Nullpunktsetningen

Nullpunktsetningen (faktorteoremet) knytter nullpunkter og faktorer sammen: $x = a$ er et nullpunkt for $P(x)$ hvis og bare hvis $(x - a)$ er en faktor i $P(x)$ . Det er derfor polynomdivisjon virker – har du gjettet ett nullpunkt, gir divisjonen deg resten av faktoriseringen gratis.

Nullpunktsetningen

$P(a) = 0 \iff (x - a) \text{ er faktor i } P(x)$

P(x) = x³ - 2x² - x + 2

Tips

Let etter det første nullpunktet blant divisorene til konstantleddet. For $x^3 - 2x^2 - x + 2$ er kandidatene $\pm 1$ og $\pm 2$ .
Test kandidatene ved innsetting, ikke ved divisjon. $P(1) = 0$ er raskt å regne ut, og først DA lønner det seg å dele.

Eksempel: Faktorisere et tredjegradspolynom

Faktoriser $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ .

Test av kandidater for nullpunkt
x	P(x)	Nullpunkt?
1	0	ja
-1	0	ja
2	0	ja
3	8	nei

Løsning:

Vi tester divisorene til konstantleddet $2$ : $P(1) = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$ , altså er $x = 1$ et nullpunkt
da er $(x - 1)$ en faktor
utfør divisjonen $(x^3 - 2x^2 - x + 2) : (x - 1) = x^2 - x - 2$
faktoriser andregradsuttrykket: $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ . Svaret er $P(x) = (x-1)(x-2)(x+1)$ .

Alternativ forklaring/metode: Les av det første nullpunktet på grafen

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Grafisk søk etter nullpunkt

I stedet for å gjette deg fram, kan du tegne $P(x)$ og se hvor grafen krysser $x$ -aksen. Har du funnet ett nullpunkt der, bruker du polynomdivisjon videre som vanlig. Metoden er særlig nyttig når konstantleddet har mange divisorer, eller når nullpunktet ikke er et pent heltall – da ser du i det minste omtrent hvor det ligger.

P(x) = x³ - 2x² - x + 2, første nullpunkt lest av grafen

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Er $x = 2$ et nullpunkt for $P(x) = x^2 - 4$ ?

Vis fasit

Beregning	Resultat
P(2) = 4 - 4	0
ja, x = 2 er et nullpunkt

P(2) = 4 - 4 = 0
ja, x = 2 er et nullpunkt

L-22Hvilken faktor følger av at

x = 3

er et nullpunkt?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Nullpunkt x	3
nullpunktsetningen gir faktor (x - a)
(x - 3)

Nullpunkt x = 3
nullpunktsetningen gir faktor (x - a)
(x - 3)

L-23Er

x = 1

et nullpunkt for

P(x) = x^3 - 1

Vis fasit

Beregning	Resultat
P(1) = 1 - 1	0
ja

P(1) = 1 - 1 = 0
ja

Middels(3)

M-21Regn ut

P(-1)

for

P(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2

Vis fasit

Beregning	Resultat
P(-1) = -1 + 2 + 1 - 2	0, altså et nullpunkt

P(-1) = -1 + 2 + 1 - 2 = 0, altså et nullpunkt

M-22Hvilke heltall bør du teste som nullpunkt for

P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6

Vis fasit

Beregning	Resultat
Kandidatene er divisorene til konstantleddet -6
±1, ±2, ±3, ±6

Kandidatene er divisorene til konstantleddet -6
±1, ±2, ±3, ±6

M-23Er

(x - 1)

en faktor i

P(x) = x^2 - 3x + 2

Vis fasit

Beregning	Resultat
P(1) = 1 - 3 + 2	0
nullpunkt
ja, (x - 1) er en faktor

P(1) = 1 - 3 + 2 = 0
nullpunkt
ja, (x - 1) er en faktor

Vanskelig(3)

V-21Faktoriser

P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6

fullstendig.

Vis fasit

Beregning	Resultat
P(x)	x³ - 6x² + 11x - 6
P(1)	0
del på (x-1)
x² - 5x + 6
faktoriser videre
(x - 1)(x - 2)(x - 3)

P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6
P(1) = 0
del på (x-1)
x² - 5x + 6
faktoriser videre
(x - 1)(x - 2)(x - 3)

V-22Hvor mange nullpunkter kan et tredjegradspolynom ha på det meste?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Graden er 3
maks like mange faktorer (x - a)
maks 3 nullpunkter

Graden er 3
maks like mange faktorer (x - a)
maks 3 nullpunkter

V-23Hvis

P(x) = (x-1)(x-2)(x+3)

, hva er

P(2)

Vis fasit

Beregning	Resultat
Faktoren (x - 2) blir null når x	2
hele produktet blir 0

Faktoren (x - 2) blir null når x = 2
hele produktet blir 0