Eksamensoppgaver – Polynomfunksjoner og polynomdivisjon (1T)

Oppgaveteksten under er hentet ordrett fra Utdanningsdirektoratets offisielle eksamenssett. Løsningsforslagene er skrevet av Skolematte.

Utdanningsdirektoratet

Høst 2025, Del 1 – Oppgave 2

Uten hjelpemidler – 3 poeng

Bestem nullpunktene til funksjonen $f$ gitt ved

$f(x) = x^3 - 5x^2 - 8x + 12$

Vis løsningsforslag

Løsningsforslag

Hva skal vi finne? Vi skal finne alle nullpunktene til tredjegradsfunksjonen $f$ .

Strategi og formel: Vi prøver å finne ett nullpunkt ved å teste enkle heltall (faktorer av konstantleddet 12), utfører deretter polynomdivisjon for å redusere til en andregradslikning, og løser den med faktorisering.

Trinnvis utregning:

prøv $x=1$ : $f(1) = 1^3-5 \cdot 1^2-8 \cdot 1+12 = 1-5-8+12=0$
$x=1$ er et nullpunkt
del $f(x)$ på $(x-1)$ : $x^3-5x^2-8x+12 = (x-1)(x^2-4x-12)$
faktoriser andregradsuttrykket: finn to tall med sum $4$ og produkt $-12$ : $6$ og $-2$
$x^2-4x-12=(x-6)(x+2)$
$f(x)=(x-1)(x-6)(x+2)$

Svar: Nullpunktene er $x=-2$ , $x=1$ og $x=6$

Sensorveiledning og poengkrav (maks 3 poeng)

Poeng	Krav
3/3	Finner riktig første nullpunkt (x=1) ved prøving, utfører korrekt polynomdivisjon, og faktoriserer riktig fram til alle tre nullpunktene (-2, 1, 6).
1-2/3	Finner x=1 riktig, men gjør en feil i polynomdivisjonen eller i faktoriseringen av restleddet.
0/3	Feil eller manglende metode, eller kun gjettede svar uten fremgangsmåte.

Sensor-tips

Test faktorer av konstantleddet (±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12) systematisk til du finner ett nullpunkt – ikke gjett tilfeldig.
Sjekk svaret ved å sette alle tre verdiene tilbake inn i f(x) og bekrefte at de gir 0.

Kilde: Utdanningsdirektoratet – Eksamen 1T matematikk, Høst 2025, Del 1, Oppgave 2