NumiSum

Drøfte polynomfunksjoner

Å drøfte en funksjon er å beskrive hvordan den oppfører seg: hvor den er positiv og negativ, hvor mange ganger den krysser xx-aksen, og hva som skjer for store og små xx. Nullpunktene og graden gir mesteparten av svaret. Et polynom av grad nn har høyst nn nullpunkter, og fortegnet kan bare skifte i et nullpunkt av oddetallsmultiplisitet.

Antall nullpunkter

grad n⇒høyst n nullpunkt\text{grad } n \Rightarrow \text{høyst } n \text{ nullpunkt}

Tips

  • Et polynom av ODDE grad (som x3x^3) må ha minst ett reelt nullpunkt, fordi grafen går fra minus uendelig til pluss uendelig.
  • Er en faktor kvadrert, som (x−2)2(x-2)^2, berører grafen aksen uten å krysse, fortegnet skifter ikke der.
  • Fortegnet veksler ved hvert enkeltnullpunkt. Er alle nullpunktene enkle (ikke gjentatte), veksler fortegnet annenhver gang. Da holder det å teste ÉN verdi, for eksempel helt til høyre, der alle faktorene er positive, og så veksle bakover: +,−,+,−+, -, +, -. Trikset sparer mye regning, men krever at du sjekker at ingen faktor er kvadrert, for da veksler ikke fortegnet i det nullpunktet.

Eksempel: Drøfte fortegnet til et polynom

For hvilke xx er P(x)=(x+1)(x−1)(x−2)P(x) = (x+1)(x-1)(x-2) positiv?

xy-2-1123-10-5510-112
P(x) = (x+1)(x-1)(x-2) = x³ - 2x² - x + 2 – fortegnet skifter kun i nullpunktene -1, 1 og 2
Løsning:
  1. Vi finner nullpunktene: x=−1x = -1, x=1x = 1 og x=2x = 2
  2. de deler tallinja i fire intervaller
  3. test ett tall i hvert: x=−2x = -2 gir (−1)(−3)(−4)=−12(-1)(-3)(-4) = -12 (negativ), x=0x = 0 gir (1)(−1)(−2)=2(1)(-1)(-2) = 2 (positiv), x=1,5x = 1{,}5 gir (2,5)(0,5)(−0,5)=−0,625(2,5)(0,5)(-0,5) = -0{,}625 (negativ), x=3x = 3 gir (4)(2)(1)=8(4)(2)(1) = 8 (positiv). Svaret er −1<x<1-1 < x < 1 eller x>2x > 2.
Fortegn i hvert intervall
IntervallTestverdiP(x)Fortegn
x < -1-2-12-
-1 < x < 102+
1 < x < 21,5-0,625-
x > 238+

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41Hvor mange nullpunkter kan P(x)=x4−1P(x) = x^4 - 1 ha på det meste?

Vis fasit
  1. Graden er 4
  2. høyst 4 nullpunkter

L-42Hvor mange nullpunkter har P(x)=(x−1)(x−2)(x−3)P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)?

Vis fasit
  1. P(x) = (x-1)(x-2)(x-3) har tre enkeltfaktorer
  2. 3 nullpunkter

L-43Hva er graden til P(x)=2x3−x+7P(x) = 2x^3 - x + 7?

Vis fasit
  1. Høyeste eksponent er 3
  2. grad 3
Middels(3)

M-41Krysser grafen aksen i x=2x = 2 når P(x)=(x−2)2P(x) = (x-2)^2?

Vis fasit
  1. P(x) = (x-2)²
  2. faktoren er kvadrert
  3. fortegnet skifter ikke
  4. grafen berører aksen uten å krysse

M-42For P(x)=x(x−3)P(x) = x(x-3): for hvilke xx er P(x)<0P(x) < 0?

Vis fasit
  1. Nullpunkt 0 og 3
  2. parabel som vender opp
  3. negativ mellom
  4. 0 < x < 3

M-43Må P(x)=x3+x+1P(x) = x^3 + x + 1 ha minst ett reelt nullpunkt?

Vis fasit
  1. P(x) = x³ + x + 1 har odde grad 3
  2. grafen går fra -∞ til +∞
  3. må krysse aksen minst én gang
Vanskelig(3)

V-41For P(x)=(x+2)(x−1)(x−4)P(x) = (x+2)(x-1)(x-4): hva er fortegnet for x>4x > 4?

Vis fasit
  1. Alle tre faktorene er positive når x > 4
  2. (+)(+)(+)
  3. positivt

V-42For P(x)=(x+2)(x−1)(x−4)P(x) = (x+2)(x-1)(x-4): hva er fortegnet for 1<x<41 < x < 4?

Vis fasit
  1. P(x) = (x+2)(x-1)(x-4) for 1 < x < 4
  2. (+)(+)(-) siden bare siste faktor er negativ
  3. negativt

V-43Kan et andregradspolynom ha tre nullpunkter?

Vis fasit
  1. Grad 2
  2. høyst 2 faktorer av typen (x - a)
  3. maks 2 nullpunkter