stigningstall 5
18 - 10 = 8 i fastledd
y = 5x + 8

Lineær sammenheng
Element	Verdi
Stigningstall	5
Fastledd	8

V-42 $(6, 20)$ er omvendt proporsjonalt. Hva er $y$ når $x = 15$ ?

Vis fasit

$6 \cdot 20 = 120$
$\frac{120}{15} =$ 8

Finn y (omvendt)
x	y
6	20
15	8

V-43Hvorfor holder det ikke å se at grafen er en rett linje?

Vis fasit

En rett linje kan ha fastledd og gi y over 0 når x = 0
den må i tillegg gå gjennom origo

Rett linje
Krav	Nok?
Rett linje alene	Ikke nok
Gjennom origo	Kreves også