Nullpunktsetningen

Nullpunktsetningen (faktorteoremet) knytter nullpunkter og faktorer sammen: $x = a$ er et nullpunkt for $P(x)$ hvis og bare hvis $(x - a)$ er en faktor i $P(x)$ . Det er derfor polynomdivisjon virker: har du gjettet ett nullpunkt, gir divisjonen deg resten av faktoriseringen gratis.

Nullpunktsetningen

$P(a) = 0 \iff (x - a) \text{ er faktor i } P(x)$

P(x) = x³ - 2x² - x + 2

Tips

Let etter det første nullpunktet blant divisorene til konstantleddet. For $x^3 - 2x^2 - x + 2$ er kandidatene $\pm 1$ og $\pm 2$ .
Test kandidatene ved innsetting, ikke ved divisjon. $P(1) = 0$ er raskt å regne ut, og først DA lønner det seg å dele.

Eksempel: Faktorisere et tredjegradspolynom

Faktoriser $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$ .

Løsning:

Vi tester divisorene til konstantleddet $2$ : $P(1) = 1 - 2 - 1 + 2 = 0$ , altså er $x = 1$ et nullpunkt
da er $(x - 1)$ en faktor
utfør divisjonen $(x^3 - 2x^2 - x + 2) : (x - 1) = x^2 - x - 2$
faktoriser andregradsuttrykket: $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$ . Svaret er $P(x) = (x-1)(x-2)(x+1)$ .

Test av kandidater for nullpunkt
x	P(x)	Nullpunkt?
1	0	ja
-1	0	ja
2	0	ja
3	8	nei

Alternativ forklaring/metode: Les av det første nullpunktet på grafen

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Grafisk søk etter nullpunkt

I stedet for å gjette deg fram, kan du tegne $P(x)$ og se hvor grafen krysser $x$ -aksen. Har du funnet ett nullpunkt der, bruker du polynomdivisjon videre som vanlig. Metoden er særlig nyttig når konstantleddet har mange divisorer, eller når nullpunktet ikke er et pent heltall. Da ser du i det minste omtrent hvor det ligger.

P(x) = x³ - 2x² - x + 2, første nullpunkt lest av grafen

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Er $x = 2$ et nullpunkt for $P(x) = x^2 - 4$ ?

Vis fasit

P(2) = 4 - 4 = 0
ja, x = 2 er et nullpunkt

L-32Hvilken faktor følger av at $x = 3$ er et nullpunkt?

Vis fasit

Nullpunkt x = 3
nullpunktsetningen gir faktor (x - a)
(x - 3)

L-33Er

x = 1

et nullpunkt for

P(x) = x^3 - 1

Vis fasit

P(1) = 1 - 1 = 0
ja

Middels(3)

M-31Regn ut $P(-1)$ for $P(x) = x^3 + 2x^2 - x - 2$ .

Vis fasit

P(-1) = -1 + 2 + 1 - 2 = 0, altså et nullpunkt

M-32Hvilke heltall bør du teste som nullpunkt for

P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6

Vis fasit

Kandidatene er divisorene til konstantleddet -6
±1, ±2, ±3, ±6

M-33Er $(x - 1)$ en faktor i $P(x) = x^2 - 3x + 2$ ?

Vis fasit

P(1) = 1 - 3 + 2 = 0
nullpunkt
ja, (x - 1) er en faktor

Vanskelig(3)

V-31Faktoriser $P(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6$ fullstendig.

Vis fasit

P(x) = x³ - 6x² + 11x - 6
P(1) = 0
del på (x-1)
x² - 5x + 6
faktoriser videre
(x - 1)(x - 2)(x - 3)

V-32Hvor mange nullpunkter kan et tredjegradspolynom ha på det meste?

Vis fasit

Graden er 3
maks like mange faktorer (x - a)
maks 3 nullpunkter

V-33Hvis

P(x) = (x-1)(x-2)(x+3)

, hva er

P(2)

Vis fasit

Faktoren (x - 2) blir null når x = 2
hele produktet blir 0