Implikasjon og ekvivalens

Et bevis er en kjede av «hvis ... så»-overganger, og matematikere har et eget symbol for nettopp det: $P \Rightarrow Q$ betyr «hvis $P$ er sann, er $Q$ sann», en IMPLIKASJON. Pilen går kun én vei: at $P$ medfører $Q$ sier ingenting om hvorvidt $Q$ også medfører $P$ . Går pilen begge veier, altså $P \Rightarrow Q$ OG $Q \Rightarrow P$ samtidig, skriver vi $P \Leftrightarrow Q$ og kaller det en EKVIVALENS. Da er $P$ og $Q$ sanne akkurat samtidig, aldri hver for seg. Denne forskjellen er selve grunnen til at et direkte bevis (neste undertema) må gå fra forutsetningen og fram til konklusjonen i riktig retning, ikke omvendt.

Implikasjon

$P \Rightarrow Q$ («hvis $P$ , så $Q$ »)

Ekvivalens

$P \Leftrightarrow Q$ (« $P$ nøyaktig når $Q$ »)

Tips

Sjekk alltid om pilen kan snus. $x = 3 \Rightarrow x^2 = 9$ er sann, men $x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ er usann (x kunne vært $-3$ ). Da er dette KUN en implikasjon, ikke en ekvivalens.
En ekvivalens er to implikasjoner i ett symbol. Skal du bevise $P \Leftrightarrow Q$ , må du vise BEGGE veier: $P \Rightarrow Q$ og $Q \Rightarrow P$ hver for seg.

Eksempel: Implikasjon eller ekvivalens?

Avgjør om påstanden «et tall er delelig med 6 ⇒ tallet er delelig med 3» er sann, og om den også gjelder den andre veien.

Løsning:

Påstanden sier «delelig med $6$ ⇒ delelig med $3$ »
sjekk først denne retningen: siden $6 = 2 \cdot 3$ , må et tall delelig med $6$ inneholde faktoren $3$
implikasjonen stemmer. Sjekk så den andre veien: er ethvert tall delelig med $3$ også delelig med $6$ ? Prøv $9$ : delelig med $3$ , men $9 : 6$ går ikke opp
moteksempel funnet, den veien er usann. Konklusjon: dette er kun en implikasjon, ikke en ekvivalens.

Test av begge retninger
Tall	Delelig med 6?	Delelig med 3?
12	ja	ja
9	nei	ja

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-21Hva betyr $P \Rightarrow Q$ ?

Vis fasit

Pilen leses «hvis ... så»
hvis P er sann, er Q sann

L-22Hva betyr $P \Leftrightarrow Q$ ?

Vis fasit

Ekvivalens betyr begge retninger på én gang
P og Q er sanne akkurat samtidig

L-23Er $x = 5 \Rightarrow x^2 = 25$ en sann implikasjon?

Vis fasit

Sett x = 5 inn: 5² = 25
ja, sann

Middels(5)

M-21Er $x^2 = 25 \Rightarrow x = 5$ en sann implikasjon?

Vis fasit

x kunne også vært -5, siden (-5)² = 25
nei, moteksempel x = -5

M-22Er «et tall er delelig med 4 ⇔ tallet er delelig med 2» en sann ekvivalens?

Vis fasit

Delelig med 4 ⇒ delelig med 2 stemmer
men delelig med 2 ⇒ delelig med 4 svikter for 6
nei, kun én vei stemmer

M-23Skriv «to partall summert gir et partall» som en implikasjon med P og Q.

Vis fasit

Sett P som forutsetningen og Q som det som følger
P: to tall er partall ⇒ Q: summen er et partall

M-24Hvilken pil passer i « $x = 2$ (?) $x^2 = 4$ »?

Vis fasit

$x = 2$ gir $x^2 = 4$
men $x^2 = 4$ gir også $x = -2$
⇒ stemmer, ⇐ svikter

M-25Hvilken pil passer i « $2x + 1 = 7$ (?) $x = 3$ »?

Vis fasit

$2x + 1 = 7$
$2x = 6$
$x = 3$
og $x = 3$ gir $2 \cdot 3 + 1 = 7$
⇔, begge veier stemmer

Vanskelig(5)

V-21Er «en trekant er likesidet ⇔ alle tre vinkler er 60°» en sann ekvivalens?

Vis fasit

Likesidet ⇒ alle vinkler like og vinkelsum 180° gir 60° hver
alle vinkler 60° ⇒ alle sider like lange (formlikhet)
ja, begge veier stemmer

V-22Gi et moteksempel som viser at $x > 0 \Rightarrow x^2 > 0$ ikke kan snus.

Vis fasit

x² > 0 ⇒ x > 0 skal testes
x = -1 gir x² = 1 > 0, men x er ikke større enn 0
x = -1 er et moteksempel

V-23Hvorfor er et direkte bevis egentlig en kjede av implikasjoner?

Vis fasit

Hvert
i beviset er nettopp et P ⇒ Q
beviset er en kjede av implikasjoner

V-24Hvilken pil passer i «

x > 2

(?)

x^2 > 4

»?

Vis fasit

$x > 2$ gir $x^2 > 4$
men $x = -3$ gir $x^2 = 9 > 4$ uten at $x > 2$
⇒ stemmer, ⇐ svikter

V-25Hvilken pil passer i « $x^2 = 4$ (?) $x = 2$ eller $x = -2$ »?

Vis fasit

$x^2 = 4$
$x = \pm 2$
og $x = 2$ eller $x = -2$ gir $x^2 = 4$
⇔, begge veier stemmer