NumiSum

Polynomdivisjon

Polynomdivisjon settes opp som vanlig lang divisjon. Du deler høyeste ledd i telleren på høyeste ledd i divisoren, ganger opp, trekker fra, og gjentar med det som blir igjen. Går divisjonen opp (rest 00), har du faktorisert polynomet: P(x)x−a=Q(x)\frac{P(x)}{x - a} = Q(x) betyr at P(x)=(x−a)⋅Q(x)P(x) = (x-a) \cdot Q(x).

Divisjon uten rest

P(x)=(x−a)⋅Q(x)P(x) = (x - a) \cdot Q(x)

Tips

  • Mangler et ledd i polynomet, skriv det inn med koeffisient 00. x3−1x^3 - 1 bør skrives x3+0x2+0x−1x^3 + 0x^2 + 0x - 1 for at kolonnene skal stå riktig.
  • Trekk FRA, ikke legg til. Den vanligste feilen er å glemme å skifte fortegn på hele uttrykket du trekker fra.

Eksempel: Utføre en polynomdivisjon

Regn ut (x2−5x+6):(x−2)(x^2 - 5x + 6) : (x - 2).

Stegene i divisjonen
StegDelerGanger oppRest
1x² : x = xx² - 2x-3x + 6
2-3x : x = -3-3x + 60
Løsning:
  1. Vi deler høyeste ledd på høyeste ledd: x2:x=xx^2 : x = x
  2. gang xx med divisoren: x(x−2)=x2−2xx(x - 2) = x^2 - 2x
  3. trekk fra: (x2−5x)−(x2−2x)=−3x(x^2 - 5x) - (x^2 - 2x) = -3x, og ta med +6+6
  4. nå deler vi −3x:x=−3-3x : x = -3
  5. gang: −3(x−2)=−3x+6-3(x - 2) = -3x + 6
  6. trekk fra: (−3x+6)−(−3x+6)=0(-3x + 6) - (-3x + 6) = 0, altså ingen rest. Svaret er x−3x - 3.
Alternativ forklaring/metode: Gang svaret med divisoren

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Kontroll ved å gange tilbake

Divisjon og multiplikasjon er motsatte operasjoner, så svaret kan alltid kontrolleres: (x−2)(x−3)=x2−3x−2x+6=x2−5x+6(x - 2)(x - 3) = x^2 - 3x - 2x + 6 = x^2 - 5x + 6, som er nettopp det vi startet med. Denne kontrollen tar noen sekunder og fanger både fortegnsfeil og glemte ledd – gjør den alltid før du går videre.

Kontroller (x-2)(x-3)
StegUttrykk
Gang utx2−3x−2x+6x^2-3x-2x+6
Samle leddx2−5x+6x^2-5x+6

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-11Regn ut (x2−4):(x−2)(x^2 - 4) : (x - 2).

Vis fasit
BeregningResultat
x² - 4(x+2)(x-2)
del på (x - 2)
x + 2
  1. x² - 4 = (x+2)(x-2)
  2. del på (x - 2)
  3. x + 2

L-12Regn ut (x2+5x+6):(x+2)(x^2 + 5x + 6) : (x + 2).

Vis fasit
BeregningResultat
x² + 5x + 6(x+2)(x+3)
del på (x + 2)
x + 3
  1. x² + 5x + 6 = (x+2)(x+3)
  2. del på (x + 2)
  3. x + 3

L-13Regn ut (2x2+4x):(2x)(2x^2 + 4x) : (2x).

Vis fasit
BeregningResultat
2x² : 2x = x, 4x : 2x2
x + 2
  1. 2x² : 2x = x, 4x : 2x = 2
  2. x + 2
Middels(3)

M-11Regn ut (x2−9):(x+3)(x^2 - 9) : (x + 3).

Vis fasit
BeregningResultat
x² - 9(x+3)(x-3)
del på (x + 3)
x - 3
  1. x² - 9 = (x+3)(x-3)
  2. del på (x + 3)
  3. x - 3

M-12Regn ut (x2−7x+12):(x−3)(x^2 - 7x + 12) : (x - 3).

Vis fasit
BeregningResultat
x² - 7x + 12(x-3)(x-4)
del på (x - 3)
x - 4
  1. x² - 7x + 12 = (x-3)(x-4)
  2. del på (x - 3)
  3. x - 4

M-13Hvordan skrives x3−1x^3 - 1 med alle ledd før en divisjon?

Vis fasit
BeregningResultat
x³ - 1 mangler x²- og x-ledd
skriv dem med koeffisient 0
x³ + 0x² + 0x - 1
  1. x³ - 1 mangler x²- og x-ledd
  2. skriv dem med koeffisient 0
  3. x³ + 0x² + 0x - 1
Vanskelig(3)

V-11Regn ut (x3−1):(x−1)(x^3 - 1) : (x - 1).

Vis fasit
BeregningResultat
x³ + 0x² + 0x - 1 delt på (x - 1)
x², så x, så 1, rest 0
x² + x + 1
  1. x³ + 0x² + 0x - 1 delt på (x - 1)
  2. x², så x, så 1, rest 0
  3. x² + x + 1

V-12Kontroller: hva er (x−1)(x2+x+1)(x - 1)(x^2 + x + 1)?

Vis fasit
BeregningResultat
x³ + x² + x - x² - x - 1
alt i midten kansellerer
x³ - 1
  1. x³ + x² + x - x² - x - 1
  2. alt i midten kansellerer
  3. x³ - 1

V-13Går (x2+1):(x−1)(x^2 + 1) : (x - 1) opp uten rest?

Vis fasit
BeregningResultat
x² + 1 delt på (x - 1) gir x + 1 med rest 2
nei, rest 2 (fordi x = 1 ikke er nullpunkt)
  1. x² + 1 delt på (x - 1) gir x + 1 med rest 2
  2. nei, rest 2 (fordi x = 1 ikke er nullpunkt)