Drøfte polynomfunksjoner

Å drøfte en funksjon er å beskrive hvordan den oppfører seg: hvor den er positiv og negativ, hvor mange ganger den krysser $x$ -aksen, og hva som skjer for store og små $x$ . Nullpunktene og graden gir mesteparten av svaret. Et polynom av grad $n$ har høyst $n$ nullpunkter, og fortegnet kan bare skifte i et nullpunkt av oddetallsmultiplisitet.

Antall nullpunkter

$\text{grad } n \Rightarrow \text{høyst } n \text{ nullpunkt}$

Tips

Et polynom av ODDE grad (som $x^3$ ) må ha minst ett reelt nullpunkt, fordi grafen går fra minus uendelig til pluss uendelig.
Er en faktor kvadrert, som $(x-2)^2$ , berører grafen aksen uten å krysse – fortegnet skifter ikke der.

Eksempel: Drøfte fortegnet til et polynom

For hvilke $x$ er $P(x) = (x+1)(x-1)(x-2)$ positiv?

Fortegn i hvert intervall
Intervall	Testverdi	P(x)	Fortegn
x < -1	-2	-12	-
-1 < x < 1	0	2	+
1 < x < 2	1,5	-0,625	-
x > 2	3	8	+

Løsning:

Vi finner nullpunktene: $x = -1$ , $x = 1$ og $x = 2$
de deler tallinja i fire intervaller
test ett tall i hvert: $x = -2$ gir $(-1)(-3)(-4) = -12$ (negativ), $x = 0$ gir $(1)(-1)(-2) = 2$ (positiv), $x = 1,5$ gir $(2,5)(0,5)(-0,5) = -0,625$ (negativ), $x = 3$ gir $(4)(2)(1) = 8$ (positiv). Svaret er $-1 < x < 1$ eller $x > 2$ .

Alternativ forklaring/metode: Fortegnet veksler ved hvert enkeltnullpunkt

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Vekselregelen

Er alle nullpunktene enkle (ikke gjentatte), veksler fortegnet annenhver gang. Da holder det å teste ÉN verdi – for eksempel helt til høyre, der alle faktorene er positive – og så veksle bakover: $+, -, +, -$ . Trikset sparer mye regning, men krever at du sjekker at ingen faktor er kvadrert, for da veksler ikke fortegnet i det nullpunktet.

Vekselregelen for P(x) = (x+1)(x-1)(x-2)
Intervall	Fortegn (veksler bakfra)
x > 2	+ (testet direkte)
1 < x < 2	-
-1 < x < 1	+
x < -1	-

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hvor mange nullpunkter kan $P(x) = x^4 - 1$ ha på det meste?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Graden er 4
høyst 4 nullpunkter

Graden er 4
høyst 4 nullpunkter

L-32Hvor mange nullpunkter har

P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)

Vis fasit

Beregning	Resultat
P(x)	(x-1)(x-2)(x-3) har tre enkeltfaktorer
3 nullpunkter

P(x) = (x-1)(x-2)(x-3) har tre enkeltfaktorer
3 nullpunkter

L-33Hva er graden til

P(x) = 2x^3 - x + 7

Vis fasit

Beregning	Resultat
Høyeste eksponent er 3
grad 3

Høyeste eksponent er 3
grad 3

Middels(3)

M-31Krysser grafen aksen i

x = 2

når

P(x) = (x-2)^2

Vis fasit

Beregning	Resultat
P(x)	(x-2)²
faktoren er kvadrert
fortegnet skifter ikke
grafen berører aksen uten å krysse

P(x) = (x-2)²
faktoren er kvadrert
fortegnet skifter ikke
grafen berører aksen uten å krysse

M-32For

P(x) = x(x-3)

: for hvilke

x

P(x) < 0

Vis fasit

Beregning	Resultat
Nullpunkt 0 og 3
parabel som vender opp
negativ mellom
0 < x < 3

Nullpunkt 0 og 3
parabel som vender opp
negativ mellom
0 < x < 3

M-33Må

P(x) = x^3 + x + 1

ha minst ett reelt nullpunkt?

Vis fasit

Beregning	Resultat
P(x)	x³ + x + 1 har odde grad 3
grafen går fra -∞ til +∞
må krysse aksen minst én gang

P(x) = x³ + x + 1 har odde grad 3
grafen går fra -∞ til +∞
må krysse aksen minst én gang

Vanskelig(3)

V-31For

P(x) = (x+2)(x-1)(x-4)

: hva er fortegnet for

x > 4

Vis fasit

Beregning	Resultat
Alle tre faktorene er positive når x > 4
(+)(+)(+)
positivt

Alle tre faktorene er positive når x > 4
(+)(+)(+)
positivt

V-32For

P(x) = (x+2)(x-1)(x-4)

: hva er fortegnet for

1 < x < 4

Vis fasit

Beregning	Resultat
P(x)	(x+2)(x-1)(x-4) for 1 < x < 4
(+)(+)(-) siden bare siste faktor er negativ
negativt

P(x) = (x+2)(x-1)(x-4) for 1 < x < 4
(+)(+)(-) siden bare siste faktor er negativ
negativt

V-33Kan et andregradspolynom ha tre nullpunkter?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Grad 2
høyst 2 faktorer av typen (x - a)
maks 2 nullpunkter

Grad 2
høyst 2 faktorer av typen (x - a)
maks 2 nullpunkter