Motbevis og moteksempel

Skal du vise at en påstand om ALLE tall er USANN, trenger du ikke et generelt argument – det holder med ett eneste tilfelle der den ryker. Det kalles et moteksempel. Asymmetrien er poenget: for å bevise «alle» trengs bokstaver, for å velte «alle» trengs ett tall. Derfor lønner det seg alltid å lete etter et moteksempel FØR du bruker timevis på å bevise noe som kanskje ikke er sant. Se særlig etter $0$ , $1$ , negative tall og «grensetilfeller» – det er der påstander oftest ryker.

Å velte en påstand

ett tilfelle der påstanden er usann

Absoluttverdi

$\sqrt{a^2} = |a|$

Påstander som ryker på ett tall
Påstand	Moteksempel	Hva som skjer
Alle primtall er oddetall	2	2 er primtall og partall
n² > n for alle n	1	1² = 1, ikke større
$\sqrt{a^2} = a$ for alle a	-3	$\sqrt{9} = 3$ , ikke -3

Tips

Test alltid $0$ , $1$ og et negativt tall før du begynner å bevise. De tre velter overraskende mange påstander på under et minutt.
Ett moteksempel er nok, men det må være et EKTE moteksempel: sjekk at tallet faktisk oppfyller forutsetningen påstanden stiller.
Bruk absoluttverdien over til å løse likninger direkte: $|x - a|$ måler AVSTANDEN fra $x$ til $a$ på tallinja. For $|x - 3| = 5$ : «hvilke tall ligger nøyaktig $5$ fra $3$ ?» → $x = 8$ eller $x = -2$ , uten å splitte i to algebraiske tilfeller først.

Eksempel: Finne et moteksempel

Påstand: $n^2 > n$ for alle hele tall $n$ . Undersøk om påstanden er sann.

Test av n² > n
n	n²	Stemmer?
3	9	ja
2	4	ja
1	1	nei
0	0	nei

Løsning:

Vi tester påstanden $n^2 > n$ på små tall før vi forsøker å bevise noe
$n = 3$ gir $9 > 3$ , som stemmer
$n = 2$ gir $4 > 2$ , stemmer
prøv grensetilfellene: $n = 1$ gir $1^2 = 1$ , og $1 > 1$ er USANT
vi har funnet ett tilfelle der påstanden svikter, og det er nok. Påstanden er usann, med $n = 1$ som moteksempel.

Alternativ forklaring/metode: Finn ut når påstanden FAKTISK gjelder

Alternativ metode – innenfor pensum, men ikke hovedmetoden her

Justere påstanden i stedet for å forkaste den

Et moteksempel betyr ikke nødvendigvis at ideen er verdiløs – ofte er påstanden nesten riktig. $n^2 > n$ er usann for $n = 0$ og $n = 1$ , men sann for alle $n \ge 2$ . I stedet for bare å svare «usann», skriv den korrigerte påstanden med betingelsen på, og bevis den. Det er nettopp slik matematikk faktisk utvikles: et moteksempel forteller hvor grensen går, ikke bare at noen tok feil.

Når gjelder n² > n?
n	n²	n² > n?
0	0	nei (0 > 0 er usann)
1	1	nei (1 > 1 er usann)
2	4	ja
3	9	ja

Oppgaver

Prøv minst én oppgave på hvert nivå.

Lett(3)

L-31Hvor mange moteksempler trengs for å vise at en påstand er usann?

Vis fasit

Beregning	Resultat
Én sak som bryter påstanden holder
ett moteksempel

Én sak som bryter påstanden holder
ett moteksempel

L-32Gi et moteksempel til «alle primtall er oddetall».

Vis fasit

Beregning	Resultat
Alle primtall er oddetall, men 2 er primtall og partall
2

Alle primtall er oddetall, men 2 er primtall og partall
2

L-33Er

n^2 > n

sant for

n = 1

Vis fasit

Beregning	Resultat
Sett n = 1: 1²	1, og 1 > 1 er usant
nei

Sett n = 1: 1² = 1, og 1 > 1 er usant
nei

Middels(3)

M-31Gi et moteksempel til «

\sqrt{a^2} = a

for alle

a

».

Vis fasit

Beregning	Resultat
Påstanden gjelder a opphøyd i 2
prøv a	-3
kvadratroten av 9 er 3, ikke -3
a = -3 er et moteksempel

Påstanden gjelder a opphøyd i 2
prøv a = -3
kvadratroten av 9 er 3, ikke -3
a = -3 er et moteksempel

M-32For hvilke

n

n^2 > n

faktisk sant?

Vis fasit

Beregning	Resultat
n opphøyd i 2 større enn n svikter kun for n = 0 og n	1
sant for n større enn eller lik 2, og for negative n

n opphøyd i 2 større enn n svikter kun for n = 0 og n = 1
sant for n større enn eller lik 2, og for negative n

M-33Er «

n^2 + n + 41

er alltid et primtall» sant? Test

n = 41

Vis fasit

Beregning	Resultat
Sett n = 41: 41² + 41 + 41	41(41 + 1 + 1)
delelig med 41
ikke primtall, påstanden er usann

Sett n = 41: 41² + 41 + 41 = 41(41 + 1 + 1)
delelig med 41
ikke primtall, påstanden er usann

Vanskelig(3)

V-31Hvorfor lønner det seg å lete etter moteksempel FØR du beviser?

Vis fasit

Beregning	Resultat
1 moteksempel tar sekunder, et bevis tar lang tid
let etter moteksempel først

1 moteksempel tar sekunder, et bevis tar lang tid
let etter moteksempel først

V-32Gi et moteksempel til «

a + b > a

for alle tall».

Vis fasit

Beregning	Resultat
Prøv b	-1
a - 1 er mindre enn a
b = -1 er et moteksempel

Prøv b = -1
a - 1 er mindre enn a
b = -1 er et moteksempel

V-33Påstanden «

2^n > n^2

» er usann for

n = 2

. Hvordan kan du redde den?

Vis fasit

Beregning	Resultat
n = 2 gir 4	4, ikke større
men fra n	5 gjelder den
legg til betingelsen n større enn eller lik 5

n = 2 gir 4 = 4, ikke større
men fra n = 5 gjelder den
legg til betingelsen n større enn eller lik 5