Motbevis og moteksempel

Skal du vise at en påstand om ALLE tall er USANN, trenger du ikke et generelt argument. Det holder med ett eneste tilfelle der den ryker. Det kalles et moteksempel. Asymmetrien er poenget: for å bevise «alle» trengs bokstaver, for å velte «alle» trengs ett tall. Derfor lønner det seg alltid å lete etter et moteksempel FØR du bruker timevis på å bevise noe som kanskje ikke er sant. Se særlig etter $0$ , $1$ , negative tall og «grensetilfeller». Det er der påstander oftest ryker.

Å velte en påstand

ett tilfelle der påstanden er usann

Absoluttverdi

$\sqrt{a^2} = |a|$

Påstander som ryker på ett tall
Påstand	Moteksempel	Hva som skjer
Alle primtall er oddetall	2	2 er primtall og partall
n² > n for alle n	1	1² = 1, ikke større
$\sqrt{a^2} = a$ for alle a	-3	$\sqrt{9} = 3$ , ikke -3

Tips

Test alltid $0$ , $1$ og et negativt tall før du begynner å bevise. De tre velter overraskende mange påstander på under et minutt.
Ett moteksempel er nok, men det må være et EKTE moteksempel: sjekk at tallet faktisk oppfyller forutsetningen påstanden stiller.
Bruk absoluttverdien over til å løse likninger direkte: $|x - a|$ måler AVSTANDEN fra $x$ til $a$ på tallinja. For $|x - 3| = 5$ : «hvilke tall ligger nøyaktig $5$ fra $3$ ?» → $x = 8$ eller $x = -2$ , uten å splitte i to algebraiske tilfeller først.
Finn ut når påstanden FAKTISK gjelder. Et moteksempel betyr ikke nødvendigvis at ideen er verdiløs. Ofte er påstanden nesten riktig. $n^2 > n$ er usann for $n = 0$ og $n = 1$ , men sann for alle $n \ge 2$ . I stedet for bare å svare «usann», skriv den korrigerte påstanden med betingelsen på, og bevis den. Det er nettopp slik matematikk faktisk utvikles: et moteksempel forteller hvor grensen går, ikke bare at noen tok feil.

Eksempel: Finne et moteksempel

Påstand: $n^2 > n$ for alle hele tall $n$ . Undersøk om påstanden er sann.

Løsning:

Vi tester påstanden $n^2 > n$ på små tall før vi forsøker å bevise noe
$n = 3$ gir $9 > 3$ , som stemmer
$n = 2$ gir $4 > 2$ , stemmer
prøv grensetilfellene: $n = 1$ gir $1^2 = 1$ , og $1 > 1$ er USANT
vi har funnet ett tilfelle der påstanden svikter, og det er nok. Påstanden er usann, med $n = 1$ som moteksempel.

Test av n² > n
n	n²	Stemmer?
3	9	ja
2	4	ja
1	1	nei
0	0	nei

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-41Hvor mange moteksempler trengs for å vise at en påstand er usann?

Vis fasit

Én sak som bryter påstanden holder
ett moteksempel

L-42Gi et moteksempel til «alle primtall er oddetall».

Vis fasit

Alle primtall er oddetall, men 2 er primtall og partall
2

L-43Er

n^2 > n

sant for

n = 1

Vis fasit

Sett n = 1: 1² = 1, og 1 > 1 er usant
nei

Middels(3)

M-41Gi et moteksempel til « $\sqrt{a^2} = a$ for alle $a$ ».

Vis fasit

Påstanden gjelder $a^{2}$
prøv a = -3
$\sqrt{9}$ er 3, ikke -3
a = -3 er et moteksempel

M-42For hvilke $n$ er $n^2 > n$ faktisk sant?

Vis fasit

$n^{2}$ større enn n svikter kun for n = 0 og n = 1
sant for n større enn eller lik 2, og for negative n

M-43Er « $n^2 + n + 41$ er alltid et primtall» sant? Test $n = 41$ .

Vis fasit

Sett n = 41: 41² + 41 + 41 = 41(41 + 1 + 1)
delelig med 41
ikke primtall, påstanden er usann

Vanskelig(3)

V-41Hvorfor lønner det seg å lete etter moteksempel FØR du beviser?

Vis fasit

1 moteksempel tar sekunder, et bevis tar lang tid
let etter moteksempel først

V-42Gi et moteksempel til « $a + b > a$ for alle tall».

Vis fasit

Prøv b = -1
a - 1 er mindre enn a
b = -1 er et moteksempel

V-43Påstanden « $2^n > n^2$ » er usann for flere små $n$ (test $n = 2, 3, 4$ ). For hvilke $n$ blir den sann?

Vis fasit

n = 2 gir 4 = 4, ikke større
n = 3 gir 8 < 9, ikke større
n = 4 gir 16 = 16, ikke større
n = 5 gir 32 > 25, sann
og den holder for alle n fra og med 5
legg til betingelsen n større enn eller lik 5

n	$2^n$	$n^2$	Sann?
2	4	4	Nei
3	8	9	Nei
4	16	16	Nei
5	32	25	Ja