Du forventes å kunne dette beviset til eksamen

For et polynom $P(x)$ og et tall $a$ gjelder: $P(a) = 0$ hvis og bare hvis $(x - a)$ er en faktor i $P(x)$ (nullpunktsetningen/faktorteoremet).

1. Divisjonsidentiteten $P(x) = (x-a) \cdot Q(x) + r$ gjelder for ALLE verdier av $x$, også for $x = a$ selv. Sett inn $x = a$:
   $P(a) = (a - a) \cdot Q(a) + r = 0 \cdot Q(a) + r = r$
2. Dette viser noe generelt, uavhengig av hvilket polynom $P$ er: resten $r$ i divisjonen med $(x-a)$ er alltid nøyaktig lik $P(a)$.
3. Første retning: anta $(x - a)$ ER en faktor i $P(x)$. Da er per definisjon resten $0$ (ingenting blir til overs ved divisjonen). Siden $r = P(a)$ fra forrige steg, må $P(a) = 0$.
4. Andre retning: anta $P(a) = 0$. Fra steget over vet vi $r = P(a)$, så $r = 0$. Divisjonsidentiteten blir da:
   $P(x) = (x - a) \cdot Q(x) + 0 = (x - a) \cdot Q(x)$
5. Uten rest betyr det nøyaktig at $(x - a)$ er en faktor i $P(x)$. Begge retninger er dermed vist.

$P(a) = 0 \iff (x - a)$ er en faktor i $P(x)$ ∎